Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 995

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Hipérbola equilátera conocido el radio de la circunferencia focal, 40 mm

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SOLUCIÓN

1 – El radio de la circunferencia focal es igual a la medida del eje mayor, 2a = 40 mm
2 – En una hipérbola equilátera el eje mayor mide lo mismo que el eje menor, a = b = 40/2
3 – Conocidos los semiejes mayor y menor se determina el semieje menor construyendo un triángulo rectángulo de catetos igual al semieje mayor y menor. La hipotenusa de ese triángulo es la semidistancia focal, c
4 – Conocidas las tres magnitudes fundamentales, a, b y c, se traza la hipérbola por puntos.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 994

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Hipérbola de la que se conoce un punto F(340, 200) de una asintota, un punto G(330, 110) de la otra asíntota, la recta que contiene al centro que es horizontal y pasa por H(270, 160), un punto I(280, 200) de la curva y la relación b/a = 4/5,

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SOLUCIÓN

1 – Construyes un triángulo rectángulo de catetos iguales a 4 (el cateto vertical) y 5 (el cateto horizontal). El doble del ángulo entre el cateto horizontal y la hipotenusa es el ángulo entre las dos asíntotas.

2 – Unir los puntos F y G que están sobre las asíntotas, y dibujar el arco capaz del ángulo entre las asíntotas respecto del segmento F-G
3 – Donde el arco capaz corte a la recta H es el centro de la hipérbola
4 – Unir el centro de la hipérbola con los puntos F y G y se obtienen las dos asíntotas
5 – Las bisectrices de los ángulos que forman las dos asíntotas son los ejes de la hipérbola
6 – Por el punto de la curva, I, se traza una paralela al eje mayor de la hipérbola. Esta paralela corta a las asíntotas en dos puntos M (el más cercano a I) y N (el más alejado de I).
7 – Dibujar una semicircunferencia con centro en el punto medio entre I y N.
8 – Por M trazar una perpendicular al eje mayor hasta cortar a la semicircunferencia, Ñ.
9 – La distancia entre I y Ñ es el valor del semieje mayor, a.
10 – Colocando el semieje mayor, a, sobre el eje mayor y desde ahí levantar una perpendicular al eje mayor hasta cortar a la asíntota. Esta última es el valor de la semidistancia focal, c.
11 – Trazar la hipérbola por puntos

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 993

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Hipérbola de la que se conoce un punto F(340, 200) de una asintota, un punto G(330, 110) de la otra asíntota, la recta que contiene al centro que es horizontal y pasa por H(270, 160), un punto I(280, 200) de la curva y la relación b/a = 4/5,

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SOLUCIÓN

1 – Construyes un triángulo rectángulo de catetos iguales a 4 (el cateto vertical) y 5 (el cateto horizontal). El doble del ángulo entre el cateto horizontal y la hipotenusa es el ángulo entre las dos asíntotas.

2 – Unir los puntos F y G que están sobre las asíntotas, y dibujar el arco capaz del ángulo entre las asíntotas respecto del segmento F-G
3 – Donde el arco capaz corte a la recta H es el centro de la hipérbola
4 – Unir el centro de la hipérbola con los puntos F y G y se obtienen las dos asíntotas
5 – Las bisectrices de los ángulos que forman las dos asíntotas son los ejes de la hipérbola
6 – Hallar el simétrico, S, del punto de la curva, I, respecto de la asintota. Por el simétrico, S, se dibuja una paralela a la asíntota respecto de la que se hizo el simétrico. Donde la paralela corte a eje mayor es uno de los focos, F
7 – Ya se conoce la semidistancia focal (entre el foco y el centro de la hipérbola). Hallar el semieje mayor y menor mediante el triángulo rectángulo (del primer apartado) colocando sobre la hipotenusa el valor de la semidistancia focal. Mediante paralelas a los dos catetos por sus extremos obtenemos el valor de los semiejes mayor y menor
8 – Trazar la hipérbola por puntos

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 992

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Hallar, en una hipérbola, el eje real (o mayor) conocido el eje imaginario (o menor) y la distancia focal.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar dos líneas perpendiculares o utilizar los ejes de la hipérbola si se tienen ya dibujados.
2 – Colocar sobre una de las perpendiculares la medida del semieje imaginario (o menor).
3 – Con centro en su extremo y radio la semidistancia focal trazar un arco.
4 – Donde corte el arco a la otra perpendicular es el semieje real (o mayor).

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 991

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Hipérbola conocidas dos tangentes, un foco y el semieje mayor o real a = 22 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico del foco respecto de cada una de las tangentes, S1 y S2.
2 – Con centro en los simétricos, S1 y S2, y radio el eje mayor, 2a = 2·22 = 44 mm, se hacen sendos arcos.
3 – El punto de corte de los dos arcos es el segundo foco.
4 – Uniendo los dos focos se tiene la distancia focal, 2c. Desde su punto medio se lleva a cada lado el semieje menor y se tienen los vértices.

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Hipérbola conocidos los dos focos y una asíntota.

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SOLUCIÓN

1 – Unir los dos focos. Esta recta es el eje mayor o real de la hipérbola. Donde corte a la asíntota es el centro de la hipérbola.

2 – Por el centro de la hipérbola dibujar una perpendicular al eje mayor. Este será el eje menor o imaginario.

3 – Dibujar un arco hasta la asíntota, de centro en el centro de la hipérbola y radio hasta el foco. Donde el arco corta a la asíntota se traza una perpendicular al eje mayor. Donde lo corte es uno de los vértices de la hipérbola. Dibujar el otro por simetría.

4 – Conocidos los dos focos (distancia focal) y los dos vértices (eje mayor), dibujar la hipérbola por puntos.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 989

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Intersección de una recta, R, en una hipérbola, conocidos sus elementos.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una circunferencia de centro en un foco, F2, y radio la medida del eje mayor, 2a (circunferencia focal).

2 – Con centro, X, en cualquier punto de la recta dada, R, y radio hasta el otro foco, F1, trazar una segunda circunferencia que corte a la primera.
3 – Unir los puntos, 1 y 2, de corte de las dos circunferencias; y por el foco F1 dibujar una perpendicular a la recta dada, R. Donde se corten ambas rectas es el centro radical, CR.
4 – Unir el centro radical, CR, con el foco F2 y dibujar una circunferencia de centro en su punto medio, Y, y radio hasta el foco F2.
5 – Unir los puntos de corte, Z y W, de esta última circunferencia con la circunferencia focal con el foco F2 y donde corte a la recta dada, R, son los puntos de corte, P1 y P2, de la recta con la hipérbola.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 988

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Hipérbola conocida la dirección del eje mayor o real, un punto de la curva, P, una asíntota, as1, y la medida del semieje mayor, a.

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SOLUCIÓN

1 – En cualquier lugar de la asíntota, as1, se traza un segmento de longitud el semieje mayor, a, y paralelo a la dirección del eje mayor dada (triángulo azul).

2 – Por el extremo del segmento se levanta una perpendicular hasta tocar a la asíntota formando un triángulo rectángulo en el que el nuevo cateto es la medida del semieje menor, b, y la hipotenusa la medida de la semidistancia focal, c.
3 – Se toma un punto cualquiera, O’, de la asíntota como centro de una hipérbola paralela a la buscada.
4 – A partir del centro, O’, y con una paralela a la dirección del eje mayor se trazan los vértices, a1′ y a2′, y los focos, F1′ y F2′, con las medidas obtenidas.
5 – Por el punto de la curva dado, P, se dibuja una recta, as’, paralela a la asíntota, as.
6 – Se halla el punto, P’, de corte de la recta, as’, con la hipérbola de centro O’, vértices a1′ y a2′ y focos F1′ y F2′ (con el método explicado de este enlace, pulsa aquí).
7 – Se une el punto P’ con el centro O’ y una paralela a esta por P. Donde corte a la asíntota, as, es el centro, O, de la hipérbola buscada.
8 – Por el centro, O, una paralela a la dirección del eje mayor y con la semidistancia focal se determinan sus focos, F1 y F2, así como el resto de los elementos de la hipérbola (en negro).

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 987

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Hipérbola conocida una asíntota, as, un tangente, t, y un foco, F1

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, sa, del foco, F1, respecto de la asíntota, as).

2 – Hallar el simétrico, st, del foco, F1, respecto de la tangente, t
3 – Hacer la mediatriz, x, del segmento formado por los dos simétricos, sa y st
4 – Dibujar una paralela, y, a la asíntota, as, por el simétrico sa
5 – Donde se encuentren la mediatriz, x, y la paralela, y, es el segundo foco, F2
6 – La distancia entre cualquiera de los dos simétricos, sa o st, y el segundo foco, F2, es la medida del eje mayor, 2a

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 986

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Trazado de una hipérbola conocidas dos tangentes, un foco y la distancia focal, 2c

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SOLUCIÓN

1 – Halla los simétricos del foco, s1 y s2, respecto de las dos tangentes, t1 y t2

2 – Halla la mediatriz entre los dos simétricos
3 – Con centro en el foco y radio 2c se traza un arco, donde corte a la mediatriz anterior es el segundo foco
4 – Unir los dos focos y ese es el eje mayor
5 – Perpendicular al eje mayor y por el punto medio entre los dos focos se traza el eje menor

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