Autor: Administrador

Ejercicio de homología – 979

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Hallar el centro de homología en un sistema en el que se conoce su eje e y su recta límite l1 de manera que el triángulo homológico del dado A1-B1-C1 sea el triángulo equilátero A2-B2-C2.

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SOLUCIÓN

1 – Prolonga los lados A1-C1 y B1-C1, hasta cortar a la recta límite.

2 – Haz el arco capaz de 60º respecto del segmento formado por los dos puntos donde las rectas anteriores tocan a la recta límite.
3 – Repite el mismo proceso con A1-B1 y B1-C1, trazando un nuevo arco capaz de 60º. Si prolongas A1-B1 y A1-C1, el arco capaz será de 120º.
4 – Donde los dos arcos capaces se corten es el centro de la homología.
5 – Prolonga A1-C1 hasta cortar a la recta límite. Une ese punto con el centro de homología. Haciendo una paralela a esa recta por donde A1-C1 corta al eje de la homología.
6 – Une A1 y C1 con el centro de homología donde corte a la paralela del punto anterior son sus homólogos A2 y C2.
7 – Para B2 puedes repetir el mismo proceso con B1-C1 o A1-B1, o simplemente dibujar un triángulo equilátero a partir de A2-C2, pero en ese caso asegúrate que está hacia el lado correcto.

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Sección a un cono, apoyado en un plano P, por un plano un plano Q, aplicando homología.

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SOLUCIÓN

1 – Determina la intersección de los planos P y Q ( recta I ).

2 – Hacer un plano, R, paralelo a Q que pase por el vértice del cono V.

3 – Hallar la intersección entre el plano R y el plano P ( recta J ).

4 – Ya ha quedado definida la homología, siendo :
La proyección horizontal del vértice del cono, v, es el centro de homología, O.
La proyección horizontal, i, de la intersección de P y Q es el eje de la homología, e.
La proyección horizontal, j, de la intersección de los planos R y P es la recta límite, R.L.

5 – Con todo esto, y aplicando solo procedimientos homológicos, se puede determinar la intersección, como a continuación expongo :

Homología de una elipse (proyección horizontal de la base de un cono) conocido el centro de homología, O, el eje de homología, e, y la recta límite, R.L.

6 – Hacer una recta cualquiera (en azul grueso), que cortará a la elipse en un par de puntos (el punto 6 es uno de ellos).

7 – Prolongar la recta hasta cortar a la recta límite (punto celeste).

8 – Unir ese punto con el centro de la homología, O.

9 – Hacer una paralela a esta última por donde la recta inicial corta al eje de la homología (punto naranja).

10 – Unir el punto 6 con el centro de la homología, O, y donde se corte con la anterior es el homólogo 6′.

11 – Repetir con varios puntos más y unirlos.

 

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homología – 978

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Sección a un cono, en axonométrico, por un plano, P, mediante homología

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SOLUCIÓN

6 – Para aplicar la homología se debe tener al menos un punto de la intersección ya calculado (por el método anterior por ejemplo), punto M.

7 – Hacer una recta que una un punto cualquiera de la base, punto 3, con el punto donde la generatriz que pasa por el punto M corta a la base, punto 1.

8 – Se prolonga hasta que toque a la traza del plano p (punto d).

9 – Se une con el punto de la sección M.

10 – Donde esta última corte a la generatriz que parte de 3 es el punto de la sección Ñ.

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Ejercicio de homología – 976

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El triángulo ABC es la perspeciva cónica de un triángulo rectángulo, en A, contenido en el Plano Geometral. Sabiendo que el ángulo B vale 30º y que el vértice C pertenece al Plano del Cuadro, obtener: el Punto Principal, la distancia entre el Punto Principal y el Punto de Vista, la cota del Punto de Vista.
Suponiendo que el triángulo ABC es la base de un prisma recto de altura (AB + AC)/2, representar el poliedro con partes vistas y ocultas.

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SOLUCIÓN

Es un ejercicio de aplicación de homología a una perspectiva cónica :
1 – Como el punto C está tanto sobre el geometral como en el cuadro, su posición es sobre la línea de tierra (puntos comunes a los dos planos), por lo que la línea de tierra pasará por el punto C, siendo paralela a la línea de horizonte.

2 – Se define una homología, de eje la línea de tierra, como recta límite la línea de horizonte y conociéndose los homólogos de los ángulos, A’ = 90º y B’ = 30º.
3 – Se prolongan los lados correspondientes a los ángulos A y B hasta cortar a la recta límite y se realizan los arcos capaces de sus ángulos homólogos. El punto de corte de ambos arcos es el centro de la homología, que a su vez es el punto de vista abatido sobre el plano del cuadro.
4 – Ya se tienen los elementos necesarios para resolver la homología, siendo la figura homóloga el abatimiento sobre el plano del cuadro del triángulo dado.
5 – El punto principal se determina mediante una perpendicular a la línea de horizonte que baje desde el punto de vista abatido.
La distancia que hay entre el punto de vista y el punto principal es la distancia principal (39 mm).
La cota del punto de vista es la distancia que hay entre la línea de tierra y la línea de horizonte (77 mm).
El plano del cuadro lo he considerado transparente y por tanto no afecta a la visibilidad de la pieza.

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Ejercicio de homología – 975

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Hallar una cónica conocida tres tangentes (m, n y q) y los puntos de tangencia en dos de ellas (A y B).

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SOLUCIÓN

1 – La intersección de dos de las tangentes, m y n, da el centro de homología, O

2 – Se hace una circunferencia cualquiera, pero que sea tangente a esas dos tangentes
3 – Los puntos de tangencia de la circunferencia con las dos tangentes (puntos A’ y B’) son los homólogos de los puntos de tangencia dados, A y B
4 – El punto de corte de la recta que une los dos puntos dados, A y B, con la tercera tangente, q, se une con el centro de homología, O
5 – Donde esta última corte a la recta de los puntos de tangencia de la circunferencia, A’ y B’, es el homólogo Q’
6 – Desde este último punto, Q’, se traza una tangente, q’, a la circunferencia. Esta es la homóloga de la tangente dada q
7 – Se hallan los puntos de corte de las rectas homólogas, es decir, el punto M intersección de AB con A’B’, y el punto N intersección de q con q’. Uniendo M y N se consigue el eje de la homología.
8 – Definido el centro de la homología, O, el eje de la homología, MN, y un par de parejas de puntos homólogos, A-A’ y B-B’, se halla la homóloga de la circunferencia y da la cónica buscada

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Ejercicio de homología – 974

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Hallar la transformación homológica de una circunferencia, cuyo centro C está en la recta límite, R.L, conociendo el centro de homología O y el eje, e.

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SOLUCIÓN

Si una circunferencia corta a la recta límite (tenga su centro o no en la recta límite) su homóloga es una hipérbola.
1 – Hallar las tangentes, t1 y t2, a la circunferencia que pasan por los puntos de corte, A y B, con la recta límite

2 – Unir A y B con el centro de homología, O
3 – Por donde las tangentes, t1 y t2, cortan al eje, F y G, hacer paralelas a O-A y O-B, respectivamente. Estas últimas, t1′ y t2′, son las asíntotas de la hipérbola
4 – Prolongar las asíntotas hasta que se corten. El punto de corte, H’, es el centro de la hipérbola
5 – Hallar la bisectriz de las asíntotas, t1′-t2′, y este es el eje mayor o real. La perpendicular por H’ es el eje menor o imaginario
6 – Donde el eje mayor corte al eje de la homología, I’, se une con el punto de corte de las tangentes, t1 y t2. Como son paralelas, t1 y t2, se dibuja una paralela a ellas
7 – Esta recta corta a la circunferencia en los puntos 1 y 2

8 – Unir los puntos 1 y 2 con el centro de homología, O, y donde corta al eje mayor de la hipérbola son los vértices hipérbola, 1′ y 2′
9 – Por cualquiera de los dos vértices de la hipérbola, 1′ en mi dibujo, se levanta una perpendicular al eje mayor
10 – Hacer un arco con centro en el de la hipérbola, H’, y radio hasta donde la perpendicular anterior corta a las asíntotas, X
11 – Donde el arco corte al eje mayor de la hipérbola son los focos, F1 y F2
12 – Ya conocemos las asíntotas, t1′ y t2′, el eje mayor y menor, los vértices de la hipérbola, 1′ y 2′, y los focos, F1 y F2, se procede a trazar la hipérbola por el método que se crea más conveniente (trazado por puntos o hallando los homólogos de los puntos de la circunferencia)

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Ejercicio de homología – 973

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Dada una circunferencia de radio 18 mm, que pasa por A(-30, 20) y es tangente a la recta L de ecuación y = 50, quedando su centro a la derecha de A. Esta circunferencia es homóloga de una parábola de vértice A´(-18, -34), siendo A y A´ homólogos. Sabiendo que L es la recta límite de la circunferencia se pide determinar los elementos de la homología y de la parábola. El centro O de la homología debe quedar por arriba de L.

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos A y A’ (vértice de la parábola).

2 – Trazar la recta L (recta límite) a 50 mm de ordenada.
3 – Con centro en A y radio 18 mm se dibuja un arco.
4 – Dibujar una paralela a la recta L separada 18 mm.
5 – Donde se corten el arco y la paralela anterior (el punto de la derecha) es el centro de la circunferencia que se transformará. Dibujar la circunferencia.
6 – Determinar el punto de tangencia, T, entre la circunferencia y la recta límite, L. Para ello dibujar una perpendicular a la recta límite por el centro de la circunferencia, el punto de corte con L es T.
7 – Unir A con el centro de la circunferencia y dibujar una perpendicular a ese radio que pase por A.
8 – Prolongar la línea anterior hasta cortar a la recta límite, punto X.
9 – Determinar el punto medio del segmento T-X, y con centro en él y radio hasta T o X dibujar una semicircunferencia por encima de la recta límite.
10 – Unir A con A’ y donde corte a la semicircunferencia anterior es el centro de la homología, O.
11 – Unir T con O y dibujar una paralela por A’. Esta última es el eje de la parábola.
12 – Prolongar el eje de la parábola hasta cortar a T-A, punto N. Por este punto, N, se hace una paralela a la recta límite y esta es el eje de la homología.
13 – Por A’ dibujar una perpendicular al eje de la parábola. Esta es la tangente a la parábola por su vértice.
14 – Trazar la tangente a la circunferencia desde el centro de la homología.
15 – Prolongar la tangente por el vértice de la parábola hasta cortar a la tangente de la circunferencia anterior. Por el punto de corte trazar una perpendicular a la tangente de la circunferencia y donde corte al eje de la parábola es el foco de la parábola.

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Ejercicio de homología – 972

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¿ Cuál es el teorema de las tres homologías ?

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SOLUCIÓN

TEOREMA DE LAS TRES HOMOLOGÍAS

Este teorema sirve para relacionar dos homologías conocidas con una tercera que se necesita relacionar con alguna de las dos primeras, pudiendo determinar sus elementos.
El teorema de las tres homologías tiene dos formas distintas de expresarse. La primera es más clásica, pero también puede ser útil la segunda forma.
La primera forma (y más genérica) del teorema de las tres homologías dice :
"Si dos figuras están relacionadas mediante una homología, y la segunda figura está relacionada con una tercera figura mediante otra homología que comparte el mismo eje de las dos primeras, entonces la primera y tercera también se encuentran relacionadas mediante una homología, estando los tres centros de homología sobre una misma recta".
La segunda versión del teorema de las tres homologías se conoce como el reciproco del teorema de las tres homologías, que dice :
"Si dos figuras están relacionadas mediante una homología, y la segunda figura está relacionada con una tercera figura mediante otra homología que comparte el mismo centro de homología de las dos primeras, entonces la primera y tercera también se encuentran relacionadas mediante una homología que comparte el mismo centro para las tres, cortándose los tres ejes de las homologías en un mismo punto".

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Ejercicio de homología – 971

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De una homología se conocen las rectas r = r’, s y s’ y el par de puntos P y P’. Calcular el centro, el eje y las rectas límites.

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SOLUCIÓN

Se puede plantear un primera forma en la que la recta R por ser doble pasa por el centro de homología, pero esas no son las únicas rectas dobles. El eje de la homología es también una recta doble, de hecho esa es su definición, el lugar geométrico de todos los puntos dobles. Por lo que yo consideraré a la recta R como eje de la homología.
Con este planteamiento los pasos a seguir serán :
I – La recta r-r’ es el eje de la homología.
II – El centro de homología estará sobre la recta P=P’.
III – Se hace una recta cualquiera que parta de P y corte a la recta s y al eje de la homología. Al punto donde esta recta corta a s le llamaré X.
IV – Donde esta recta auxiliar toque al eje de la homología se une con el punto P’, y donde esta corte a la recta s’ será el homólogo del punto X.
V – Unir X con X’ hasta que corte a la unión de P con P’, siendo el punto de intersección el centro de la homología.

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Ejercicio de homología – 970

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¿ Qué es una homología involutiva ?

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SOLUCIÓN

Una homología involutiva cumplen estas características :
a) Las dos rectas límites son coincidentes
b) Las rectas límites son la paralela media entre el centro de homología y el eje
c) Si a la figura homóloga le haces una homología con los mismos elementos iniciales vuelves a obtener la misma figura inicial
La manera de resolverla es exactamente igual que en cualquier otro caso.

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