Mes: octubre 2014

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Dibujar el siguiente terminal de pasamanos mediante enlaces de arcos si el extremo superior es un ovoide.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el eje vertical de simetría y otra recta que forme 90º con él, ambas se cruzan en el punto A.

2 – Desde A medir 112 / 2 hacia cada lado y tenemos los puntos desde los que arrancan los arcos del ovoide, B.

3  – Desde A, otra vez, llevar 112 hacia cada lado y tenemos los centros C de los arcos mayores del ovoide. Con centro en C y radio hasta B trazar el arco.

4 – Desde A medir hacia arriba 112 · (3/4) y se tiene el centro D del arco superior del ovoide.

5 – Desde B medir hacia abajo 12 y se tiene el centro E. Trazar un arco que abarque 90º con ese centro.

6 – Desde A medir 68 hacia abajo y tenemos el punto F.

7a – La medida X no está indicada y no se puede deducir, por lo que la averiguaremos deduciendo la escala del dibujo. Para ello se mide sobre el original la medida Z y se divide por 112, con lo que obtienes la escala a la que se ha dibujado (E = Z/112). Ahora mide sobre el original la medida X y divídela por la escala, con lo que obtienes el valor de esa medida. Con el original que yo tenía X = 80 mm reales.

7b – Desde F medir hacia cada lado X/2 y tenemos los extremos G. Unir G con H y determinar su mediatriz. Donde esta corte a la horizontal que pasa por E es el centro I del arco lateral.

8 – Desde G hacia abajo medir 16/2 y es el centro de las semicircunferencias inferiores.

9 – Dibujar los dos rectángulos (cilindros) inferiores.

 

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ovalo-989

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Dada la figura dibujar, indicando claramente los centros y puntos de tangencia de los diferentes arcos de enlaces de una llave fija, siendo su extremo un óvalo.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar el eje vertical AB de longitud 145 mm.

2 – Desde el punto A hacer un nuevo eje que forme 60º respecto del primero.

3 – Con centro en A dibujar un óvalo de eje mayor 56 y eje menor 40. Lo puedes ver pulsando aquí. El óvalo tendrá cuatro centros C1, C2, C3 y C4.

4 – Hacer dos paralelas al eje menor del óvalo a 28/2 hacia cada lado.

5 – Donde las dos paralelas toquen al eje mayor del óvalo trazar dos líneas que formen 30º con el susodicho eje.

6 – Con centro en B y radio 8 mm dibujar una circunferencia.

7 – Sobre el eje vertical AB y desde B medir 114 mm, punto D.

8 – A partir de D y en horizontal llevar 25/2 hacia cada lado.

9 – Hacer las tangentes desde los extremos anteriores hasta la circunferencia de centro B.

10 – Dibujar una paralela a la tangente de la derecha a 12 mm y con centro en C1 y radio la suma del radio de C1 más 12 mm hacer un arco. Donde el arco se corte con la paralela es el centro E.

11 – Dibujar una paralela a la tangente de la izquierda a 19 mm y con centro en C4 y radio la suma del radio de C4 más 19 mm hacer un arco. Donde el arco se corte con la paralela es el centro F.

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Ovalo-988

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Hallar un triángulo inverso de uno dado, con centro de inversión cualquiera y K (potencia de inversión) arbitráreo.

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SOLUCIÓN

La inversa de cualquier figura se realiza determinando los inversos de los elementos que lo constituyen.

Así, en el caso de un triángulo, se debe hallar el inverso de tres rectas.
Si estamos en un caso general, las inversas de las rectas se convierten en circunferencias (las de color verde en el dibujo).

La figura inversa del triángulo ABC, es el triángulo curvo A’B’C’ (en azul), formado por los arcos de circunferencia que hay entre los inversos de ABC.
Luego, solo se tiene que hallar el inverso de las tres rectas y remarcar la parte común.

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inversión – 999

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Dado el rectángulo de anchura 10 y altura 8 centrado en O (0, 0) encontrar su figura inversa si el centro de la inversión es O y k = 25 (potencia de inversión).

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SOLUCIÓN

Un rectángulo está compuesto por cuatro segmentos, luego, para conseguir su figura inversa solo se tienen que hallar los inversos de esos cuatro segmentos.
Las rectas que no pasan por el centro de inversión tienen por inverso a una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión.

Como dan la potencia, si hallas la media proporcional entre esa cantidad y la unidad obtienes el valor de la circunferencia de autoinversión. En este caso es sencillo pues la potencia es 25, su raíz cuadrada sale de cabeza sin necesidad de hacer media proporcional y es 5, pues ese es el radio (la circunferencia negra en mi imagen).

Ahora se trata de hallar los inversos de los segmentos. El lado superior del rectángulo (en rojo) corta a la circunferencia de autoinversión en dos puntos ( A y B ), luego, estos son puntos de la circunferencia buscada, así como el mismo polo ( O ). Por lo tanto se traza una circunferencia que pase por los tres puntos (la roja). No toda la circunferencia es solución, solo la parte que corresponde al segmento del lado del rectángulo. Por ello se unen estos con el polo y estas rectas dividen a la circunferencia inversa en dos partes, la que no es solución (en rojo y fina) y la que si (en rojo y gruesa).

El mismo proceso se hace para los lados verticales del rectángulo (en azul), en este caso al ser tangente (punto C) se hace una circunferencia que pase por el polo y por el punto de tangencia (en azul), determinando solo el arco que es solución (en azul y grueso) de la misma forma que antes.

 

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Ejercicios resueltos de inversión – 997

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Trazar la inversa de la circunferencia, con potencia negativa.

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SOLUCIÓN

1 – Trazas la circunferencia doble con centro en O y con el radio obtenido anteriormente (círculo relleno de verde)

2 – Donde la circunferencia dada la corta (puntos X e Y) se unen con O y donde corten a la circunferencia doble son sus puntos inversos (X’ e Y’), que junto con A" tenemos tres puntos de la circunferencia buscada.
3 – Hacer una circunferencia que pase por X’, Y’ y A".

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Ejercicios resueltos de inversión – 996

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Cómo determinar la circunferencia de puntos dobles (o de autoinversión)

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SOLUCIÓN

Para determinarla :
A) Si lo que tienes es el valor numérico de la potencia puedes determinar el radio de la circunferencia de puntos dobles mediante una media proporcional entre dicho valor numérico y la unidad.
B) Si tienes dos puntos inversos haces la media proporcional entre los segmentos que hay entre el polo y el punto inicial y entre el polo y el punto inverso.

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Ejercicios resueltos de inversión – 995

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Selectividad Junio 2008

Determinar la figura A’B’C’D’, inversa de la ABCD dada, en una inversión de centro O que convierte el punto A en el A’.

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SOLUCIÓN

1 – Se determina la circunferencia de autoinversión (la que pasa por X) a partir del par de puntos inversos A-A’

2 – Prolongando el segmento A-D-C hasta la circunferencia de autoinversión se obtienen un par de puntos dobles, Y y Z. La inversa del segmento ADC es una circunferencia que pasa por Y-Z-O-A’. Aunque solo el arco A’-D’-C’ es la solución.
3 – La inversa de la circunferencia que pasa por A-B-C es una circunferencia concéntrica que pasará por el inverso de A, A’. Solo el arco A’-B’-C’ es la inversa del arco dado.

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Ejercicios resueltos de inversión – 994

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Inverso de un punto, B y C, conocido el centro de inversión, O, y un punto doble, A-A’

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SOLUCIÓN

Caso I, punto B (El punto es exterior a la circunferencia de autoinversión)

1 – Hacer una circunferencia de centro el centro de inversión, O, y radio hasta el punto doble, A-A’. Esta es la circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles.

2 – Unir el punto dado, B, con el centro de inversión, O.
3 – Con centro en el punto medio de B-O y radio hasta B trazar un arco.
4 – Por el punto, T, de corte del arco con la circunferencia, hacer una perpendicular a B-O y donde la corte es el inverso, B’, del punto B.

Caso II (El punto es interior a la circunferencia de autoinversión)

a – Hacer una circunferencia de centro el centro de inversión, O, y radio hasta el punto doble, A-A’. Esta es la circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles.

b – Unir el punto dado, C, con el centro de inversión, O.
c – Trazar una perpendicular a C-O por C.
d – Donde corte a la circunferencia, T, se une con O.
e – Trazar una perpendicular a T-O por T y donde corte a C-O es el inverso, C’, del punto dado, C

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Hallar la figura inversa de una circunferencia C, que no pasa por el centro de inversión, conociendo el centro de la inversion O y la pareja de puntos inversos A, A´

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SOLUCIÓN

1 – Con el centro de inversión y la pareja de puntos inversos se determina la circunferencia de puntos dobles o de autoinversión. Puedes ver como se hace en este enlace inversion_996.htm
2 – Hallas el inverso de dos puntos cualquiera de la circunferencia. Puedes recordar como se hace esto en este enlace inversion_994.htm
3 – Hallar la mediatriz de los dos puntos inversos
4 – Donde la mediatriz anterior corte a la recta que une el centro de inversión con el centro de la circunferencia es el centro de la circunferencia inversa. Su radio es hasta uno de los puntos inversos hallados.

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Ejercicios resueltos de inversión – 992

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Figura inversa de un cuadrado ABCD de 40 mm de lado, centro de inversión en A y potencia de inversión K = 36 cm².

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SOLUCIÓN

1 – Se determina el valor del radio de la circunferencia de autoinversión (o de puntos dobles) mediante la raíz cuadrada de 36. Obtenida esta se dibuja dicha circunferencia.

2 – Prolongar el lado DC hasta cortar a la circunferencia de autoinversión, puntos 1 y 2. La inversa de dicha recta es la circunferencia que pasa por el centro de inversión, O = A, y los puntos dobles 1 y 2. Al unir los vértices D y C con el centro de inversión, O, se obtienen sus inversos, D’ y C’, siendo el inverso del segmento CD el arco C’D’.
3 – Se opera de igual modo para determinar el inverso de BC.
4 – El inverso del punto A está en el infinito (es impropio). La recta que pasa por AD es doble por lo que su inverso es ella misma. Pero el inverso del segmento AD es el rayo que parte de D’ y sigue hacia el infinito (no el que hay entre D’ y A).
5 – El inverso de AB se obtiene igual.

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