Autor: Administrador

Ejercicio de homología – 989

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Los puntos M (140, -25) y N (195, -25) definen el lado de un cuadrado, situado todo él por debajo de dicho lado.
Hallar la figura homóloga de dicho cuadrado en una homología de centro O (110, 55) y eje de homología coincidente con el eje de abcisas, siendo dos puntos homólogos A’ (17, -40) y A (X, 10).

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos, M, N, O, A’ y hacer dos paralelas al eje X, una por el origen de coordenadas (eje de la homología, e) y otra a 10 mm por encima de él

2 – Dibujar un cuadrado de lado MN con los otros vértices, Ñ-P, por debajo de los primeros
3 – Unir O con A’ y donde corte a la horizontal que se hizo a 10 mm es A
4 – Unir M con A y donde corte al eje, e, unirlo con A’
5 – Unir O con M y donde corte a la anterior es M’
6 – Por M’ hacer una paralela a MN
7 – Unir N con O y donde corte a la paralela anterior es N’
8 – Prolongar MP hasta el eje, e, y unir ese punto con M’
9 – Unir P con O y donde corte a la anterior es P’
10 – Por P’ una paralela a ÑP
11 – Unir Ñ con O y donde corte a la anterior es Ñ’

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Ejercicio de homología – 988

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Dibujar la figura homológica del pentágono ABCDE cuando se conoce el centro de homología CH, el eje de homología EH y la recta límite RL

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SOLUCIÓN

1 – Prolongas un lado hasta cortar a la recta límite.

2 – Lo unes con el centro de homología
3 – Haces una paralela a esa unión por el punto donde la recta inicial corta al eje
4 – Unes los extremos de la recta inicial con el centro de homología hasta cortar a la anterior y ya tienes sus homólogos
Eso si ten la precaución de que A’B’ te salga paralela al eje

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Ejercicio de homología – 987

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En la homología definida por el centro O, el eje e y la recta límite, hallar la figura homológica del triángulo ABC.

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SOLUCIÓN

Aclararé la forma de designar a los elementos. Denominaré figura, rectas y puntos "iniciales" a los que dan en el enunciado (los que no tienen prima) y que por tanto hay que transformar. Mientras que los designaré como "homólogos" a los que se obtienen (los que tienen prima) o los que se buscan.
La dificultad viene en que cuando se da una recta límite hay que tener claro si es la recta límite de los puntos iniciales o la de los puntos homólogos.
Esto no siempre está claro pues a veces la nomeclatura que se da en los enunciados no es aclaratoria.
Se puede plantear una primera solución consistente en hacer una paralela a AC por el centro de homología hasta cortar a la recta límite y al unirlo con C se obtiene A’.

Pero existe una segunda opción en la que se prolonga AC hasta la recta límite y al unirlo con el centro se obtiene la dirección de la recta homóloga A’C’, que saldrá de C.

Como se ve en los dos gráficos que adjunto, el homólogo de A es distinto en ambos, entonces ¿ cuál es la solución correcta ?. Pues se podría decir que ambas están bien, pero claro en un examen uno debe dar la que se espera. ¿ En qué nos podemos basar para resolver ese dilema ?. Normalmente en la nomenclatura de la recta límite. Así si la letra con la que se designa a la recta límite no tiene prima será la recta límite que contiene a los puntos "iniciales" y que por tanto no tendrán homólogo. Sin embargo, si a la recta límite se la designase con alguna letra acompañada de un apostrofo ( ‘ ), entonces corresponde con los puntos homólogos.
Dicho de otra forma, si no tiene prima en ella están los puntos sin prima, y si la recta límite tiene prima sobre ella están los puntos con prima. Por lo tanto al prolongar una recta inicial el punto donde corte la recta límite sí será de esa recta si no tiene prima la recta límite y por tanto se unirá con el centro de homología para obtener la dirección de la recta homóloga, que es lo que he planteado en la segunda opción.
Ahora bien, si se hace una paralela a la recta inicial por el centro de homología hasta cortar a la recta límite, que no tiene prima, no se está realizando correctamente (teniendo en cuenta como se está llamando a la recta límite). Para saber porque se debe observar la homología espacial de la que derivo la plana correspondiente.

En la imagen anterior muestro los dos planos (en rojo y cian), el centro de homología O (exterior a ambos planos), el eje "e" (intersección de ambos planos), una recta inicial (la r) y su homóloga (la r’).
Si por el centro de homología se hace una paralela a la recta inicial, r, esta no cortará jamás al plano inicial (el cian), pero sí al plano homólogo (el rojo). Luego una paralela a una recta inicial no toca a la recta límite de los puntos iniciales sino a la recta límite de los puntos homólogos. Es por ello que no considero la primera opción como la buena, sino la segunda.
Pero ya digo que todo depende de lo que se quiera considerar, que la recta límite es de los puntos iniciales o de los puntos homólogos.

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Ejercicio de homología – 986

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Hallar la homología del cuadrado conocidos el eje, la recta límite y el centro de homología.

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SOLUCIÓN

1 – El vértice C es doble.
2 – Si unes donde CD corta a R.L con C.H obtienes la dirección de C’D’
3 – Por C’ haces paralela a esa dirección y uniendo C.H con D consigues D’

4 – Donde AB toca a R.L lo unes con C.H y por donde AB corta al eje le haces una paralela. Donde esta se corte con C.H – A es A’.
5 – B’ no existe por estar sobre R.L
6 – Marcar como solución las líneas que tengo en negro, teniendo en cuenta que las direcciones de A’B’ y C’D’ son paralelas entre sí y paralelas a la unión de B con C.H.

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Ejercicio de homología – 985

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Homología de un cuadrado ABCD, conocidos el eje de homología, el centro de homología, O, y la recta límite de los puntos homólogos, R.L’

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SOLUCIÓN

1 – La recta límite, R.L, de los puntos originales es paralela al eje y separada del centro de homología la misma distancia que hay entre la otra recta límite, R.L’, y el eje.

2 – Prolongar el segmento AB hasta el eje y unir A con el centro de homología. Por donde AB corte al eje dibujar una paralela a A-O
3 – Unir B con O y donde corte a la anterior, es el punto homólogo B’
4 – Unir B’ con C’ ( C es punto doble por estar en el eje )
5 – Prolongar C-D hasta cortar a la recta límite, R.L, y unir este punto con el centro de homología, O. Por C hacer una paralela a la recta anterior
6 – Unir O con D y donde corte a la anterior es D’
8 – Por D’ hacer una paralela a la unión de A-O

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Ejercicio de homología – 984

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Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L

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SOLUCIÓN

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos)

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste)
8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O
9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja)
10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′
11 – Repetir con varios puntos más y unirlos

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Ejercicio de homología – 983

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Conocidos el eje de homología, e, el centro de homología, O, y la recta límite de los puntos homólogos, R.L’, hallar el homólogo del punto A

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SOLUCIÓN

1 – Hacer la recta límite, R.L, de los puntos iniciales, mediante una paralela a R.L’ a una distancia, x, medida desde el centro de homología, O, igual a la que separa la recta límite R.L’ del eje

2 – Dibujar una recta, r, cualquiera que pase por el punto A
3 – Prolongarla hasta cortar a R.L (punto y)
4 – Unir Y con O y por donde r corte al eje la recta r, punto z, hacer una paralela a O-Y
5 – Unir A con O, y donde corte a la anterior es el punto homólogo A’

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Ejercicio de homología – 982

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Homología de un cuadrado, ABCD, conocido el centro de homología, O, la recta límite de los puntos iniciales, R.L, y la recta límite de los puntos finales, R.L’

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una paralela a las rectas límites a una distancia igual a la que separa el centro de homología de una recta límite, midiéndola respecto de la otra. Esto nos da el eje de la homología, e

2 – Prolongar uno de los lados, AD, hasta la recta límite, R.L. Unir su punto de corte, X, con el centro de homología, O. Por donde AD corte al eje, Y, se dibuja una paralela a OX. Unir A y D con O y donde corte a la paralela anterior son sus puntos homólogos, A’ y D’
3 – Por A’ trazar una paralela al eje de homología. Unir B con O y donde corte a la línea anterior es el homólogo B’.
4 – Por D’ trazar una paralela al eje de homología. Unir C con O y donde corte a la línea anterior es el homólogo C’.
5 – Unir B’ con C’.

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Ejercicio de homología – 981

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De una homología se conocen: V (11, 6), eje E {y = 6}, RL {y = 10}. Hallar el homólogo del triángulo A(9, 2); B(13, 10); C(3, 6)

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SOLUCIÓN

El que el centro de homología (o vértice de la homología) esté sobre el eje de la homología es irrelevante. El modo de operar es el mismo.
Este es el proceso.
1 – El vértice C por estar en el eje es doble, es decir, C’ está sobre C.

2 – El vértice B al estar sobre la recta límite tiene por homólogo un punto impropio, o dicho de otra forma, B’ no existe.
3 – Para averiguar el homólogo de A seguimos un procedimiento habitual. Prolongamos AC hasta tocar a la recta límite y al unirlo con el centro de homología (o vértice de la homología) da la dirección de la recta homóloga A’C’
4 – Se hace una paralela a esa dirección por donde AC corta al eje (que es el mismo punto C). En esa recta estará A’
5 – Se une A con V y donde corte a la anterior es A’
6 – Solo falta la dirección de B’C’ A’B’. Cualquiera de las dos se prolonga hasta la recta límite y al unirlo con V da la dirección de esas rectas homólogas. Dibujando paralelas por donde las rectas iniciales cortan al eje se obtienen sus homólogas (las líneas verdes)

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Dado un cuadrilátero (trapezoide) y un punto V, exterior; definir una homología que transforme dicho cuadrilátero en un paralelogramo de área equivalente al cuadrilátero (siendo V el centro de homología).

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SOLUCIÓN

Lo ilustraré en el siguiente ejemplo :

Inicialmente tenemos el cuadrilátero ABCD y el centro de homología, V.
Como deseas que se transforme en un paralelogramo, se prolongan los lados opuestos del cuadrilátero dado hasta que se corten y uniendo esos puntos de corte, X e Y, se consigue la recta límite.
Ahora el problema viene en conseguir algún dato del paralelogramo que se pide. No especifican cuál será, cuadrado, rectángulo, rombo o romboide, por lo que ahora mismo podría ser cualquiera de esos cuatro. Pero para el rectángulo, rombo y romboide se necesitaría tener algún dato de él, mientras que para el cuadrado no es necesario (porque la base y la altura son iguales), por lo tanto supondré que se solicita un cuadrado.
Para hacer un cuadrado equivalente al trapezoide dado, primero transformo el cuadrilátero en un triángulo equivalente, para ello uno dos de sus vértices, línea magenta, (lo he dibujado aparte de la homología en el siguiente dibujo, para que esté más claro, pero se puede hacer encima) y se hace una paralela por el otro vértice. Prolongando el lado contiguo se obtiene un triángulo equivalente (el que ves rayado), que tendrá de base la señalada como b y de altura la marcada con h.

Ahora, se transforma el triángulo obtenido en un cuadrado, para ello se igualan las áreas b·h/2 = L·L, por lo tanto, se conocen dos segmentos, b/2 y h, así que, plantearé una media proporcional para obtener el valor del lado del cuadrado, L (en el siguiente dibujo). La mitad de la base, b/2, y la altura, h, me han salido muy parecidas, pero no tienen por qué ser iguales.

Conocido el valor del lado del cuadrado se trata de llevarlo a la homología. Se prolonga uno de los lados hasta la recta límite, por ejemplo el AB, al unirlo con el centro de homología se consigue la dirección de la recta homóloga, A’B’. Sobre ella y a partir del centro de homología se lleva el valor del lado del cuadrado, L, hallado anteriormente. Dibujando una paralela a la unión del centro de homología con el vértice B por el extremo de esa longitud, L, se obtiene el punto A’ donde corte a la unión del centro de homología con el vértice A.

Con centro en A’ y radio el lado del cuadrado se traza un arco. Donde el arco corta a la unión de V con B es su homólogo B’. También se puede dibujar una paralela a VX por A’ y donde corte a VB es B’.

Conocido el lado del cuadrado A’B’ se dibuja este con líneas perpendiculares y llevando la longitud L.

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homología – 980