octubre 2014 – Página 104

Proyecciones de una recta conocidos los ángulos con los planos de proyección

Ejercicios sobre angulos en el sistema diedrico. Determinacion de angulos entre rectas y planos – 997

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Hallar las proyecciones de una recta conocidos los ángulos que forma con el plano horizontal y vertical de proyección.

SOLUCIÓN

1 – Se toma un punto de alejamiento cero (proyección x sobre la línea de tierra) y cota cualquiera (proyección x’)

recta dados los ángulos con los planos de proyeccion

2 – Por x’ se traza una recta que forme con la línea de tierra el ángulo dado para el plano horizontal de proyección (P.H)
3 – A esta recta se le determina su punto medio y con centro en él se dibuja media circunferencia
4 – Por x’ y a partir de la recta anterior se levanta otra que forme el ángulo dado para el plano vertical de proyección ( P.V )
5 – Con centro en x’ y radio hasta 1 se hace un arco hasta la línea de tierra. Donde corte a la línea de tierra es y’
6 – Con centro en x y radio hasta 2 se hace otro arco
7 – Por y’ se baja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco anterior, punto y
8 – Uniendo x con y y x’ con y’ dan las proyecciones de la dirección de la recta buscada, r y r’.

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ÁNGULOS -997

Recta que forma 60º con el primer bisector conocida su traza horizontal

Ejercicios sobre angulos en el sistema diedrico. Determinacion de angulos entre rectas y planos – 996

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Por el punto A(5,1) trazar la recta (m) que forma 60º con el primer bisector y tal que su traza horizontal tiene alejamiento 7 (tomarla más a la izquierda).

SOLUCIÓN

1 – Hacer el cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la primera.

recta que forme un ángulo con el primer Bisector

2 – Cambia de plano el punto A y el plano bisector.

3 – En el cambio de plano, por A, trazar una recta que forme 60º con el plano bisector.

4 – Se hace un nuevo cambio de plano, con la línea de tierra paralela al plano bisector.

5 – Se cambia de plano el punto B y el punto A.

6 – Con centro en A y radio hasta B se traza un arco.

7 – Se marca una paralela a 7 cm (70 mm) de alejamiento.

8 – Donde corte a la segunda línea de tierra, es la traza horizontal cambiada de plano.

9 – Al unirlo con el punto A en el segundo cambio de plano se obtiene proyección de la recta girada.

recta que forme un ángulo con el primer Bisector 2

10 – Esta toca a la tercera línea de tierra en e punto C.

11 – Se lleva el punto C hasta la circunferencia del último cambio de plano.

12 – Se une le punto de C con A, en el último cambio de plano.

13 – Se une C con A en el último cambio de plano.

14 – Se lleva el vértice H hasta la unión de A y C.

15 – Conocido el alejamiento de H se lleva a la proyección horizontal.

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ÁNGULOS en diédrico – 996

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 995

Ejercicios sobre angulos en el sistema diedrico. Determinacion de angulos entre rectas y planos – 995

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 995

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Plano, P, que pasa por A (0, 6, 7) forma 45º con el plano horizontal de proyección y su traza horizontal forma 60º con la línea de tierra.

SOLUCIÓN

1 – Colocar el punto A.
2 – Dibujar una recta horizontal, R, que pase por A. Su proyección vertical es paralela a la línea de tierra y su proyección horizontal forma 60º respecto de la línea de tierra (el mismo ángulo que forma la traza horizontal del plano).
3 – Hallar la traza vertical de la recta. Para ello donde la proyección horizontal corte a la línea de tierra se sube una vertical hasta la proyección vertical y esta es la traza de la recta.
4 – Trazar una segunda línea de tierra (para hacer un cambio de plano) perpendicular a la proyección horizontal de la recta horizontal.
5 – Cambiar de plano el punto A.
6 – Por el punto A en el cambio de plano trazar una línea que forme 45º respecto de la segunda línea de tierra. Esta es la traza del plano en el cambio de plano.
7 – Donde la traza del plano, en el cambio de plano, toque a la segunda línea de tierra se dibuja una perpendicular a la segunda línea de tierra (o una recta que forme 60º respecto de la primera línea de tierra). Esta es la traza horizontal del plano.
8 – Por el punto donde la traza horizontal del plano corte a la primera línea de tierra se une con la traza de la recta y esta es la traza vertical del plano.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 994

Ejercicios sobre angulos en el sistema diedrico. Determinacion de angulos entre rectas y planos – 994

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 994

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Hallar un plano paralelo a la línea de tierra, que forme 30º con el plano horizontal de proyección ( o 60º con el plano vertical de proyección) y que pase por un punto A.

SOLUCIÓN

1 – Llevar el punto dado, A, al perfil (líneas verdes).

ángulos que forma un plano paralelo a la línea de tierra

2 – En el perfil trazar una línea que forme el ángulo dado con el plano horizontal de proyección, P.H (o el vertical, P.V, fijarse en la figura como se miden) y que pase por la proyección de perfil, a", del perfil. Esto nos da el plano en el perfil, p".
3 – Por donde el plano en el perfil, p", corte al plano horizontal de proyección se traza un arco y después una paralela a la línea de tierra que da la traza horizontal del plano, p.
4 – Por donde el plano en el perfil, p", corte al plano vertical de proyección se traza una paralela a la línea de tierra que da la traza vertical del plano, p’.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 993

Ejercicios sobre angulos en el sistema diedrico. Determinacion de angulos entre rectas y planos – 993

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 993

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Hallar una recta contenida en un plano paralelo a la línea de tierra y que pasa por el punto O (de ese plano) y forma 30º con el plano horizontal de proyección.

SOLUCIÓN

13 – Desde la proyección vertical del punto, O’, se trazan líneas que formen con la línea de tierra el ángulo dado con el plano horizontal de proyección, 30º

plano paralelo a la linea de tierra y forma un angulo

14 – Donde corte a la línea de tierra, punto x’ (da igual que sea a la derecha o a la izquierda) se baja hasta una paralela a la línea de tierra que pasa por O, dando x
15 – Con centro en O y radio hasta x se traza una circunferencia
16 – Donde la circunferencia corte a la traza horizontal del plano, puntos 1 y 2, se unen con el punto O, y esas son las dos posibles soluciones
17 – Subir los puntos 1 y 2 hasta la línea de tierra, 1′ y 2′, y unir con O’ para determinar sus proyecciones verticales
18 – De las dos posibles soluciones, O-1 y O-2, se elegirá O-1 por que a medida que los puntos van hacia la derecha aumentan de cota, como pide el enunciado

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Recta que pasa por un punto, con el ángulo con el plano horizontal y paralela a un plano

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Dados el punto A(-5, 7, 12) y el plano P(8, 12, 14), dibujar las rectas que pasan por A, forman 60º con el plano horizontal de proyección y son paralelas al plano P.

SOLUCIÓN

1 – Por la proyección vertical del punto A se traza una línea que forme con la línea de tierra el ángulo dado con el plano horizontal de proyección, 60º.

plano que forma un ángulo con php

2 – Donde toque a la línea de tierra, x’, se baja hasta una paralela a la línea de tierra que pase por la proyección horizontal de A. Esto nos da la proyección horizontal, x.

3 – Con centro en la proyección horizontal de A y radio hasta x hacer una circunferencia.

4 – Por el punto A dibujar un plano paralelo al dado:

4.a -Trazar por el punto A una recta horizontal (en azul), con su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano.

4.b – Hallar la traza vertical de esa recta, v’.

4.c – Por la traza vertical hacer una paralela a la traza vertical del plano dado, p’, lo que nos da la traza vertical, q’ del plano buscado.

4.d – Por donde corte a la línea de tierra una paralela a la traza horizontal del plano, p, y se tiene la traza horizontal del plano, q.

5 – Los puntos donde la traza horizontal q corte a la circunferencia, b y c, al unirlos con a dan las proyecciones horizontales de las dos posibles soluciones, a-b y a-c.

6 – Subirlos hasta la línea de tierra, b’ y c’, y unirlos con a’ para determinar las proyecciones verticales de las dos posibles soluciones.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 991

Ejercicios sobre angulos en el sistema diedrico. Determinacion de angulos entre rectas y planos – 991

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 991

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La recta r pasa por A(0,15,0) y por B(-21.5,0,15). La recta s forma respectivos ángulos de 30º con los planos de proyección. Sabiendo que la recta s pasa por el punto A y que su traza vertical tiene distancia al origen positiva, determinar el ángulo entre las dos rectas.

SOLUCIÓN

1 – Hallar primero las proyecciones de la recta S que forma 30º con ambos planos de proyección utilizando el sistema habitual en estos casos (una combinación de cambio de plano y giro).
2 – Abatir las dos rectas respecto de una frontal
3 – En el abatimiento medir el ángulo entre ambas

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 990

Ejercicios sobre angulos en el sistema diedrico. Determinacion de angulos entre rectas y planos – 990

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 990

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Ángulo entre una recta y un plano.

SOLUCIÓN

1 – Se elige un punto cualquiera, X, en la recta
2 – Desde ese punto se hace una recta, S, perpendicular al plano (sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano)
3 – Se abaten las rectas dadas, R, y la perpendicular al plano, S. Cuidado no respecto del plano dado, sino del que forman ambas rectas.
4 – El ángulo que forman las dos rectas en el abatimiento, NO es el ángulo buscado. El ángulo buscado es el complementario del ángulo que forman las dos rectas en el abatimiento.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 989

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 989

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Ángulo que forma un plano con los planos de proyección.

SOLUCIÓN

La forma más rápida de determinar los ángulos de un plano con los planos de proyección es convertirlo en proyectante mediante un cambio de plano.
Si la segunda línea de tierra la haces perpendicular a la traza horizontal al cambiar el plano obtendrás el ángulo con el plano horizontal de proyección.

ángulo que forma plano perpendicular al segundo bisector

Para el ángulo con el vertical la línea de tierra será perpendicular a la traza vertical del plano.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 988

Ejercicios sobre angulos en el sistema diedrico. Determinacion de angulos entre rectas y planos – 988

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 988

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Ángulo entre un plano oblicuo cualquiera y otro plano de perfil.

SOLUCIÓN

1 – Las mismas trazas del plano de perfil es la intersección de ambos planos.
2 – Colocar dicha intersección como recta perpendicular a uno de los planos de proyección mediante dos cambios de plano.
3 – Cambiar de plano ambos planos.
4 – En el último cambio de plano los dos planos se ven proyectantes, allí se puede medir el ángulo entre ambos.
Existe otro método "clásico" para este problema, lo de buscar un punto fuera de los dos planos, hacer perpendiculares a los dos, abatir ambas rectas y se obtiene el ángulo suplementario del pedido.

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