Mes: octubre 2014

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 977

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El punto C(-100,37,19) es el centro de la base de una pirámide rectangular regular, cuyo vértice es el punto V(-81, y, 42). El plano que contiene a la base forma 50º con el plano horizontal de proyección, cortando a la línea de tierra lo más a la derecha posible.
Dibujar el plano.

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SOLUCIÓN

1 – Situar las proyecciones del punto C y la proyección vertical del vértice V.
I – Dibujar un cono de vértice C y que forme 50º con el plano horizontal de proyección.
2 – Desde la proyección vertical de C hacer una línea que forme 50º con la línea de tierra (generatriz del cono).
3 – Donde corte a la línea de tierra se baja una vertical hasta encontrarse con una horizontal que pasa por la proyección horizontal de C.
4 – Con centro en la proyección horizontal de C y radio hasta donde se corten la vertical y la horizontal anterior, dibujar una circunferencia (base del cono).
II – Dibujar una recta frontal perpendicular al eje de la pirámide.
5 – Por la proyección vertical de C trazar una recta perpendicular a la unión de las proyecciones verticales de C y V.
6 – Por donde corte a la línea de tierra se baja una vertical y por la proyección horizontal de C una paralela a la línea de tierra. Donde se corten ambas es la traza horizontal de la recta frontal.
III – Dibujar un plano tangente a la base del cono, que pase por la traza horizontal de la recta frontal y que sea perpendicular al eje de la pirámide.
7 – Desde la traza horizontal de la recta frontal hacer la recta tangente a la base del cono. Esta es ya la traza horizontal del plano.
8 – Por donde corte a la línea de tierra se levanta una perpendicular a la proyección vertical de C-V. Esta es la traza vertical del plano.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 975

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Hallar un plano que forme 73º con el plano horizontal de proyección, que corte a la línea de tierra a la derecha del origen y contenga a la recta AC, A(-24, 98, 18) y C(12, 0, 86).

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SOLUCIÓN

1 – Situar los dos puntos dados A y C.
2 – Desde las proyecciones verticales de los dos puntos se trazan sendas líneas que formen 73º con la línea de tierra.
3 – Desde donde cortan a la línea de tierra se bajan sendas perpendiculares. En realidad, como ahora veremos, a la línea que parte de C no hace falta por la posición especial de este punto, pero como caso genérico sí haría falta.
4 – Desde las proyecciones horizontales de ambos puntos se trazan paralelas a la línea de tierra. Para el punto C tampoco hace falta este paso, pero en general sí.
5 – Con centro las proyecciones horizontales de los dos puntos y radio hasta donde las paralelas a la línea de tierra se cortan con las perpendiculares (cada una con la suya) se trazan dos circunferencias. Para el punto C la paralela y la perpendicular a la línea de tierra se cortan en el mismo punto donde la línea que formaba 73º cortaba a la línea de tierra, por eso comenté antes que no hacia falta.
6 – Dibujar las tangentes a las dos circunferencias. La que corte a la línea de tierra a la derecha del origen (como pide el enunciado) es la traza horizontal del plano buscado.
7 – Donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra se une con la proyección vertical del punto C (por estar situado en el plano vertical de proyección) y esta es la traza vertical del plano buscado. Si el punto C no estuviese sobre el plano vertical de proyección se hallaría la traza vertical de la recta AC y por ahí pasaría la traza vertical del plano.

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Ejercicios de afinidad – 999

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Conocido un rectángulo transformarlo en un cuadrado mediante una afinidad de eje conocido.

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SOLUCIÓN

1 – Halla el centro del rectángulo (punto de corte de las dos diagonales).

2 – Prolonga las dos diagonales hasta cortar al eje de afinidad.
3 – Con centro en el punto medio de la distancia que hay entre esos puntos, traza una semicircunferencia (verde).
4 – Por el punto medio del rectángulo dibuja dos paralelas a los lados del rectángulo.
5 – Prolóngalas hasta cortar al eje de afinidad.
6 – Con centro en el punto medio de la distancia que hay entre esos puntos, traza una semicircunferencia (rosa).
7 – Donde se corten los dos arcos es el centro del cuadrado.
8 – Une el centro del cuadrado con el centro del rectángulo y tienes la dirección de afinidad.
9 – Traza los afines de los vértices del rectángulo.

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Ejercicios de afinidad – 998

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Encontrar la afinidad cuyo eje coincide con el eje X, que transforma al cuadrado de diagonal A(4,2);C(8,6) en un paralelogramo tal su diagonal B’ D’ mida 7. Dibujar las dos soluciones posibles; sabiendo que la direccción de afinidad forma 45º con el eje x.

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SOLUCIÓN

Se debe trazar paralelas a la dirección de 45º por los vértices B y D.
En esas rectas estarán B’ y D’, y como deben medir 7, se traza con centro en cualquier punto de la recta que pasa por B’ un arco de radio 7.

Este arco corta a la recta que parte de D en dos puntos, que al unirlos con el centro del arco da las dos posibles direcciones (o soluciones) para la recta B’D’ (en mi dibujo X e Y).
El resto ya te será fácil, pero te lo comento. Prolongas BC hasta el eje y por ahí una paralela a una de las direcciones (yo lo he hecho a X). Donde corte a las rectas que parten de B y D, son sus homólogos B’ y D’

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Ejercicios de

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Calcular los ejes de la elipse afín a la dada de centro O, en una afinidad determinada por la dirección d, el eje y la razón k= – 3/2.

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SOLUCIÓN

5 – Dibujar la mediatriz de O-O’

6 – Donde corte al eje es el centro de una circunferencia de radio hasta O (circunferencia verde)
7 – Donde corte al eje, puntos 1 y 2, se unen con O y O’.
8 – Estas últimas cortan a la circunferencia en A, B, C y D.
9 – Por ellos se hacen paralelas a d hasta cortar a 1-O’ y 2-O’, dando sus afines A’, B’, C’ y D’.
10 – Estos puntos son los ejes de la elipse buscada.

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afinidad – 997

Ejercicios de afinidad – 996

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En una afinidad de eje EA los puntos O y O´son los centros respectivos de una circunferencia y su figura afín. Sabiendo que la recta t´ es tangente a la elipse: halla sus ejes.

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SOLUCIÓN

Lo primero es conseguir la circunferencia inicial, para ello debes determinar la recta afín de la tangente, los pasos son :
1 – Une un punto cualquiera de t’ (el x’) con O’

2 – Donde corte al eje se une con O
3 – Por x’ una paralela a O-O’ y ya tienes su afín x
4 – Prolonga t’ hasta el eje y únelo con x, ya tienes t la recta tangente a la circunferencia
5 – Desde O trazas la perpendicular a t y ese es el radio de la circunferencia buscada

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Ejercicios de afinidad – 995

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Selectividad Andalucía

Dado el cuadrado de vértices abcd y sus diagonales, hallar su figura afín al aplicar la afinidad definida por su eje y por el par de puntos afines A-A’.

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SOLUCIÓN

1 – La dirección de afinidad es A-A’ (paralela al eje)

2 – Unir A con C hasta cortar al eje, X. Unir X con A’. Por C una paralela a A-A’. Donde corte a la anterior es C’.
3 – Unir A con D hasta cortar al eje, Y. Unir Y con A’. Por D una paralela a A-A’. Donde corte a la anterior es D’.
4 – Unir B con C hasta cortar al eje. Unir ese punto con C’. Por B una paralela a A-A’. Donde corte a la anterior es B’.

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Ejercicios de afinidad – 994

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Hallar la figura afín del triángulo ABC conociendo el eje y un punto A’ de A.

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SOLUCIÓN

1 – Unir A con A’ y esta es la dirección de afinidad.

2 – Como AD es paralelo al eje su afín también lo será. Por lo tanto, por A’ dibujar una paralela al eje de afinidad. Por D trazar una paralela a la dirección de afinidad, AA’, hasta cortar a la paralela anterior, siendo el punto de corte D’, afín de D.
3 – Prolongar AB hasta cortar al eje de afinidad y ese punto unirlo con A’. Por B una paralela a AA’ hasta cortar a la recta anterior. Donde la corte es el punto B’ afín de B.

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Elipse conocido el eje mayor, AB, y un punto de ella, P

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SOLUCIÓN

OPCIÓN A

a1 – Determina el punto medio del eje mayor, O.

a2 – Con centro en O y radio la mitad del eje mayor traza una circunferencia.
a3 – Por el punto dado, P, levanta una perpendicular al eje mayor, y donde corte a la circunferencia es P’.
a4 – Haz otra perpendicular al eje mayor por O, dando el punto C’ en la circunferencia.
a5 – Une C’ con P’ hasta cortar al eje mayor, punto X.
a6 – Unir X con P y donde corte a la perpendicular que se trazó por O es C.
a7 – La distancia OC es el semieje menor.
a8 – Ya se conocen el eje mayor y el menor, a partir de ellos dibujar el resto de la elipse.

OPCIÓN B

b1 – Determina el punto medio del eje mayor, o.

b2 – Con centro en O y radio la mitad del eje mayor trazar una circunferencia.

b3 – Por el punto dado, P, levanta una perpendicular al eje mayor, y donde corte a la circunferencia es P’.

b4 – Unir P’ con el centro O.

b5 – Por P dibujar una paralela al eje mayor. Donde corte a OP’ es el punto X.

b6 – Con centro en O y radio OX dibujar una circunferencia.

b7 – Desde O levantar una perpendicular al eje mayor AB. Donde corte a la segunda circunferencia es el semieje menor, OC.

b8 – Conocidos los dos ejes dibujar la elipse.

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afinidad – 993

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Construcción de la elipse conocidos los ejes principales, mediante afinidad doble.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar las circunferencias de radios «a» y «b».

2 – Hacer un diámetro cualquiera (en el gráfico 2-2′ por ejemplo).

3 – Desde 2 y 2′ hacer paralelas a los ejes.

4 – Donde se corten es un punto de la elipse.

5 – Repetir con tantos diámetros como puntos se desee, uniéndolos a mano alzada.

 

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afinidad – 992