Mes: octubre 2014

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 987

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Ángulo entre una recta y un plano.

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SOLUCIÓN

1 – Se elige un punto cualquiera, X, en la recta
2 – Desde ese punto se hace una recta, S, perpendicular al plano (sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano)
3 – Se abaten las rectas dadas, R, y la perpendicular al plano, S. Cuidado no respecto del plano dado, sino del que forman ambas rectas.
4 – El ángulo que forman las dos rectas en el abatimiento, NO es el ángulo buscado. El ángulo buscado es el complementario del ángulo que forman las dos rectas en el abatimiento.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 985

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Hallar un plano conocida su traza horizontal y el ángulo que forma con el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – Situada la traza horizontal del plano, hacer una segunda línea de tierra (primer dibujo) perpendicular a la traza del plano (primer dibujo)

2 – Desde donde la traza horizontal del plano (primer dibujo) toca a la segunda línea de tierra se levanta la traza vertical cambiada de plano formando respecto de la segunda línea de tierra el ángulo que forma el plano con el plano horizontal de proyección, P.H (primer dibujo)
3 – Se toma un punto, X’1, cualquiera de la traza cambiada (segundo dibujo)
4 – Hacer una perpendicular a la segunda línea de tierra (tercer dibujo) desde ese punto hasta tocar a la línea de tierra, X, y levantando una perpendicular por él se lleva la medida de la cota (marcada con " = " en el tercer dibujo) para obtener su proyección vertical, X’
5 – Unir (cuarto dibujo) donde la traza horizontal del plano toca a la primera línea de tierra con la proyección vertical de X y esa es la traza vertical del plano

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 984

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Plano que contiene a una recta MN oblicua y forma 60º con el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – Desde m’ trazas una línea que forme 60º con la línea de tierra. Da igual que se haga hacia la izquierda o derecha.

2 – Con centro en m y radio hasta donde la línea anterior a cortado a la línea de tierra se hace un arco de circunferencia.
3 – Desde n se hace la recta tangente al arco e circunferencia, y esta es ya la traza horizontal del plano, p.
4 – Donde corte a la línea de tierra se une con m’ y ya se tiene la traza vertical del plano, p’

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 983

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Hallar el plano bisectriz ( o bisector ) a otros dos planos.

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SOLUCIÓN

Para hallar un plano bisector de otros dos debes hallar la recta intersección de los dos planos y después cualquier recta que sea bisectriz del ángulo que forman los dos planos. Con ello tienes dos rectas (la intersección de los dos planos y la bisectriz) que forman el plano buscado.
El método utilizado para hallar la bisectriz puede ser muy variado. Te comento dos.

Mediante un abatimiento.

1 – Trazas un plano perpendicular a la recta intersección de los dos planos
2 – Hallas la intersección del plano perpendicular con cada uno de los dos planos.
3 – Abates el plano formado por las dos rectas intersección, y por supuesto, también abates las dos rectas intersección
4 – En el abatimiento determinas la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas intersección
5 – Desabates esa bisectriz, y está junto con la recta intersección de los planos iniciales son las dos rectas que forman el plano bisector buscado

Mediante un cambio de plano.

a – Haces los cambios de plano necesarios para que la recta intersección se convierta en vertical o de punta.
b – En el último cambio de plano los dos planos iniciales se ven como dos rectas
c – Hallar la bisectriz del ángulo formado por los dos planos en el último cambio de plano
d – Deshacer el cambio de plano de esa recta bisectriz, que junto con la recta intersección de los dos planos iniciales forma el plano bisector

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 982

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Hallar el plano que es paralelo a la línea de tierra, pasa por el punto A (4, 3, 3) y contiene a la recta que pasando por el punto A forma 45º con el plano horizontal y 30º con el plano vertical.

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SOLUCIÓN

1 – Averiguar, en cualquier lugar, las proyecciones de la recta con los ángulos que te dan.
2 – Haces paralelas a las proyecciones pasando por el punto A.
3 – Determinas las trazas de la recta y por ella se dibujan dos paralelas a la línea de tierra, que son las trazas del plano.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 981

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Plano, P, que pasa por A (0, 6, 7) forma 45º con el plano horizontal de proyección y su traza horizontal forma 60º con la línea de tierra.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el punto A.
2 – Dibujar una recta horizontal, R, que pase por A. Su proyección vertical es paralela a la línea de tierra y su proyección horizontal forma 60º respecto de la línea de tierra (el mismo ángulo que forma la traza horizontal del plano).
3 – Hallar la traza vertical de la recta. Para ello donde la proyección horizontal corte a la línea de tierra se sube una vertical hasta la proyección vertical y esta es la traza de la recta.
4 – Trazar una segunda línea de tierra (para hacer un cambio de plano) perpendicular a la proyección horizontal de la recta horizontal.
5 – Cambiar de plano el punto A.
6 – Por el punto A en el cambio de plano trazar una línea que forme 45º respecto de la segunda línea de tierra. Esta es la traza del plano en el cambio de plano.
7 – Donde la traza del plano, en el cambio de plano, toque a la segunda línea de tierra se dibuja una perpendicular a la segunda línea de tierra (o una recta que forme 60º respecto de la primera línea de tierra). Esta es la traza horizontal del plano.
8 – Por el punto donde la traza horizontal del plano corte a la primera línea de tierra se une con la traza de la recta y esta es la traza vertical del plano.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 980

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Hallar el ángulo entre el plano definido por los puntos ABC y la recta CD.

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SOLUCIÓN

Los métodos posibles para hallar el ángulo son los mismos que los utilizados con las trazas.

POR CAMBIO DE PLANO

1 – Hallar una recta horizontal que pertenezca al plano.
2 – Haces el cambio de plano con las líneas de referencia paralelas a la recta horizontal (o la segunda línea de tierra perpendicular a la recta horizontal).
3 – Se cambia de plano el plano y la recta. El plano debe quedar proyectante.
4 – En el cambio de plano se puede medir el ángulo entre el plano (que se ve como una recta) y la recta dada.

MEDIANTE perpendicularidad Y ABATIMIENTO (forma corta)

5 – Hallar una recta horizontal y otra frontal que pertenezca al plano.
6 – Trazar una perpendicular al plano (perpendicular a la horizontal y a la frontal) por un punto de la recta dada.
7 – Abatir la recta dada y la perpendicular.
8 – El ángulo complementario (réstale 90º) del que forma la recta dada y la perpendicular en el abatimiento es el ángulo buscado.

MEDIANTE perpendicularidad Y ABATIMIENTO (forma larga)

9 – Hallar una recta horizontal y otra frontal que pertenezca al plano.
10 – Trazar una perpendicular al plano (perpendicular a la horizontal y a la frontal) por un punto de la recta dada.
11 – Hallar el punto de intersección entre la perpendicular al plano y este. También hallar el punto de intersección entre la recta dada y el plano.
12 – Unir ambos puntos de intersección.
13 – Abatir la recta dada y la obtenida con los puntos de intersección.
14 – El ángulo que forma la recta dada y la unión de los puntos de intersección en el abatimiento es el ángulo buscado.

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Hallar la altura de una pirámide regular de base un triángulo equilátero de lado 80 mm y ángulo diedro entre las caras laterales de 105º.

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SOLUCIÓN

Supongamos la pirámide, ABCD, ya construida (en el espacio, no en proyecciones diédricas).

Para medir el ángulo diedro de dos caras laterales, CDB y CDA, trazaríamos dos perpendiculares a la arista común, CD, desde un punto de ella, X. El ángulo entre ambas perpendiculares es el ángulo diedro, 105º.

El punto por el que pasan las perpendiculares, X, puede ser cualquiera de la arista común, CD, pero también se puede tomar de tal forma que las perpendiculares pasen por los vértices, A y B, de la pirámide. De esta forma conocemos tres datos del triángulo ABX : es isósceles, el ángulo X = 105º y el lado AB = 80 mm.

Otro triángulo importante en el trazado es CBX (o CAX, son iguales). De este triángulo también conocemos tres elementos : es rectángulo (X = 90º), el lado CB = 80 mm y el lado BX que se obtendrá del triángulo ABX.

La realización práctica es la siguiente :

1 – En proyección horizontal se dibuja la base, ABC, como un triángulo equilátero de lado 80 mm, con uno de sus lados, AB, perpendicular al plano vertical de proyección (o a la línea de tierra).

2 – El baricentro, O, del triángulo ABC se une con sus tres vértices y con ello tenemos la proyección horizontal completa de la pirámide, ABCD, buscada.

3 – Apoyándonos en el lado AB se dibuja un arco capaz de 105º y desde el centro de AB una perpendicular hasta cortar al arco. Este punto (X1) se une con A y B. El triángulo A-B-(X1) es el abatimiento del triángulo ABX alrededor de la traza AB. De esta forma hemos determinado la magnitud de AX o BX.

4 – A partir de BC se traza el arco capaz de 90º y se traza un arco con centro en B y radio la magnitud BX = B-(X1), obtenida del abatimiento anterior. Donde se corten, (X2), se une con B y C siendo el triángulo B-C-(X2) el abatimiento de BCX alrededor de BC.

5 – La proyección horizontal del punto X está en la perpendicular a su traza, AB, desde su abatimiento (X1). También estará en la perpendicular a la otra traza, BC, desde su abatimiento (X2). Donde se corten ambas, X, es su proyección horizontal.

6 – Dibujamos la base, ABC, en proyección vertical. Esta es una paralela a la línea de tierra, A’B’C’.

7 – En proyección vertical la cara ABD y ABX se ven proyectantes. En concreto la cara ABX tiene de longitud la altura, Z-(X1), del triángulo abatido A-B-(X1). Así que con centro en Z’ y radio Z-(X1) se traza un arco.

8 – Desde la proyección horizontal de X se dibuja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco anterior. El punto de corte es la proyección vertical X’.

9 – El punto X está en la arista CD, luego, uniendo X’ con C’ tenemos la recta en la que se encuentra el cuarto vértice de la pirámide, D. Si desde la proyección horizontal de D se traza una perpendicular a la línea de tierra donde corte a C’-X’ es la proyección vertical D’.

10 – Unir las proyecciones verticales A’, B’ y C’ con D’ y tenemos la proyección vertical completa de la pirámide.

11 – Si en proyección vertical bajamos una perpendicular a la línea de tierra desde D’ hasta la base A’B’C’ se obtiene la altura de la pirámide, H = O’-D’.

 

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ÁNGULOS – 979

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 978

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Plano que contiene a una recta MN oblicua y forma 60º con el plano horizontal de proyección

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SOLUCIÓN

1 – Desde m’ trazas una línea que forme 60º con la línea de tierra. Da igual que se haga hacia la izquierda o derecha.

2 – Con centro en m y radio hasta donde la línea anterior ha cortado a la línea de tierra se hace un arco de circunferencia.
3 – Desde n se hace la recta tangente al arco de circunferencia, y esta es ya la traza horizontal del plano, p.
4 – Donde corte a la línea de tierra se une con m’ y ya se tiene la traza vertical del plano, p’

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