Autor: Administrador

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Hallar el centro de homología, el eje, y el homólogo con los cuales el homólogo del triángulo ABC, es un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa B’C’ = 60 mm.
A(90, 130), B (110, 160), C (70, 175). Recta límite R.L. de ecuación y = 200 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Prolongar los lados AB y AC hasta cortar a la recta límite, puntos X e Y.

2 – Con centro en el punto medio de XY y diámetro XY dibujar una semicircunferencia por encima de la recta límite.

3 – Prolongar el lado BC hasta cortar a la recta límite, punto Z. Trazar el arco capaz de 45º por encima de la recta límite entre XZ.

4 – Donde se corten los dos arcos es el centro de homología, O.
Existe una segunda solución si se hacen los arcos por debajo de la recta límite, que no he dibujado.

5 – Unir el punto Z con el centro de homología O y sobre ella y a partir del centro se mide la longitud del lado B’C’, punto W.

6 – Unir el centro de homología O con los puntos B y C.

7 – Desde W trazar una paralela a OB y donde corte a OC es el primer punto transformado, C’.

8 – Por C’ hacer una paralela a OZ y donde corte a OB es el transformado B’.

9 – Unir Y con O y después una paralela a OY por B’. Donde corte a la unión de O con A es el último transformado A’.

10 – Uniendo los puntos de corte de los lados homólogos, AC con A’C’ y AB con A’B’, se obtiene el eje de homología.

 

 

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homología – 969

Ejercicio de homología – 968

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Hallar la Sección a una esfera (centro O) por un plano, Q, mediante homología

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SOLUCIÓN

57 – Dibujar una recta horizontal, R2, del plano Q que pase por el centro de la esfera, O.

58 – La intersección de dicha horizontal, R2, con el contorno de la proyección horizontal de la esfera da los puntos 20 y 21, que constituyen el eje, e2, de la homología.
59 – Desde los puntos anteriores, 20 y 21, trazar tangentes al contorno de la esfera en proyección horizontal. El punto de corte de ambas tangentes, V2, es el centro de la homología.
60 – Dibujar una recta frontal, S2, del plano Q que pase por el centro de la esfera, O.
61 – La intersección de dicha frontal, S2, con el contorno de la proyección vertical de la esfera da los puntos 22′ y 23′. Llevarlos a la proyección horizontal de la frontal, puntos 22 y 23.
62 – Unir estas proyecciones, 22 y 23, con el centro de la homología, V2. Donde corte al contorno de la proyección horizontal de la esfera tenemos los homólogos, h22 y h23.
63 – Ya tenemos definida la homología con los siguientes elementos :
– Eje de homología, e2 = 20-21.
– Centro de homología, V2.
– Par de puntos homólogos, 22 y h22 o 23 y h23.
64 – Para hallar más puntos de la cónica, unir un punto cualquiera del contorno de la esfera en proyección horizontal, h24 por ejemplo, con uno de los puntos anteriores, h22.
65 – Prolongar hasta cortar al eje de homología, e2, (en este caso no es necesario) y unir con el homólogo, 22.
66 – Unir h24 con el centro de la homología, V2, y donde corte a la anterior es el punto 24 homólogo de h24 y uno de los puntos de la elipse.
67 – Repetir con más puntos para determinar la elipse.
66 – Para la proyección vertical se opera de igual forma que la proyección horizontal.

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Hallar la sección del cono por el plano oblicuo Q; en diédrico mediante una homología a partir de un punto.

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SOLUCIÓN

95 – Determinar un punto de la sección por cualquiera de los métodos anteriores, método 1, método 2 o método 3.

Lo más sencillo sería mediante un cambio de plano o por intersección de una recta con un plano.
96 – Se une el punto obtenido con el vértice del cono hasta cortar a la base (esto ya estará hecho) y donde toque a la base es su homólogo.
97 – Queda definida una homología con :
– Eje de homología, la intersección del plano de la base y del plano seccionador.
– Centro de la homología, la proyección horizontal del vértice del cono.
– Un par de puntos homólogos, el obtenido por uno de los procedimientos anteriores y el de la base que está en su generatriz.
98 – Para resolverla unir el punto de la base con otro también de la base hasta cortar al eje de homología.
99 – Desde ahí unirlo con el punto de la sección ya obtenido.
100 – Unir el centro de homología con el punto de la base y donde corte a la recta anterior es su homólogo y por tanto un punto de la sección.
101 – Repetir con más puntos y unirlos.

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homología – 967

Ejercicio de homología – 966

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Hallar la sección del cono por el plano oblicuo Q en diédrico mediante una homología proyectada

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SOLUCIÓN

80 – Hallar la intersección del plano de la base del cono y del plano que produce la sección. La intersección de ambos es el eje de la homología.
81 – Dibujar un plano paralelo al que produce la sección pasando por el vértice del cono.
82 – Hallar la intersección del plano de la base del cono y del plano paralelo que pasa por el vértice. La intersección de ambos es la recta límite de la homología.
83 – La homología ha quedado definida :
– Eje de homología, la intersección del plano de la base con el plano seccionador.
– Recta límite, la intersección del plano de la base con el plano paralelo al seccionador que pasa por el vértice del cono.
– Centro de homología, la proyección horizontal del vértice del cono.
– Figura a transformar, la proyección horizontal (elipse) de la base del cono.
84 – Para resolver la homología unir dos puntos cualquiera de la proyección horizontal de la base del cono hasta cortar al eje y la recta límite de la homología.
85 – Donde corte a la recta límite se une con el vértice del cono y después se dibuja una paralela a esa unión pasando por donde la recta que unía los puntos de la base cortaba al eje de la homología.
86 – Unir el centro de la homología con los puntos de la base del cono que se unieron y donde corten a la recta anterior son sus puntos homólogos, y por tanto punto de la sección buscada.
87 – Repetir con varios puntos más.
88 – Unir los puntos obtenidos con una curva.

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Dado un triángulo equilátero ABC en una homología de vértice V, y con el homólogo del punto A sobre C y que ambas rectas límites sean coincidentes y pasen por B. Se pide hallar la figura homóloga.

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SOLUCIÓN

OPCIÓN I

1 – Prolongar AB hasta la recta límite, punto B, y al unir con V da la dirección de A’B’.
Aunque aún no se conoce la posición exacta de la recta límite, sí se conoce que pasa por el punto B, luego, al prolongar AB hasta cortar a la recta límite no tiene más remedio que cortarla en el punto B.

2 – Dibujar una paralela por A’ y ya se tiene A’B’. B’ no existe por estar en la RL.

3 – Ídem CB, que da la misma dirección de A’B’.

4 – Como ambas rectas límites son coincidente se trata de una homología involutiva. Por lo tanto, si C’ está sobre A entonces A’ está sobre C.

5 – Por C’ una paralela a BO (que es la dirección de B’C’) y se tiene la recta B’C’.

6 – Prolongar AB y A’B’. Su punto de corte, X, es un punto del eje de la homología.

7 – Prolongar BC y B’C’. Su punto de corte, Y, es otro punto del eje de la homología.

8 – Uniendo X e Y tenemos el eje de la homología.

9 – Las rectas límites son paralelas al eje pasando por B.

OPCIÓN II

Otra forma de obtener un punto del eje es Unir O con B y llevar esa distancia en su prolongación.
Su extremo Z es un punto del eje (se basa en que la recta límite está en la paralela media entre el centro de homología y el centro de homología, en una homología involutiva).

 

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homología – 965

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Corte de una pirámide cuadrangular por un plano definido por tres puntos, ABC.

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SOLUCIÓN

Ejercicio de diédrico clásico, resuelto mediante homología.

El objetivo es relacionar la base y el plano horizontal de proyección con el plano seccionador y la sección mediante una homología.
Hallar las trazas del plano que forman los tres puntos como se ha explicado en el apartado anterior (pulsar aquí para verlo de nuevo).
21 – Se planteará una homología con los siguientes elementos :
– Centro de homología, la proyección horizontal de la pirámide, v.
– Eje de homología, la traza horizontal del plano seccionador, p.
– Figura a transformar, la proyección horizontal de la base de la pirámide, d-e-f-g.
– Punto ya transformado, las proyecciones horizontales de los puntos del plano que están sobre las aristas de la pirámide, a y c. A es el homólogo de G y C el homólogo de E.

22 – Prolongar la arista d-g hasta cortar a la traza del plano y ese punto se une con a. Donde esta última corte a la arista d-v es un punto de la sección, j.
23 – Ahora se debería repetir los mismos pasos (prolongar aristas de la base hasta la traza del plano y unirlo con el punto de la sección) pero en este caso A, B y C ya son puntos de la sección por pertenecer al plano y estar sobre las aristas de la pirámide.
24 – Además nos debemos de fijar en los puntos, B y N, en los que la base de la pirámide corta a la traza horizontal del plano, ya que una está sobre la otra. Luego estos también son puntos de la sección.
25 – Unir los puntos que estén en una misma cara, A con B, B con N, N con C, C con J y J con A.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 999

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Trazar una hipérbola conocido un foco (F1), el vértice opuesto (V2) y una tangente (t)

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SOLUCIÓN

1 – Traza la perpendicular a la tangente t por el foco conocido F1

2 – Une donde la perpendicular toca a la tangente, x, con el vértice conocido, V2
3 – Halla la mediatriz de ese último segmento, x-V2
4 – Donde corte a la unión del foco conocido, F1, con el vértice conocido, V2, da el centro de la hipérbola, O
5 – Por simetría respecto del centro de la hipérbola, O, se obtienen el otro vértice y foco

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 998

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Hipérbola conocidos sus dos vértices (V1 y V1′) y una tangente (t)

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SOLUCIÓN

1 – Unir ambos vértices y trazar una circunferencia con centro en su punto medio y diámetro la distancia entre los dos

2 – Por donde la circunferencia corta a la tangente se traza una perpendicular a ella
3 – Donde la perpendicular corte a la unión de los vértices es uno de los focos de la hipérbola

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 997

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Hipérbola conocidos los dos focos y una tangente

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SOLUCIÓN

a – Se halla el simétrico, s1, de uno de los focos respecto de la tangente

b – Al unir el simétrico, s1, con el otro foco se obtiene la medida del eje mayor, 2a
c – Uniendo los dos focos se tiene la distancia focal
d – Desde el centro de este último se lleva la medida del eje mayor, 2a, para determinar los vértices de la hipérbola

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 996

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Hipérbola conocida un foco, F1, una tangente, t, el punto de tangencia, T, y la medida del eje mayor, 2a

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, s, del foco, F1, respecto de la tangente, t

2 – Unir el simétrico, s, con el punto de tangencia, T
3 – Sobre esa recta y a partir del simétrico, s, llevar la medida del eje mayor. Es e punto es el segundo foco, F2
4 – Unir ambos focos, F1 y F2, determinando su punto medio
5 – A partir de su punto medio llevar hacia ambos lados la mitad del eje mayor, 2a, siendo estos los vértices de la hipérbola
6 – Realizar el trazado por puntos

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