Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 985

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Hipérbola conociendo dos tangentes, t1 y t2, el punto de tangencia de una de ellas, T, y un foco F.

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SOLUCIÓN

1 – Halla los simétricos del foco respecto de las dos tangentes.
2 – Une los dos puntos simétricos y determina su mediatriz.
3 – Une el simétrico del foco con el punto de tangencia (utiliza el simétrico respecto de la tangente en la que está el punto de tangencia).
4 – Donde esta última corte a la mediatriz de los simétricos es el segundo foco.
5 – La distancia que hay entre ese segundo foco y el simétrico del primer foco (en la recta que pasa por el punto de tangencia) es la medida del eje mayor.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 984

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Dadas tres tangentes y un foco determinar su hipérbola.

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SOLUCIÓN

1 – Haces el simétrico del foco respecto de dos de las tangentes y hallas la mediatriz de la recta que los une, obtienes una recta sobre la que está el foco.

2 – Repite con otras dos tangentes, y donde se corten el segundo foco.
3 – Midiendo desde uno de los simétricos del foco hasta el otro, obtienes la medida del eje mayor.
4 – Ya tienes lo necesario

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Hallar una cónica conocida tres tangentes (m, n y q) y los puntos de tangencia en dos de ellas (A y B)

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SOLUCIÓN

1 – La intersección de dos de las tangentes, m y n, da el centro de homología, O.

2 – Se hace una circunferencia cualquiera, pero que sea tangente a esas dos tangentes.
3 – Los puntos de tangencia de la circunferencia con las dos tangentes (puntos A’ y B’) son los homólogos de los puntos de tangencia dados, A y B.
4 – El punto de corte de la recta que une los dos puntos dados, A y B, con la tercera tangente, q, se une con el centro de homología, O.
5 – Donde esta última corte a la recta de los puntos de tangencia de la circunferencia, A’ y B’, es el homólogo Q’.
6 – Desde este último punto, Q’, se traza una tangente, q’, a la circunferencia. Esta es la homóloga de la tangente dada q.
7 – Se hallan los puntos de corte de las rectas homólogas, es decir, el punto M intersección de AB con A’B’, y el punto N intersección de q con q’. Uniendo M y N se consigue el eje de la homología.
8 – Definido el centro de la homología, O, el eje de la homología, MN, y un par de parejas de puntos homólogos, A-A’ y B-B’, se halla la homóloga de la circunferencia y da la cónica buscada.

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HIPÉRBOLAS – 983

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 982

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Hallar una hipérbola conocida una asíntota (as), un foco (F1) y la relación a/c = 2/3 (semieje mayor / semidistancia focal)

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SOLUCIÓN

1 – En un lugar cualquiera de la asíntota se coloca un segmento, x-y, proporcional al denominador de la relación a/c (por ejemplo c’ = 3 cm)

2 – Se traza una semicircunferencia de centro en el punto medio de x-y y diámetro la distancia x-y
3 – Con centro en uno de sus extremos y radio una cantidad proporcional al denominador de la relación a/c (por ejemplo a’ = 2 cm) se dibuja un arco
4 – Donde corte a la semicircunferencia, punto z, se une con los extremos x e y. Los dos catetos del triángulo formado son las direcciones de los ejes principales de la hipérbola
5 – Por el foco conocido, F1, se dibuja una paralela a z-y
6 – Hacer el simétrico (sF) del foco, F1, respecto de la asintota, as
7 – Por el simétrico del foco, sF, se hace una paralela a la asíntota
8 – Donde esta paralela corte a la paralela a z-y que pasaba por el foco es el segundo foco, F2
9 – La distancia entre el simétrico del foco, sF, y el segundo foco, F2, da la medida del eje mayor, 2a

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 981

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Hipérbola conociendo las asintotas (± 45º) y la magnitud b

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SOLUCIÓN

I – Por el ángulo de las asíntotas se trata de una hipérbola equilátera
II – En ese caso el valor del semieje mayor es igual al de semieje menor, a = b
III – Dibujar los dos ejes perpendiculares entre sí
IV – Hacer las asíntotas formando 45º con los ejes
V – Sobre el eje mayor colocar su valor y levantar una perpendicular hasta la asíntota
VI – Con esto se forma un triángulo en el que la hipotenusa es el valor de la semidistancia focal

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 980

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Hipérbola conociendo: asintota, foco F y la distancia "a" (semieje mayor)

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SOLUCIÓN

a – Dibuja el simétrico del foco respecto de la asíntota
b – Por el simétrico traza una paralela a la asíntota
c – A partir del simétrico y sobre la paralela anterior se lleva la distancia 2a y ese es el segundo foco
d – Une los dos focos
e – Donde la unión corte a la asíntota es el centro de la hipérbola
Con esto ya tienes los elementos necesarios para hallar la hipérbola

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 979

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Hallar los ejes, focos y vértices de la hipérbola dada por: Foco «F», distancia 2a = 60 mm y asíntota «s». Se dibujará la curva.
Tomando como origen de coordenadas el vértice inferior izquierdo del folio en vertical, el foco tiene de coordenadas (48, 133).
Trazando una paralela al borde inferior por F, la asíntota corta a esta paralela a 5 cm a la derecha de F, y forma 132º con la recta hacia la derecha.

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SOLUCIÓN

1 – Se determina el punto simétrico al foco, respecto de la asíntota.
2 – Hacer una paralela a la asíntota que pase por el simétrico del foco.
3 – A partir del simétrico del foco se lleva la medida del eje mayor sobre la paralela anterior, siendo ese el segundo foco.
Conseguido el segundo foco el resto ya lo sabrás hacer.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 978

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Construcción de una hipérbola por puntos o trazado de una hipérbola conocido los focos, F1 y F2, y los vértices, A y A’a.

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SOLUCIÓN

1 – Tomas varias divisiones sobre el eje real (en mi caso solo una, la marcada como 1)

2 – Mides la distancia entre esa división y uno de los vértices, 1A = X.
3 – Con centro en uno de los focos haces un arco de radio X
4 – Mides la distancia entre la división 1 y el otro vértice, 1A’ = Y
5 – Con centro en el otro foco haces un segundo arco de radio Y
6 – Donde se cortan los dos arcos son puntos de la hipérbola
7 – Repites cambiado los focos y con más divisiones

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 977

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Hipérbola conocidos dos puntos, P y Q, un foco, F1, y el eje mayor, 2a

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en uno de los puntos, P, y radio la suma de la distancia entre ese punto y el foco, x, más 2a se hace un arco

2 – Se repite con el otro punto, Q, siendo el radio y + 2a
3 – Donde se corten es el segundo foco

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 976

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Hipérbola conocido su centro, O, un vértice, A, y la medida del semieje menor, b

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SOLUCIÓN

1 – Uniendo el centro de la hipérbola, O, con el vértice, A, se obtiene la medida del semieje mayor, a. Si sobre el eje OA se lleva el semieje mayor, a, hacia el otro lado del centro de la hipérbola, se consigue el segundo vértice A’

2 – Conocidas las medidas del semieje menor, b, y del semieje mayor, a, se determina la semidistancia focal, c, mediante un triángulo rectángulo cuyos catetos son las dos semiejes. La hipotenusa de dicho triángulo es la semidistancia focal,c. Este triángulo se puede construir tanto aparte, como sobre el eje (triángulos rellenos de azul)
3 – Conocida la semidistancia focal se trazan los focos, F1 y F2, midiendo la semidistancia focal, c, sobre el eje OA
4 – Cconocidos los vértices, A y A’, de la hipérbola y los focos, F1 y F2, se realiza el trazado por puntos

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