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Ejercicios resueltos de PARÁBOLAS – 989

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 989

Ejercicios resueltos de parábolas – 989

Una parábola está definida por su eje e, su foco F y su directriz d.
El punto K es vértice de un triángulo equilátero KLM cuyo lado KM o su prolongación es tangente a la parábola. el vértice L es un punto de la curva.
Dibujar el triángulo estando KM por encima del foco.

SOLUCIÓN

1 – Trazar la tangente a la parábola que pase por el punto K.
2 – Dibujar una recta que forme 60º con la tangente desde el punto K.
3 – Hallar la intersección entre esa nueva recta y la parábola. El punto de corte es L.
4 – Conocidos K y M se tiene el lado del triángulo, llevarlo sobre la primera tangente a partir de K.

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Ejercicios de PARÁBOLAS – 988

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 988

Ejercicios de parábolas – 988

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Parábola de la que se conocen tres tangentes, M, N y P, y la razón de distancias del foco a las tangentes t y p es Fp / Fm = 3 / 4.

SOLUCIÓN

1 – Hacer una paralela, m’, a la tangente m a una distancia de 4 unidades cualquiera

Parabola de la que se conocen tres tangentes - Parabola of the known three tangents

2 – Hacer una paralela, p’, a la tangente p a una distancia de 3 unidades iguales a las anteriores
3 – Unir el punto, 1,de corte de las dos paralelas, m’ y p’, con el punto, 2, de corte de las tangentes m y p
4 – Trazar una circunferencia que pase por los tres puntos, 2, 3 y 4, de corte de las tres tangentes, m, n y p, entre sí
5 – Donde esta circunferencia corte a 1-2 es el foco, F, de la parábola
6 – Hallar el simétrico, s1 y s2, del foco, F, respecto de dos de las tangentes
7 – Uniendo s1 con s2 se obtiene la recta directriz
8 – Perpendicular a la recta directriz por el foco se consigue el eje, e

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Ejercicios de PARÁBOLAS – 987

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 987

Ejercicios de parábolas – 987

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Cómo hacer una parábola conocidas dos tangentes y la directriz

SOLUCIÓN

1 – El ángulo que forma cada tangente con la directriz lo copias hacia "dentro" de la zona que hay entre las dos tangentes. Lo que se ha hecho es la recta simétrica de la directriz respecto de la tangente. Otra forma de hacer la simétrica (aparte de copiar el ángulo) es trazar una perpendicular a la tangente en cualquier punto y la distancia que hay entre la tangente y la directriz, medida sobre la perpendicular, se lleva hacia el otro lado. Uniendo ese punto con el punto donde la directriz corta a la tangente se obtiene su simétrica.
2 – La intersección de los dos ángulos que has dibujado hacia dentro, te da el foco de la parábola.
3 – El eje de la parábola será perpendicular a la directriz y pasando por el foco calculado.

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Parábola conocidas dos tangentes y sus puntos de tangencia – 986

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 986

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Determinación de una parábola conocidas dos tangentes, t1 y t2, y sus puntos de tangencia, T1 y T2.

SOLUCIÓN

1 – Unes los dos puntos de tangencia, T1 y T2

parabola conocidas dos tangentes -parabola known two tangents

2 – Unir el punto medio de la unión anterior, M, con el punto donde se cortan las dos tangentes, N
3 – Se hacen paralelas a MN por los puntos de tangencia, T1 y T2
4 – Se hacen las simétricas de estas últimas respectos de las tangentes
5 – El punto donde se cortan es el foco de la parábola, F
6 – Por F se hace una paralela a MN y se tiene el eje, e
7 – Se mide la distancia entre F y T2 (o T1), z, y se lleva sobre la paralela a MN que se hizo por T2
8 – Por ese punto se hace la recta directriz, d, perpendicular al eje

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Ejercicios de PARÁBOLAS – 985

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 985

Ejercicios de parábolas – 985

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El punto F es el foco de una parábola y las rectas t1 y t2 son tangentes de la misma.

SOLUCIÓN

Halla el simétrico del foco respecto de las dos tangentes.
Une los dos simétricos y tienes la recta directriz.
El eje es perpendicular a la directriz y pasando por el foco.
El vértice está en el punto medio entre el foco y la recta directriz.

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Parábola conocida una tangente y los puntos de corte de la tangente con la tangente en el vértice, con la directriz y con el eje

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 984

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Parábola conocida una tangente, t, y los puntos de corte de la tangente con la tangente en el vértice, c, con la directriz, b, y con el eje, a.

SOLUCIÓN

1 – La distancia entre C y B se lleva sobre la tangente, a partir de C, dando el punto X.

PARABOLA CONOCIDA UNA TANGENTE - parabola known a tangent

2 – Con centro en el punto medio de A-X se traza una semicircunferencia de diámetro A-X.

3 – Por el punto C trazar una perpendicular a la tangente.

4 – Donde la perpendicular corte a la semicircunferencia es el foco de la parábola, F.

5 – Unir A con el foco, F, y tenemos el eje de la parábola.

6 – Unir X con el foco F.

7 – Hacer paralela a X-F por B y esta es la recta directriz.

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Parábola conocidos su eje, una tangente y el punto de tangencia en ella

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 983

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Hallar una parábola conocidos su eje, una tangente y el punto de tangencia en ella.

SOLUCIÓN

1 – Por el punto de tangencia hacer una paralela al eje.

parabola conocidos su eje - its axis parabola known

2 – Dibujar un ángulo igual al que forma la paralela al eje con la tangente hacia el otro lado de la tangente.

3 – Donde corte al eje es el foco.

4 – Medir la distancia entre el punto de tangencia y el foco y llevarla sobre la paralela al eje.

5 – Por ese punto hacer una paralela al eje y esa es la recta directriz

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Parábola conocida la directriz, una tangente y el punto de tangencia

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 982

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La recta d es la directriz de una parábola, t es una de sus tangentes y su punto T el de tangencia.
Se pide, por este orden:
1º. El foco de la curva.
2º. El eje y el vértice.
3º. Trazar la parábola

SOLUCIÓN

1 – Hacer una perpendicular a la recta directriz desde el punto de tangencia.

parabola dada tangente -parabola given tangent

2 – Con radio la distancia desde el punto de tangencia hasta donde la perpendicular anterior corta a la recta directriz y centro el punto de tangencia, se traza un arco.

3 – Desde el punto donde la perpendicular cortó a la recta directriz se traza un perpendicular a la tangente.

4 – Donde esta perpendicular corte al arco es el foco.

5 – El eje es perpendicular a la directriz y pasando por el foco.

6 – El vértice está en el punto medio entre el foco y la recta directriz.

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Parábola conocido el foco, un punto de ella y una tangente

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 981

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Construcción de una parábola conocido el foco, F, un punto de ella, P, y una tangente, t

SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, s, del foco, F, respecto de la recta tangente, t.

Construcción de una parabola conocido un foco - Construction of aparabola known a focus

2 – Trazar una circunferencia con centro en el punto de la curva, P, y radio hasta el foco, F.

3 – Dibujar la recta tangente entre el simétrico, s, y la circunferencia anterior. Esta tangente es la recta directriz, d.

4 – Por el foco, F, hacer una perpendicular a la recta directriz, d, y se obtiene el eje, e, de la parábola.

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Parábola conocido el foco, un punto de ella, y una tangente

Ejercicios y problemas de parabolas resueltos. Problemas de curvas conicas resueltos – 980

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Construcción de una parábola conocido el foco, F, un punto de ella, P, y una tangente, t, estando los elementos de resolución fuera de los límites del papel

SOLUCIÓN

Tanto en este como en cualquier otro que se salga fuera de los límites del papel debes realizar una homotecia (reducir el dibujo), trabajando con la figura reducida (homotética) se determinan los elementos buscados y después se vuelven a ampliar (determinación de los elementos homotéticos iniciales).
En concreto en este problema (dejo los trazados que salen fuera del papel para que se aprecie la relación, zona verde) :

5 – Hacer una perpendicular a la tangente, t, desde el foco, F. El punto de contacto de la perpendicular con la tangente, s’, es un punto homotético del simétrico con una relación de 1/2. En otras palabras, voy a reducir todo el ejercicio a la mitad a partir del foco (centro de homotecia) y aunque el simétrico, s, esté fuera del papel, como la distancia desde el foco a la tangente es la mitad de la que hay desde el foco al simétrico, se puede obtener este punto, s’, aun estando el simétrico, s, fuera del papel.

Construcción de una parabola fuera de los limites del papel -Construction of a parabola beyond the limits of paper

6 – Unimos el foco, F, con el punto dado, P. Y sobre esta recta hallamos su punto medio, P’. Aquí hemos vuelto a reducir los datos a la mitad.

7 – Trabajamos con F, s’ y P’ (en vez de con F, s y P), dibujando la circunferencia de centro P’ (en el ejercicio original era P) y radio hasta el foco, F.

8 – Hallar la tangente a esa circunferencia desde s’ (en el original era desde s), siendo su punto de tangencia 1′.

9 – Unir 1′ con el foco F y sobre esa recta llevar el doble de la distancia F-1′, obteniendo el punto 1 que es el punto de tangencia con los datos originales.

10 – Hacer una paralela a s’-1′ por 1 y esto nos da la directriz, d, buscada.

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