Dibujo técnico, geometría y cad.
Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 991
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Hallar el centro de inversión que transforma tres puntos dados no alineados en los vértices de un triángulo equilátero
SOLUCIÓN
Pueden ver dos soluciones distintas en el foro, pulsar aquí.
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INVERSIÓN – 991
Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 990
Ejercicios resueltos de inversión – 990
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¿ Qué son rectas antiparalelas ?
SOLUCIÓN
Para comprender el concepto de rectas antiparalelas es preciso primero entender que son rectas paralelas.
Para definir dos rectas paralelas se pueden utilizar dos conceptos :
Utilizando distancias : dos rectas son paralelas cuando la distancia entre ambas se mantiene igual.
Utilizando ángulos : dos rectas son paralelas cuando forman el mismo ángulo y en el mismo sentido con una tercera tomada como referencia.
Aunque la última forma no es la definición más habitual es la que nos interesa.
Dos rectas son antiparalelas cuando los ángulos que forman respecto de dos rectas convergentes son iguales, pero medidos en rectas contrarias.
Los ángulos son iguales de cualquier forma que se midan :
Los ángulos iguales guardan la orientación respecto de las dos rectas de referencia y de su punto de corte; así, si uno de los dos ángulos está abierto hacia el punto de corte de las dos rectas el otro también lo estará, o si uno de los ángulos es exterior al ángulo que forman las dos rectas de referencia también lo será el otro.
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Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 989
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Trazar la inversa de la circunferencia (centro C), conocido el centro de inversión O y un par de puntos inversos A y A’, utilizando la potencia positiva.
SOLUCIÓN
Para hallar el valor de la potencia, √K, debes realizar una media proporcional.
1 – Haces media circunferencia con centro en el segmento OA.
2 – Por A’ levantas una perpendicular a AO hasta cortar a la semicircunferencia.
3 – Une el punto de corte con O y ese es el valor de la potencia, √K.
Para trazar la inversa de la circunferencia, con potencia positiva :
4 – Trazas la circunferencia de autoinversión con el radio obtenido anteriormente (círculo relleno de verde).
5 – Donde la circunferencia dada la corta (puntos X e Y) son puntos dobles, que junto con A’ tenemos tres puntos de la circunferencia buscada.
6 – Hacer una circunferencia que pase por X’, Y’ y A’.
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Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 988
Ejercicios resueltos de inversión – 988
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Dada una circunferencia de centro C, el centro de inversión O (situado sobre la circunferencia), el punto A (a la derecha de O) y su inverso A’ (a la izquierda de O y también sobre la circunferencia), averiguar la figura inversa de la circunferencia.
SOLUCIÓN
La solución es tan simple como unir el centro de la circunferencia con el centro de la inversión y por el punto A hacer una perpendicular a esa unión.
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Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 987
Ejercicios resueltos de inversión – 987
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Hallar las circunferencias tangentes a la recta R y que pasen por el punto P, con sus centros en la recta T.
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SOLUCIÓN
Si se hace el simétrico de P respecto de T, se obtiene un segundo punto perteneciente a la circunferencia buscada.
El problema queda transformado en buscar las circunferencias que sean tangentes a la recta R y pase por dos puntos (el P dado y su simétrico).
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Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 986
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Hallar las circunferencias tangentes a la circunferencia A, que pasen por el punto P y tengan su centro en la recta R.
SOLUCIÓN
1 – Supón el ejercicio resuelto (las soluciones están en línea blanca gruesa). El punto P dado es de la circunferencia buscada y el centro debe estar sobre la recta R, si quisiéramos trazar una recta tangente se haría una perpendicular al radio que une el punto de tangencia deseado, P, con el centro, y esa es la recta R dada, luego al hacerle una perpendicular a R por el punto P se ha dibujado una recta tangente a la circunferencia buscada (en amarillo).
2 – Ahora recordemos una propiedad (esta es solo una hay otras) fundamental del centro radical de dos circunferencias : «el centro radical es el punto por el que pasan las tangentes a tres circunferencias que miden lo mismo». Se puede expresar de otras formas pero así está más claro lo que quiero hacer, y es buscar el centro radical, por que ya que tengo una tangente, si localizo otra que mide lo mismo respecto de la circunferencia dada A, tendré los puntos de tangencia de la solución con la dada.
3 – Para determinar el centro radical se dibujan dos ejes radicales y donde estos se corten es el centro radical. Como la circunferencia dada debe tener su centro sobre la recta R, buscaré una cualquiera con su centro en dicha recta R, que pase por P y que corte a la dada A (la que está en magenta). Así la recta que se hizo perpendicular a R por P ya es un eje radical entre la circunferencia buscada y la elegida al azar (por ser las dos tangentes en P).
4 – Se determina el otro eje radical (entre la elegida al azar y la dada A), simplemente uniendo los puntos de corte de ambas (en azul). Donde se corte con la anterior es el centro radical (marcado en rojo con C.R.).
5 – Si con centro en el centro radical (C.R.) y radio hasta el punto P hago un arco (línea fina roja) corta a la circunferencia dada en T1 y T2. Lo que he hecho ha sido localizar los puntos de tangencia de la circunferencia dada A que miden lo mismo que la tangente desde la circunferencia buscada.
También se podría hacer las tangentes (línea blanca fina discontinua) a la circunferencia dada A desde el centro radical (C.R), y se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 (cada uno es para una solución distinta).
6 – Los puntos obtenidos son los puntos de tangencia con la circunferencia dada, para hallar los centros de la solución basta con unirlos con el centro de la circunferencia dada.
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Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 985
Ejercicios resueltos de inversión – 985
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Hallar las circunferencias tangentes a la circunferencia A, que pasen por el punto P y tenga su centro en la recta R.
SOLUCIÓN
El "truco" está en darse cuenta de que la recta R que contenia a los centros de las circunferencias solución, es la mediatriz de dos puntos de la circunferencia, y por tanto, conocido un punto (el P) y la mediatriz (eje de simetría) el otro punto era su simétrico.
Luego el problema queda reducido a buscar las circunferencias tangentes a una circunferencia y que pase por dos puntos (el P dado y su simétrico Q).
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Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 984
Ejercicios resueltos de inversión – 984
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Circunferencias tangentes a una recta, R, y que pasan por dos puntos, P y Q.
SOLUCIÓN
1 – Considera uno de los puntos como centro de inversión, por ejemplo P
2 – El otro, Q, es un punto doble
3 – Con centro en P y radio hasta Q se dibuja la circunferencia de puntos dobles
4 – Se halla la inversa de la recta dada, que será una circunferencia, R’
5 – Se dibuja la tangente desde Q con respecto a R’ (puntos de tangencia T1′ y T2′)
6 – Se unen T1′ y T2′ con P y donde corten a R son los puntos de tangencia, T! Y T2, de las circunferencias buscadas
7 – Haces una perpendicular a la recta dada por ese punto de tangencia y donde corte a la mediatriz de P-Q es el centro de la circunferencia buscada, C1 y C2
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Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 983
Ejercicios de inversión – 983
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¿ Como resolver una tangencia en la que las dos rectas no se cortan sino que se salen del papel ?
Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasan por un punto, P- Caso RRP
SOLUCIÓN
1 – Usaremos el punto P como centro de inversión.
2 – Invertiremos esa recta que se transformará en una circunferencia que pasa por P, con su centro en la mediatríz de la perpendicular a la recta.
3 – Con la potencia K invertiremos la otra recta, hallando otra circunferencia.
4 – Hallaremos las tangentes entre ambas circunferencias, las cuales uniéndolas con el centro de inversion P cortarán a las rectas en sus respectivos puntos de tangencia.
5 – Con los puntos de tangencia y el punto P hallaremos fácilmente los centros de las soluciones.
Puedes utilizar cualquier circunferencia con centro en el punto P para utilizarla como circunferencia de autoinversión (circunferencia de puntos dobles), en mi imagen la circunferencia en magenta.
Existe otra forma de hacerlo mediante reducción a otro caso.
Si hallas el simétrico del punto respecto de la bisectriz que forman las dos rectas queda reducido a hallar las circunferencias tangentes a dos puntos (el dado más el simétrico) y a una de las dos rectas (da igual la R o la S).
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Problemas y ejercicios resueltos de inversion – 982
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Resolver el caso de circunferencias tangentes a otras dos circunferencias (una dentro de la otra) y a un punto (el punto dentro de una de las circunferencias).
SOLUCIÓN
Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasen por un punto:
1 – Hacer una recta cualquiera, r, que pase por el centro de una de las dos circunferencias, y una paralela a ella por el otro centro, s.
2 – Unir donde r y s corten a las circunferencias en el mismo lado.
3 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será D.
4 – Unir D con el punto P dado.
5 – Hacer una circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corte a las circunferencias.
6 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P’.
7 – El problema queda reducido a : Una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P’.
8 – Otra solución se obtiene si se unen donde r y s corte a las circunferencias, en lados distintos.
9 – Donde esa recta corte a la unión de los centros será E.
10 – Unir E con el punto P dado.
11 – Hacer circunferencia que pase por P y por los puntos interiores, A y B, donde la unión de los centros corta a las circunferencias.
12 – Donde esa circunferencia corte a D-P, será P».
13 – El problema queda reducido a : Una circunferencia, cualquiera de las dos dadas y a dos puntos, P y P».
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inversión – 982