Mes: octubre 2014

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Trazar un triángulo conocida una altura, la bisectriz y la mediana.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar una recta horizontal y otra perpendicular a ella, sobre la que se medirá el valor de la altura, Ha. Su extremo es uno de los vértices del triángulo, A.

2 – Con centro en A y radios iguales a la mediana, Ma, y a la bisectriz, Wa, se trazan dos arcos que cortaran a recta horizontal en los puntos F y D (punto medio del lado BC).

3 – Por D trazar una perpendicular a la recta horizontal (o paralela a la altura) hasta cortar a la bisectriz, Wa, en el punto G.

4 – Dibujar la mediatriz de AG y donde corte a la perpendicular que pasaba por D es el punto O (circuncentro).

5 – Con centro en O y radio hasta A o G dibujar una circunferencia.

6 – Donde la circunferencia corte a la recta horizontal son los vértices B y C del triángulo buscado.

Fundamento :
Se debe recordar que para un mismo ángulo inscrito en una circunferencia se produce una misma longitud de arco.
Así, desde el vértice A (ver imagen) salen dos ángulos inscritos formados por la bisectriz, Wa, los cuales darán dos arcos de igual longitud, BG = GC.
Estos ángulos inscritos llegan a los vértices B y C. Dicho lado BC se halla dividido en dos por su mediatriz. Ese lado BC, es una cuerda de la circunferencia circunscrita y su mediatriz divide en dos arcos iguales al formado entre esos dos vértices.
Luego, si la mediatriz divide al arco BC en dos partes iguales y la bisectriz del ángulo A también lo hace, ambos lo harán en el mismo punto, el punto medio de BC. De todo esto se deduce que el punto de corte de la bisectriz y la mediatriz está sobre la circunferencia circunscrita, G.

 

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Triángulo dada la bisectriz, la mediana y la altura de un mismo ángulo.

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SOLUCIÓN

Se construye un triángulo rectángulo A E D, tomando por cateto A E la altura h, y por hipotenusa A D la mediana ma, trazando por D una perpendicular al cateto base E D. Con centro en el vértice A y radio wa, bisectriz conocida, se describe un arco hasta cortar en F al cateto básico E D, prolongando el segmento A F hasta cortar en G a la perpendicular trazada anteriormente por D.

La mediatriz del segmento A G corta a la perpendicular ya indicada en el punto O, punto que se toma como centro para trazar una circunferencia auxiliar que pase por A y G. Esta circunferencia corta a las prolongaciones de E D en los puntos B y C, vértices del triángulo solución ABC.

 

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Construir un triángulo conocidas sus tres alturas.

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SOLUCIÓN

1 – Con origen común en un punto cualquiera P se trazan tres segmentos en direcciones arbitrarias, de longitudes respectivamente iguales a las tres alturas.

2 – Haciendo pasar una circunferencia por sus extremos libres D, E y F.

3 – Esta circunferencia corta a los segmentos tomados, o sus prolongaciones, en los puntos M, N y S.

4 – Con lados iguales a las longitudes PM, PN y PS se construye un triángulo, que es semejante al pedido.

5 – Para obtener el resultado definitivo basta trazar una paralela a cualquier lado, a una distancia del mismo igual a su correspondiente altura, hasta encontrar en un vértice, A por ejemplo, a la prolongación de uno de los lados contiguos, punto por el cual se traza el tercer lado, paralelo al del triángulo auxiliar previamente obtenido.

Fundamento :
El trazado se basa en los conceptos de potencia de un punto respecto de una circunferencia.
Así, el valor de la potencia es Pot. = PE·PM y debe ser igual para cualquier recta que corte a la circunferencia, por lo que se cumplirá Pot. = PE·PM = PN·PD = PF·PS.
Por otro lado, el área de un triángulo es Área = base · altura/2, y tendrá el mismo valor, sea cual sea el lado que se tome como base, por lo que se cumplirá, Área = PE·PM/2 = PN·PD/2 = PF·PS/2, donde unos segmentos son los lados y los otros las alturas respecto de esos lados.
Luego, como ves se puede plantear una potencia con esas alturas.

 

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Triángulo conocido un lado y el ángulo opuesto – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 929

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Triángulo conocido un lado, AB, el ángulo opuesto, C, y la altura respecto de ese lado, hc.

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SOLUCIÓN

Se dibuja AB y se le halla el arco capaz de 60º.
En perpendicular a AB se lleva una paralela a AB a una distancia la de la altura dada.
Donde corte al arco capaz (generalmente dos puntos) es el vértice C.

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Triángulo escaleno dados un lado y la altura – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 927

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Hacer un triángulo escaleno sabiendo que a = 60 mm y la altura de a = 55 mm y la altura de b = 50 mm.

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SOLUCIÓN

I – Dibuja el lado "a".
II – Traza una paralela al lado "a" que a una distancia igual a la de la altura de ese lado "a".
III – Con centro en uno de los extremos del lado "a" traza un arco de radio igual al de la altura de "b".
IV – Desde el otro extremo del lado "a" traza la tangente al arco anterior.
V – Donde la tangente corte a la paralela al lado "a" es el vértice que se buscaba. Basta unirlo con los extremos del lado "a".

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Triángulo escaleno dados un lado y dos alturas – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 926

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Hallar un triángulo conocido el lado a = 60 mm, su altura ha = 55 mm y la altura hb = 50 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado "a".
2 – Hacer una paralela a una distancia la de sus altura ha.
3 – Desde uno de los extremos del lado "a" trazar un arco de radio hb.
4 – Desde el otro extremo hacer la tangente a ese arco.
5 – Donde la tangente corte a la paralela que se hizo al principio es el tercer vértice.

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Triángulo conociendo dos ángulos y una altura – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 925

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Triángulo conociendo las alturas hb = 110 mm, ha = 90 mm y el ángulo B = 60º.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar el ángulo B.

2 – Hacer una paralela (verde) a uno de los lados del ángulo a una distancia la de la altura respecto del lado a.
3 – Donde esta paralela corte al otro lado del ángulo es el vértice A.
4 – Con centro en el vértice B y radio la altura respecto del lado b se traza un arco (azul).
5 – Desde el vértice A se traza la tangente al arco.
6 – Donde corte al otro lado del ángulo es el vértice C.
De todas formas con las medidas que das no sale, pues la altura de b es demasiado grande o bien la altura de a demasiado pequeña.

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Triángulo conociendo dos ángulos y una altura – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 924

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Triángulo con dos alturas, hc = 110 mm, ha = 90 mm y el ángulo B = 60º.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar el ángulo B.

2 – Hacer una paralela (azul) paralela a uno de los lados del ángulo a una distancia la de la altura respecto del lado b.
3 – Donde esta paralela corte al otro lado del ángulo es el vértice C.
4 – Trazar una paralela al otro lado del ángulo (verde) a una distancia la de la altura respecto del lado a.
5 – Donde corte al otro lado del ángulo es el vértice A.

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Hexágono con dos vértices apoyados en dos rectas y un lado apoyado en una tercera recta PAU Valencia – 971

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Dibuje un hexágono regular ABCDEF de forma que tenga el vértice A sobre la recta r, el B sobre la recta r’ y el lado CD sobre la recta s. (PAU Valencia 2013)

SOLUCIÓN

OPCIÓN I (Traslación y homotecia)

1 – Dibujar un hexágono cualquiera A»B»C»D»E»F» que tenga uno de sus lados C»D» apoyado en la recta s.

2 – Por el vértice B» trazar una paralela a la recta s (traslación) hasta cortar a la recta r’. Esto nos da vértice B’ de un nuevo hexágono, A’B’C’D’E’F’, igual al anterior pero que ya tiene un vértice sobre r’ y un lado en s.
3 – Unir el vértice A’ con el punto de corte de las rectas r’ y s (este es el centro O de una homotecia). Donde corte a la recta r’ es el vértice A del hexágono buscado, ABCDEF.
4 – A partir de A y mediante paralelas a los hexágonos anteriores dibujar el hexágono pedido.

OPCIÓN II (Homotecia)

5 – Tomar un punto cualquiera, D», sobre la recta Dibujar un hexágono cualquiera A»B»C»D»E»F» que tenga uno de sus lados C»D» apoyado en la recta s.

6 – Desde ese punto levantar una línea (diagonal de un hexágono) que forme 60º con la recta s. El punto de corte con la recta r es el vértice opuesto, A», del hexágono.
7 – Conocida la diagonal, A»-D», del haxágono dibujarlo.
8 – Unir el punto de corte de las rectas r y s, O (centro de homotecia), con el vértice B», donde corte a la recta r’ es el vértice B del hexágono buscado.
9 – A partir de B y mediante paralelas a los hexágonos anteriores dibujar el hexágono pedido.

OPCIÓN III (Homotecia)

9 – Dibujar un hexágono cualquiera A»B»C»D»E»F» que tenga uno de sus lados C»D» apoyado en la recta s.

10 – Utilizar el vértice C» como centro de homotecia, O», y uniendo O» con B» se obtiene B’ en r’. Esto nos da vértice B’ de un nuevo hexágono, A’B’C’D’E’F’, que ya tiene un vértice sobre r’ y un lado en s.
11 – Unir el vértice A’ con el punto de corte de las rectas r’ y s (este es el centro O de otra homotecia). Donde corte a la recta r’ es el vértice A del hexágono buscado, ABCDEF.
12 – A partir de A y mediante paralelas a los hexágonos anteriores dibujar el hexágono pedido.

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