Mes: octubre 2014

Ejercicio de homología – 975

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Hallar una cónica conocida tres tangentes (m, n y q) y los puntos de tangencia en dos de ellas (A y B).

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SOLUCIÓN

1 – La intersección de dos de las tangentes, m y n, da el centro de homología, O

2 – Se hace una circunferencia cualquiera, pero que sea tangente a esas dos tangentes
3 – Los puntos de tangencia de la circunferencia con las dos tangentes (puntos A’ y B’) son los homólogos de los puntos de tangencia dados, A y B
4 – El punto de corte de la recta que une los dos puntos dados, A y B, con la tercera tangente, q, se une con el centro de homología, O
5 – Donde esta última corte a la recta de los puntos de tangencia de la circunferencia, A’ y B’, es el homólogo Q’
6 – Desde este último punto, Q’, se traza una tangente, q’, a la circunferencia. Esta es la homóloga de la tangente dada q
7 – Se hallan los puntos de corte de las rectas homólogas, es decir, el punto M intersección de AB con A’B’, y el punto N intersección de q con q’. Uniendo M y N se consigue el eje de la homología.
8 – Definido el centro de la homología, O, el eje de la homología, MN, y un par de parejas de puntos homólogos, A-A’ y B-B’, se halla la homóloga de la circunferencia y da la cónica buscada

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Ejercicio de homología – 974

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Hallar la transformación homológica de una circunferencia, cuyo centro C está en la recta límite, R.L, conociendo el centro de homología O y el eje, e.

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SOLUCIÓN

Si una circunferencia corta a la recta límite (tenga su centro o no en la recta límite) su homóloga es una hipérbola.
1 – Hallar las tangentes, t1 y t2, a la circunferencia que pasan por los puntos de corte, A y B, con la recta límite

2 – Unir A y B con el centro de homología, O
3 – Por donde las tangentes, t1 y t2, cortan al eje, F y G, hacer paralelas a O-A y O-B, respectivamente. Estas últimas, t1′ y t2′, son las asíntotas de la hipérbola
4 – Prolongar las asíntotas hasta que se corten. El punto de corte, H’, es el centro de la hipérbola
5 – Hallar la bisectriz de las asíntotas, t1′-t2′, y este es el eje mayor o real. La perpendicular por H’ es el eje menor o imaginario
6 – Donde el eje mayor corte al eje de la homología, I’, se une con el punto de corte de las tangentes, t1 y t2. Como son paralelas, t1 y t2, se dibuja una paralela a ellas
7 – Esta recta corta a la circunferencia en los puntos 1 y 2

8 – Unir los puntos 1 y 2 con el centro de homología, O, y donde corta al eje mayor de la hipérbola son los vértices hipérbola, 1′ y 2′
9 – Por cualquiera de los dos vértices de la hipérbola, 1′ en mi dibujo, se levanta una perpendicular al eje mayor
10 – Hacer un arco con centro en el de la hipérbola, H’, y radio hasta donde la perpendicular anterior corta a las asíntotas, X
11 – Donde el arco corte al eje mayor de la hipérbola son los focos, F1 y F2
12 – Ya conocemos las asíntotas, t1′ y t2′, el eje mayor y menor, los vértices de la hipérbola, 1′ y 2′, y los focos, F1 y F2, se procede a trazar la hipérbola por el método que se crea más conveniente (trazado por puntos o hallando los homólogos de los puntos de la circunferencia)

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Ejercicio de homología – 973

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Dada una circunferencia de radio 18 mm, que pasa por A(-30, 20) y es tangente a la recta L de ecuación y = 50, quedando su centro a la derecha de A. Esta circunferencia es homóloga de una parábola de vértice A´(-18, -34), siendo A y A´ homólogos. Sabiendo que L es la recta límite de la circunferencia se pide determinar los elementos de la homología y de la parábola. El centro O de la homología debe quedar por arriba de L.

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SOLUCIÓN

1 – Situar los puntos A y A’ (vértice de la parábola).

2 – Trazar la recta L (recta límite) a 50 mm de ordenada.
3 – Con centro en A y radio 18 mm se dibuja un arco.
4 – Dibujar una paralela a la recta L separada 18 mm.
5 – Donde se corten el arco y la paralela anterior (el punto de la derecha) es el centro de la circunferencia que se transformará. Dibujar la circunferencia.
6 – Determinar el punto de tangencia, T, entre la circunferencia y la recta límite, L. Para ello dibujar una perpendicular a la recta límite por el centro de la circunferencia, el punto de corte con L es T.
7 – Unir A con el centro de la circunferencia y dibujar una perpendicular a ese radio que pase por A.
8 – Prolongar la línea anterior hasta cortar a la recta límite, punto X.
9 – Determinar el punto medio del segmento T-X, y con centro en él y radio hasta T o X dibujar una semicircunferencia por encima de la recta límite.
10 – Unir A con A’ y donde corte a la semicircunferencia anterior es el centro de la homología, O.
11 – Unir T con O y dibujar una paralela por A’. Esta última es el eje de la parábola.
12 – Prolongar el eje de la parábola hasta cortar a T-A, punto N. Por este punto, N, se hace una paralela a la recta límite y esta es el eje de la homología.
13 – Por A’ dibujar una perpendicular al eje de la parábola. Esta es la tangente a la parábola por su vértice.
14 – Trazar la tangente a la circunferencia desde el centro de la homología.
15 – Prolongar la tangente por el vértice de la parábola hasta cortar a la tangente de la circunferencia anterior. Por el punto de corte trazar una perpendicular a la tangente de la circunferencia y donde corte al eje de la parábola es el foco de la parábola.

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Ejercicio de homología – 972

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¿ Cuál es el teorema de las tres homologías ?

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SOLUCIÓN

TEOREMA DE LAS TRES HOMOLOGÍAS

Este teorema sirve para relacionar dos homologías conocidas con una tercera que se necesita relacionar con alguna de las dos primeras, pudiendo determinar sus elementos.
El teorema de las tres homologías tiene dos formas distintas de expresarse. La primera es más clásica, pero también puede ser útil la segunda forma.
La primera forma (y más genérica) del teorema de las tres homologías dice :
"Si dos figuras están relacionadas mediante una homología, y la segunda figura está relacionada con una tercera figura mediante otra homología que comparte el mismo eje de las dos primeras, entonces la primera y tercera también se encuentran relacionadas mediante una homología, estando los tres centros de homología sobre una misma recta".
La segunda versión del teorema de las tres homologías se conoce como el reciproco del teorema de las tres homologías, que dice :
"Si dos figuras están relacionadas mediante una homología, y la segunda figura está relacionada con una tercera figura mediante otra homología que comparte el mismo centro de homología de las dos primeras, entonces la primera y tercera también se encuentran relacionadas mediante una homología que comparte el mismo centro para las tres, cortándose los tres ejes de las homologías en un mismo punto".

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Ejercicio de homología – 971

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De una homología se conocen las rectas r = r’, s y s’ y el par de puntos P y P’. Calcular el centro, el eje y las rectas límites.

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SOLUCIÓN

Se puede plantear un primera forma en la que la recta R por ser doble pasa por el centro de homología, pero esas no son las únicas rectas dobles. El eje de la homología es también una recta doble, de hecho esa es su definición, el lugar geométrico de todos los puntos dobles. Por lo que yo consideraré a la recta R como eje de la homología.
Con este planteamiento los pasos a seguir serán :
I – La recta r-r’ es el eje de la homología.
II – El centro de homología estará sobre la recta P=P’.
III – Se hace una recta cualquiera que parta de P y corte a la recta s y al eje de la homología. Al punto donde esta recta corta a s le llamaré X.
IV – Donde esta recta auxiliar toque al eje de la homología se une con el punto P’, y donde esta corte a la recta s’ será el homólogo del punto X.
V – Unir X con X’ hasta que corte a la unión de P con P’, siendo el punto de intersección el centro de la homología.

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Ejercicio de homología – 970

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¿ Qué es una homología involutiva ?

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SOLUCIÓN

Una homología involutiva cumplen estas características :
a) Las dos rectas límites son coincidentes
b) Las rectas límites son la paralela media entre el centro de homología y el eje
c) Si a la figura homóloga le haces una homología con los mismos elementos iniciales vuelves a obtener la misma figura inicial
La manera de resolverla es exactamente igual que en cualquier otro caso.

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Hallar el centro de homología, el eje, y el homólogo con los cuales el homólogo del triángulo ABC, es un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa B’C’ = 60 mm.
A(90, 130), B (110, 160), C (70, 175). Recta límite R.L. de ecuación y = 200 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Prolongar los lados AB y AC hasta cortar a la recta límite, puntos X e Y.

2 – Con centro en el punto medio de XY y diámetro XY dibujar una semicircunferencia por encima de la recta límite.

3 – Prolongar el lado BC hasta cortar a la recta límite, punto Z. Trazar el arco capaz de 45º por encima de la recta límite entre XZ.

4 – Donde se corten los dos arcos es el centro de homología, O.
Existe una segunda solución si se hacen los arcos por debajo de la recta límite, que no he dibujado.

5 – Unir el punto Z con el centro de homología O y sobre ella y a partir del centro se mide la longitud del lado B’C’, punto W.

6 – Unir el centro de homología O con los puntos B y C.

7 – Desde W trazar una paralela a OB y donde corte a OC es el primer punto transformado, C’.

8 – Por C’ hacer una paralela a OZ y donde corte a OB es el transformado B’.

9 – Unir Y con O y después una paralela a OY por B’. Donde corte a la unión de O con A es el último transformado A’.

10 – Uniendo los puntos de corte de los lados homólogos, AC con A’C’ y AB con A’B’, se obtiene el eje de homología.

 

 

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homología – 969

Ejercicio de homología – 968

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Hallar la Sección a una esfera (centro O) por un plano, Q, mediante homología

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SOLUCIÓN

57 – Dibujar una recta horizontal, R2, del plano Q que pase por el centro de la esfera, O.

58 – La intersección de dicha horizontal, R2, con el contorno de la proyección horizontal de la esfera da los puntos 20 y 21, que constituyen el eje, e2, de la homología.
59 – Desde los puntos anteriores, 20 y 21, trazar tangentes al contorno de la esfera en proyección horizontal. El punto de corte de ambas tangentes, V2, es el centro de la homología.
60 – Dibujar una recta frontal, S2, del plano Q que pase por el centro de la esfera, O.
61 – La intersección de dicha frontal, S2, con el contorno de la proyección vertical de la esfera da los puntos 22′ y 23′. Llevarlos a la proyección horizontal de la frontal, puntos 22 y 23.
62 – Unir estas proyecciones, 22 y 23, con el centro de la homología, V2. Donde corte al contorno de la proyección horizontal de la esfera tenemos los homólogos, h22 y h23.
63 – Ya tenemos definida la homología con los siguientes elementos :
– Eje de homología, e2 = 20-21.
– Centro de homología, V2.
– Par de puntos homólogos, 22 y h22 o 23 y h23.
64 – Para hallar más puntos de la cónica, unir un punto cualquiera del contorno de la esfera en proyección horizontal, h24 por ejemplo, con uno de los puntos anteriores, h22.
65 – Prolongar hasta cortar al eje de homología, e2, (en este caso no es necesario) y unir con el homólogo, 22.
66 – Unir h24 con el centro de la homología, V2, y donde corte a la anterior es el punto 24 homólogo de h24 y uno de los puntos de la elipse.
67 – Repetir con más puntos para determinar la elipse.
66 – Para la proyección vertical se opera de igual forma que la proyección horizontal.

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Hallar la sección del cono por el plano oblicuo Q; en diédrico mediante una homología a partir de un punto.

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SOLUCIÓN

95 – Determinar un punto de la sección por cualquiera de los métodos anteriores, método 1, método 2 o método 3.

Lo más sencillo sería mediante un cambio de plano o por intersección de una recta con un plano.
96 – Se une el punto obtenido con el vértice del cono hasta cortar a la base (esto ya estará hecho) y donde toque a la base es su homólogo.
97 – Queda definida una homología con :
– Eje de homología, la intersección del plano de la base y del plano seccionador.
– Centro de la homología, la proyección horizontal del vértice del cono.
– Un par de puntos homólogos, el obtenido por uno de los procedimientos anteriores y el de la base que está en su generatriz.
98 – Para resolverla unir el punto de la base con otro también de la base hasta cortar al eje de homología.
99 – Desde ahí unirlo con el punto de la sección ya obtenido.
100 – Unir el centro de homología con el punto de la base y donde corte a la recta anterior es su homólogo y por tanto un punto de la sección.
101 – Repetir con más puntos y unirlos.

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homología – 967

Ejercicio de homología – 966

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Hallar la sección del cono por el plano oblicuo Q en diédrico mediante una homología proyectada

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SOLUCIÓN

80 – Hallar la intersección del plano de la base del cono y del plano que produce la sección. La intersección de ambos es el eje de la homología.
81 – Dibujar un plano paralelo al que produce la sección pasando por el vértice del cono.
82 – Hallar la intersección del plano de la base del cono y del plano paralelo que pasa por el vértice. La intersección de ambos es la recta límite de la homología.
83 – La homología ha quedado definida :
– Eje de homología, la intersección del plano de la base con el plano seccionador.
– Recta límite, la intersección del plano de la base con el plano paralelo al seccionador que pasa por el vértice del cono.
– Centro de homología, la proyección horizontal del vértice del cono.
– Figura a transformar, la proyección horizontal (elipse) de la base del cono.
84 – Para resolver la homología unir dos puntos cualquiera de la proyección horizontal de la base del cono hasta cortar al eje y la recta límite de la homología.
85 – Donde corte a la recta límite se une con el vértice del cono y después se dibuja una paralela a esa unión pasando por donde la recta que unía los puntos de la base cortaba al eje de la homología.
86 – Unir el centro de la homología con los puntos de la base del cono que se unieron y donde corten a la recta anterior son sus puntos homólogos, y por tanto punto de la sección buscada.
87 – Repetir con varios puntos más.
88 – Unir los puntos obtenidos con una curva.

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