octubre 2014 – Página 114

triángulo rectángulo conocida la diferencia de los catetos Ejercicios de TRIÁNGULOS – 942

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 942

triángulo rectángulo conocida la diferencia de los catetos Ejercicios de TRIÁNGULOS – 942

Hallar un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa, h, y la diferencia de los catetos, c – b.

SOLUCIÓN

I – Coloca en un segmento la diferencia de los catetos, c – b.

triángulo rectángulo con la diferencia de la hipotenusa y un cateto

II – Desde uno de sus extremos levanta una línea que forme 45º.
III – Desde el otro extremo traza un arco con radio la medida de la hipotenusa.
IV – Donde corte a la línea de los 45º es el segundo vértice.
V – Baja por ahí una perpendicular a la línea inicial y donde la toque es el tercer vértice.

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Triángulo rectángulo conocida la suma de los catetos

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 941

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Hallar un triángulo rectángulo conocida su hipotenusa, h, y la suma de sus catetos, b + c.

SOLUCIÓN

1 – Coloca en un segmento la suma de los catetos, b + c.

triángulo rectángulo con la suma de los catetos

2 – Desde uno de sus extremos levanta una línea que forme 45º.
3 – Desde el otro extremo traza un arco con radio la medida de la hipotenusa.
4 – Donde corte a la línea de los 45º es el segundo vértice.
5 – Baja por ahí una perpendicular a la línea inicial y donde la toque es el tercer vértice.

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TRIÁNGULOS – 941

triángulo rectángulo conocida la suma de los lados que lo forman Ejercicios de TRIÁNGULOS – 940

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 940

triángulo rectángulo conocida la suma de los lados que lo forman Ejercicios de TRIÁNGULOS – 940

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Construcción de un triángulo rectángulo conocido uno de sus ángulos, B, y la suma de los lados que lo forman ( c + a ).

SOLUCIÓN

1 – Colocas un segmento de longitud c + a.

triángulo rectángulo con la suma de los lados

2 – Por uno de sus extremos, X, levantas un ángulo igual a la mitad del dado, B/2.
3 – Por el otro extremo, A, levantas una perpendicular.
4 – Donde el ángulo B/2 corte a la perpendicular es el segundo vértice C.
5 – Si se halla la mediatriz de X-C donde esta corte a A-X es el último vértice B.

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triángulo rectángulo conocida la diferencia de la hipotenusa menos el cateto Ejercicios de TRIÁNGULOS – 939

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 939

triángulo rectángulo conocida la diferencia de la hipotenusa menos el cateto Ejercicios de TRIÁNGULOS – 939

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Dibujar un triángulo rectángulo conocidos el ángulo C = 38º y la diferencia de la hipotenusa menos el cateto c, a – c = 30 mm.

SOLUCIÓN

MÉTODO PRIMERO

1 – Trazar un ángulo recto (vértice A’) y desde un punto cualquiera, C’, se dibuja un ángulo de 38º hasta cortar al otro lado del ángulo recto, punto B’.

triángulo rectángulo con la diferencia de la hipotenusa menos el cateto

2 – Con centro en B’ y radio hasta C’ se hace un arco hasta cortar a la prolongación de A’-B’ (punto X’).
3 – A partir de A’ y sobre la prolongación de x’-A’ se lleva la medida de la diferencia de la hipotenusa y el cateto dados, 30 mm.
4 – Por el extremo de esta medida, X, se dibuja una paralela a X’-C’.
5 – Donde esta última corte a la prolongación de A’-C’ es el vértice C del triángulo buscado.
6 – Por ese vértice C hacer una paralela a B’-C’ y esta es la hipotenusa que cortará a la prolongación de A’-B’ en el vértice buscado B.
7 – El vértice A es coincidente con A’.

MÉTODO SEGUNDO

8 – Trazar un ángulo recto (vértice X) y añadirle un ángulo de 38º.

triángulo rectángulo con la diferencia de la hipotenusa menos el cateto

9 – Hallar la bisectriz del ángulo formado, 90º+38.
10 – Sobre uno de los lados del ángulo recto y a partir de X se mide la diferencia dada, 30 mm.
11 – Por ese punto, A (primer vértice del triángulo buscado) se levanta una perpendicular.
12 – El punto de corte de la bisectriz del ángulo 90º+38º con la última perpendicular es el segundo vértice del triángulo buscado, C.
13 – Hallar la mediatriz de XC.
14 – Donde la mediatriz de XC corte a la prolongación de XA es el tercer vértice B.

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Triángulo conocido un lado y el baricentro

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 938

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Construir un triángulo rectángulo conocido el lado c = 80 mm, la situación exacta del baricentro y la circunferencia circunscrita.

SOLUCIÓN

1 – Prolonga la recta formada por el baricentro y el centro de la circunferencia circunscrita hasta cortar a la circunferencia.

triángulo rectángulo cononocido un cateto y el baricentro

2 – Ese punto es el vértice del ángulo recto.

3 – Con centro en ese vértice y radio el lado «c» se traza un arco.

4 – Donde corta a la circunferencia circunscrita es el segundo vértice.

5 – El tercer vértice se puede lograr uniendo ese segundo vértice con el centro de la circunferencia circunscrita hasta cortarla; o bien con respecto al cateto «c» se levanta el otro cateto perpendicular.

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Triángulo conocido un vértice y el baricentro

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 937

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Construir un triángulo un conocidos un vértice A, el baricentro G y el circuncentro O.

SOLUCIÓN

Para resolverlo debes conocer la recta de Euler (otros le llaman segmento de Euler).

El circuncentro, el baricentro y el ortocentro está en una misma recta, la recta de Euler.

La distancia que hay desde el baricentro hasta el ortocentro es el doble de la que hay entre el baricentro y el circuncentro.

Conocido el fundamento los pasos a seguir son estos:

1 – Con centro en el circuncentro, C, y radio hasta el vértice dado, A, se traza una circunferencia, la circunscrita. En ella están los dos vértices que faltan.

triángulo conocido un vertice y el baricentro

2 – Une el circuncentro con el baricentro, G (recta de Euler).

3 – Lleva el doble de la distancia que hay entre el circuncentro y el baricentro sobre la recta anterior, a partir del baricentro y hacia el lado que no está el circuncentro; con lo que obtienes el ortocentro, O.

4 – Une el vértice dado, A, con el ortocentro y tienes la altura (la recta sobre la que está, no su longitud). El lado opuesto al vértice A será perpendicular a esa altura.

5 – Por el circuncentro haz una paralela a esa altura. Esta nueva recta será la mediatriz del lado opuesto al vértice A, ya que los circuncentros se consiguen con las mediatrices que son perpendiculares a los lados y por tanto paralelos a las alturas que también son perpendiculares a los lados.

6 – Unir el vértice dado, A, con el baricentro. Esta recta será la mediana.

7 – La mediana llega hasta el punto medio del lado opuesto del vértice y la mediatriz también pasa por ese punto medio, M, por lo que donde la mediatriz corte a la mediana tienes el punto medio del lado.

8 – Por el punto medio del lado, M, se hace una perpendicular a la altura y donde corte a la circunferencia circunscrita se obtienen los otros dos vértices del triángulo.

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Triángulo conocido un vértice, el baricentro y el pie de la bisectriz

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 936

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Triángulo del que se conoce un vértice, A, el baricentro, G, y el pie, X, de la bisectriz del ángulo A.

SOLUCIÓN

1 – Unir el vértice, A, con el baricentro, G.

triángulo conocido un vertice y el pie de la bisectriz

2 – Dividir AG en dos partes iguales.

3 – A partir de G prolongar AG y llevar una de las partes obtenidas. Esto da m punto medio del lado BC.

4 – Unir m con X, en esta recta esta el lado BC.

5 – Por el punto m hacer una perpendicular a mX.

6 – Unir A con X hasta cortar a la perpendicular anterior (punto Y).

7 – Hallar la mediatriz de AY y donde corte a la perpendicular por m es el circuncentro O.

8 – Con centro en O y radio hasta A hacer una circunferencia.

9 – Prolongando Xm se obtienen los vértices B y C sobre la circunferencia.

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triángulo conocida la altura, la mediana y la circunscrita Ejercicios de TRIÁNGULOS – 935

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 935

triángulo conocida la altura, la mediana y la circunscrita Ejercicios de TRIÁNGULOS – 935

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Construir el triángulo escaleno ABC dada la altura ha, la mediana ma, y el radio de la circunferencia circunscrita, además de dos rectas que definen la altura y el punto A sobre una de esas rectas.

SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta y levantar otra a 90º.

triángulo conocida la altura y la mediana

2 – Sobre la perpendicular medir la altura y ya se tiene el vértice A.
3 – Con centro en A y radio la mediana se hace un arco que corte a la primera línea (punto X). Este será el punto medio del lado "a".
4 – A partir de ese punto se levanta una perpendicular al primer lado.
5 – Con centro en el vértice A y radio el de la circunferencia circunscrita se hace un arco que corte a la perpendicular anterior. Este punto será el circuncentro (punto O).
6 – Con centro en este y radio hasta el vértice A hacer una circunferencia.
7- Donde corte a la primera recta son los vértices B y C.

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Triángulo escaleno conocido un ángulo, el perímetro y el radio de la circunferencia inscrita

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 934

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Construir un triángulo escaleno sabiendo que el ángulo A = 30º, el perímetro es 130 mm y el radio de la circunferencia inscrita es de 10 mm.

SOLUCIÓN

1 – Construir el ángulo dado, 30º.
triángulo conocido un ángulo y el perimetro

2 – Inscribir en el ángulo una circunferencia de radio el dado (10 mm), para ello trazar un par de paralelas a los lados del ángulo y donde se corten es el centro I.

3 – Por el incentro, I, hacer una perpendicular a uno de los lados del ángulo. Donde corte es el punto de tangencia T.

4 – Medir el semiperímetro (2p / 2 = p = 65 mm) sobre uno de los lados del ángulo a partir del vértice, A.

5 – Lo que queda entre el punto de tangencia, T, y el extremo del semiperímetro es la longitud del lado a.

6 – Conocido el lado dibujar (aparte), BC, y levantar el arco capaz de 90º + (A/2) = 105º.
triángulo escaleno conocido la circunferencia inscrita

7 – Mediante una paralela a una distancia la del radio de la circunferencia inscrita ( 10 mm ) localizar el incentro, I, donde corte al arco capaz.

8 – Dibujar la circunferencia inscrita.

9 – Desde los extremos del lado «a» trazar las tangentes a la circunferencia inscrita, y esos son los otros dos lados del triángulo.

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TRIÁNGULOS – 934

triángulo escaleno conocida una altura y la circunferencia exinscrita Ejercicios de TRIÁNGULOS – 933

Ejercicios y problemas resueltos y explicados de triangulos – 933

triángulo escaleno conocida una altura y la circunferencia exinscrita Ejercicios de TRIÁNGULOS – 933

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Dibujar un triángulo ABC, siendo A = 36º, la altura relativa al lado b = 25 mm y el radio de la circunferencia exinscrita al ángulo C = 28 mm.

SOLUCIÓN

1 – Hacer una paralela a la recta que contiene al lado AC a una distancia igual a la altura de B dada.

triángulo conocida una altura y la circunferencia exinscrita

2 – Donde corte a la recta que contiene al lado AB es el vértice B.
3 – Hacer paralelas a las rectas que contienen a los lados AB y AC a una distancia la del radio de la circunferencia exinscrita.
4 – Donde ambas paralelas se corten es el centro de dicha circunferencia, trazarla.
5 – Desde el vértice B hacer la tangente a la circunferencia exinscrita. Donde la tangente corte a la recta que contiene al lado AC es el vértice C.

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