Autor: Administrador

Ejercicio de homología – 999

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Homología de una figura, ABCD, conocido el centro de homología, el eje de homología y un punto ya transformado.

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SOLUCIÓN

1 – Prolongar AB hasta el eje.
2 – Unirlo con A’
3 – Donde corte a la unión de O con B es su homólogo B’.

4 – Prolongar BC hasta el eje.
5 – Unirlo con B’.
6 – Donde corte a la unión de O con C es su homólogo C’.
7 – Prolongar AD hasta el eje.
8 – Unirlo con A’.
9 – Donde corte a la unión de O con D es su homólogo D’.

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Encontrar el homólogo de un pentágono regular ABDCD sabiendo que su centro es M(-3, 6), y se conoce A(-4, 4). La homología tiene centro O(-5, 12) y el eje es una recta horizontal de y = 3. Se sabe que A’ tiene y = 2.
Encontrar también el homólogo de M.

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SOLUCIÓN

– Prolongar una recta hasta el eje (por ejemplo AB).

– Donde corte al eje lo unes con su homólogo, A’.
– Unes el punto inicial (B) con e centro de homología (O)
– Donde se corten ambas rectas es B’.
Esto lo repetirás con los demás.
Ahora bien, es bueno siempre realizar una pequeña comprobación que casi todo el mundo olvida ( o ignora ) hacer, y es la de hallar la recta límite.
Para ello se hace una paralela a A’E’, por ejemplo, por el centro de homología y donde corte a su homóloga AE es un punto de la recta límite.

Como verás, ésta corta a los lados del pentágono. Eso significa que a la hora de unir sus extremos, E’ y D’, no se unirán entre ellos, sino sus prolongaciones.
Además tendrás un problema y es que D’ sale bastante lejos. Para solucionarlo, elige un punto cualquiera de ED, por ejemplo X (que sea un punto que esté al mismo lado de la recta límite que E), y determina su homólogo, X’, al unirlo se obtiene la recta.

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homología – 998

Ejercicio de homología – 997

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Homología de un cuadrado ABCD, conocidos el centro de homología O, el eje, e, la recta límite, R.L, y estando uno de los lados del cuadrado, AB, sobre la recta límite.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el homólogo de uno de los vértices, C, que no está en la recta límite :
– Trazar una recta cualquiera que pase por C. Yo he elegido C-A, aunque no es necesario que pase por A.
– Prolongarla hasta que corte al eje, x, y a la recta límite, A.
– Unir A con O y hacer una paralela por x.
– Unir O con C y donde corte a la paralela que se hizo por x es el vértice C’

2 – Hallar el homólogo de otro vértice, D, que no está en la recta límite :
– Se puede repetir el proceso anterior o como CD es paralela al eje trazar una paralela al eje por C’
– Unir D con O
– Donde corte a la paralela al eje es D’
3 – Hallar el homólogo de un punto cualquiera, M, del lado que es perpendicular a la recta límite :
– Una forma es repitiendo el procedimiento del apartado 1, o bien unir M con C hasta tocar al eje, Y
– Unir Y con C’
– Unir O con M
– Donde esta última corte a la anterior es el punto M’
4 – Como A-D pasa por M, A’-D’ pasará por M’. Luego unir D’ con M’ y este es uno de los lados del cuadrado homólogo
5 – Repetir con otro punto, N, del otro lado, B-C.
6 – Uniendo C’ con N’ se consigue el tercer lado
7 – El cuarto lado A’-B’ no existe (o es impropio o está en el infinito, como se prefiera)

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Mediante una homología transformar el cuadrilátero ABCD en un rombo de lado L y ángulo A’ = 60º.

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SOLUCIÓN

Mediante una homología transformar el cuadrilátero ABCD en un rombo de lado L y ángulo A’ = 60º.
1 – Prolongar los lados AD y BC hasta cortarse, punto X. Repetir con AB y CD, punto Y. La unión de los puntos X e Y es la recta límite, R.L.

2 – Realizar el arco capaz del ángulo A’, 60º, respecto del segmento XY.
3 – Prolongar las diagonales AC y BD hasta cortar a la recta límite, puntos Z y W.
4 – Trazar el arco capaz de 90º respecto de ZW.
5 – Donde se corten los dos arcos capaces, O, es el centro de homología. Si los dos arcos capaces se hacen hacia el otro lado de la recta límite (como pide el problema) se tiene una segunda solución.
6 – Unir O con B y C. Unir X con O, y sobre esta última medir, L, el lado del rombo, OC».
7 – Por el extremo, C», dibujar una paralela a OB hasta cortar a OC. El punto de corte, C’, es el homólogo de C.
8 – Por C’ trazar una paralela a OX por C’. Donde corte a OB es el homólogo B’.
9 – Unir Y con O y dibujar una paralela por C’. Unir O con D y donde corte a la anterior es el vértice homólogo D’.
10 – Por B’ y D’ dibujar paralelas a C’D’ y B’C’ respectivamente. Donde se corten el cuarto vértice A’.
11 – Aunque no es necesario también se puede determinar el eje de la homología dibujando una paralela a la recta límite por donde se corten las prolongaciones de BC y B’C’, por ejemplo.

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Ejercicio de homología – 995

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Homología de un rectángulo, ABCD, conocido el eje, la recta límite, R.L, y un punto ya transformado, A’.

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SOLUCIÓN

1 – El punto B es doble, B = B’, por estar sobre el eje. Uniendo A’ con B’ tenemos uno de los lados de la figura homóloga.

2 – Para determinar el centro de homología :
2.a – Prolongar el lado AD hasta cortar al eje, X, y a la recta límite, Y.
2.b -Unir el punto de corte con el eje, X, con A’.
2.c – Por el punto de corte con la recta límite, Y, trazar una paralela a X-A’
2.d – Unir A con A’ y donde corte a la paralela anterior es el centro de homología, O.
3 – Unir el centro de homología, O, con D y donde corte a A’-X es su homólogo D’.
4 – Prolongar CD hasta el eje de homología y unir con D’. Unir C con O y donde corte a la recta anterior es C’.

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Ejercicio de homología – 994

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Hallar el eje de una homología de la que se conoce el centro de homología, O, la recta límite, R.L., un par de puntos, A-B, y la longitud de su homólogo A’B’ = 60 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el centro de homología, O, con los puntos dados A y B.

2 – Prolongar el segmento AB hasta cortar, X, a la recta límite, R.L.
3 – Unir el punto X con el centro de homología, O, y sobre esta recta y a partir del centro de homología, O, se mide la longitud del segmento homólogo OY = A’B’ = 60 mm.
4 – Por el extremo Y hacer una paralela a OB y donde corte a OA es el homólogo A’.
5 – Por A’ dibujar una paralela a OX y donde corte a OB es su homólogo B’.
6 – Prolongar AB y A’B’ hasta que se corten, Z.
7 – Por ahí dibujar una paralela a la recta límite y este es el eje de homología, e.

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Se da una circunferencia de radio 18 mm, que pasa por A(-30, 20) y es tangente a la recta L de ecuación y = 50, quedando su centro a la derecha de A. Esta circunferencia es homóloga de una parábola de vértice A´(-18, -34), siendo A y A´ homólogos. Sabiendo que L es la recta límite de la circunferencia se pide determinar los elementos de la homología y de la parábola. El centro O de la homología debe quedar por arriba de L.

 

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos A y A’ (vértice de la parábola).

2 – Trazar la recta L (recta límite) a 50 mm de ordenada.

3 – Con centro en A y radio 18 mm se dibuja un arco.

4 – Dibujar una paralela a la recta L separada 18 mm.

5 – Donde se corten el arco y la paralela anterior (el punto de la derecha) es el centro de la circunferencia que se transformará. Dibujar la circunferencia.

6 – Determinar el punto de tangencia, T, entre la circunferencia y la recta límite, L. Para ello dibujar una perpendicular a la recta límite por el centro de la circunferencia, el punto de corte con L es T.

7 – Unir A con el centro de la circunferencia y dibujar una perpendicular a ese radio que pase por A.

8 – Prolongar la línea anterior hasta cortar a la recta límite, punto X.

9 – Determinar el punto medio del segmento T-X, y con centro en él y radio hasta T o X dibujar una semicircunferencia por encima de la recta límite.

10 – Unir A con A’ y donde corte a la semicircunferencia anterior es el centro de la homología, O.

11 – Unir T con O y dibujar una paralela por A’. Esta última es el eje de la parábola.

12 – Prolongar el eje de la parábola hasta cortar a T-A, punto N. Por este punto, N, se hace una paralela a la recta límite y esta es el eje de la homología.

13 – Por A’ dibujar una perpendicular al eje de la parábola. Esta es la tangente a la parábola por su vértice.

14 – Trazar la tangente a la circunferencia desde el centro de la homología.

15 – Prolongar la tangente por el vértice de la parábola hasta cortar a la tangente de la circunferencia anterior. Por el punto de corte trazar una perpendicular a la tangente de la circunferencia y donde corte al eje de la parábola es el foco de la parábola.

 

 

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Ejercicio de homología – 992

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Represente la figura homóloga de la dada sabiendo que los puntos homólogos de A y C son A’ y C’ respectivamente; y el punto homólogo de B está sobre r’. Indique los parámetros que definen la homología.

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SOLUCIÓN

1 – Unir A con A’ y C con C’. El punto de corte de ambas rectas es el centro de la homología.

2 – Unir el centro de homología con el punto B. Donde corte a la recta R’ es su homólogo B’.
3 – Prolongar AB y A’B’ hasta cortarse. Por el punto de corte, X, se dibuja una paralela a AC y este es el eje de homología.
Fundamento :
Se basa en que las únicas parejas de rectas homólogas que son paralelas son las que a su vez son paralelas al eje.

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Ejercicio de homología – 991

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Dado un triángulo equilátero ABC en una homología de vértice V, y con el homólogo del punto A, A´sobre C y de manera que una de las rectas límites pase por B. Se pide hallar la figura homóloga.

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SOLUCIÓN

1 – Unir B con V y da la dirección de A’B’

2 – Hacer paralela por A’ y ya se tiene A’B’. B’ no existe por estar en la RL
3 – Ídem CB, da la misma dirección de A’B’.
4 – C’ está en la unión de VC, luego A’C’ coincide con AC.
5 – Si por V se hace paralela a A’C’ (que es AC) donde corte a AC es un punto de la RL, como no se cortan no existe ese punto. Se une ese punto de corte (que no existe) con B, es decir, se hace una paralela a AC, y se tiene la recta límite.
6 – Para hallar C’ se determinará con una recta distinta a las dadas, la CX, donde X es un punto cualquiera de AB.
7 – Prologar CX hasta la recta límite y unir con V, esa es la dirección de C’X’.
8 – Unir X con V y donde corte a A’B’ es X’
9 – Por X’ hacer paralela a la dirección de C’X’ y donde corte a AC es C’
10 – Por C’ hacer una paralela a BV y se tiene C’B’.

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Ejercicio de homología – 990

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De una homología se conoce el centro O, el eje y la pareja de puntos A-A’.
Determinar el homológico del punto B.

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SOLUCIÓN

1 – Se dibuja una recta cualquiera, la r, que pase por el punto dado A.

2 – Si donde corta al eje se une con el homólogo, a’, se obtiene la recta homóloga, r’.
3 – Se elige un punto cualquiera de esa recta, el X, y se determina su homólogo, el X’, uniendolo con el centro de homología.
4 – Unir el punto B con el nuevo punto X.
5 – Donde corte al eje se une con su homólogo, X’, hasta cortar a la unión
del centro, O, con el punto B. El punto de corte es el homólogo de B, el B

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