Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 991

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Hipérbola conocidas dos tangentes, un foco y el semieje mayor o real a = 22 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico del foco respecto de cada una de las tangentes, S1 y S2.
2 – Con centro en los simétricos, S1 y S2, y radio el eje mayor, 2a = 2·22 = 44 mm, se hacen sendos arcos.
3 – El punto de corte de los dos arcos es el segundo foco.
4 – Uniendo los dos focos se tiene la distancia focal, 2c. Desde su punto medio se lleva a cada lado el semieje menor y se tienen los vértices.

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Hipérbola conocidos los dos focos y una asíntota.

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SOLUCIÓN

1 – Unir los dos focos. Esta recta es el eje mayor o real de la hipérbola. Donde corte a la asíntota es el centro de la hipérbola.

2 – Por el centro de la hipérbola dibujar una perpendicular al eje mayor. Este será el eje menor o imaginario.

3 – Dibujar un arco hasta la asíntota, de centro en el centro de la hipérbola y radio hasta el foco. Donde el arco corta a la asíntota se traza una perpendicular al eje mayor. Donde lo corte es uno de los vértices de la hipérbola. Dibujar el otro por simetría.

4 – Conocidos los dos focos (distancia focal) y los dos vértices (eje mayor), dibujar la hipérbola por puntos.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 989

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Intersección de una recta, R, en una hipérbola, conocidos sus elementos.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una circunferencia de centro en un foco, F2, y radio la medida del eje mayor, 2a (circunferencia focal).

2 – Con centro, X, en cualquier punto de la recta dada, R, y radio hasta el otro foco, F1, trazar una segunda circunferencia que corte a la primera.
3 – Unir los puntos, 1 y 2, de corte de las dos circunferencias; y por el foco F1 dibujar una perpendicular a la recta dada, R. Donde se corten ambas rectas es el centro radical, CR.
4 – Unir el centro radical, CR, con el foco F2 y dibujar una circunferencia de centro en su punto medio, Y, y radio hasta el foco F2.
5 – Unir los puntos de corte, Z y W, de esta última circunferencia con la circunferencia focal con el foco F2 y donde corte a la recta dada, R, son los puntos de corte, P1 y P2, de la recta con la hipérbola.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 988

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Hipérbola conocida la dirección del eje mayor o real, un punto de la curva, P, una asíntota, as1, y la medida del semieje mayor, a.

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SOLUCIÓN

1 – En cualquier lugar de la asíntota, as1, se traza un segmento de longitud el semieje mayor, a, y paralelo a la dirección del eje mayor dada (triángulo azul).

2 – Por el extremo del segmento se levanta una perpendicular hasta tocar a la asíntota formando un triángulo rectángulo en el que el nuevo cateto es la medida del semieje menor, b, y la hipotenusa la medida de la semidistancia focal, c.
3 – Se toma un punto cualquiera, O’, de la asíntota como centro de una hipérbola paralela a la buscada.
4 – A partir del centro, O’, y con una paralela a la dirección del eje mayor se trazan los vértices, a1′ y a2′, y los focos, F1′ y F2′, con las medidas obtenidas.
5 – Por el punto de la curva dado, P, se dibuja una recta, as’, paralela a la asíntota, as.
6 – Se halla el punto, P’, de corte de la recta, as’, con la hipérbola de centro O’, vértices a1′ y a2′ y focos F1′ y F2′ (con el método explicado de este enlace, pulsa aquí).
7 – Se une el punto P’ con el centro O’ y una paralela a esta por P. Donde corte a la asíntota, as, es el centro, O, de la hipérbola buscada.
8 – Por el centro, O, una paralela a la dirección del eje mayor y con la semidistancia focal se determinan sus focos, F1 y F2, así como el resto de los elementos de la hipérbola (en negro).

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 987

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Hipérbola conocida una asíntota, as, un tangente, t, y un foco, F1

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, sa, del foco, F1, respecto de la asíntota, as).

2 – Hallar el simétrico, st, del foco, F1, respecto de la tangente, t
3 – Hacer la mediatriz, x, del segmento formado por los dos simétricos, sa y st
4 – Dibujar una paralela, y, a la asíntota, as, por el simétrico sa
5 – Donde se encuentren la mediatriz, x, y la paralela, y, es el segundo foco, F2
6 – La distancia entre cualquiera de los dos simétricos, sa o st, y el segundo foco, F2, es la medida del eje mayor, 2a

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 986

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Trazado de una hipérbola conocidas dos tangentes, un foco y la distancia focal, 2c

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SOLUCIÓN

1 – Halla los simétricos del foco, s1 y s2, respecto de las dos tangentes, t1 y t2

2 – Halla la mediatriz entre los dos simétricos
3 – Con centro en el foco y radio 2c se traza un arco, donde corte a la mediatriz anterior es el segundo foco
4 – Unir los dos focos y ese es el eje mayor
5 – Perpendicular al eje mayor y por el punto medio entre los dos focos se traza el eje menor

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 985

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Hipérbola conociendo dos tangentes, t1 y t2, el punto de tangencia de una de ellas, T, y un foco F.

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SOLUCIÓN

1 – Halla los simétricos del foco respecto de las dos tangentes.
2 – Une los dos puntos simétricos y determina su mediatriz.
3 – Une el simétrico del foco con el punto de tangencia (utiliza el simétrico respecto de la tangente en la que está el punto de tangencia).
4 – Donde esta última corte a la mediatriz de los simétricos es el segundo foco.
5 – La distancia que hay entre ese segundo foco y el simétrico del primer foco (en la recta que pasa por el punto de tangencia) es la medida del eje mayor.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 984

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Dadas tres tangentes y un foco determinar su hipérbola.

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SOLUCIÓN

1 – Haces el simétrico del foco respecto de dos de las tangentes y hallas la mediatriz de la recta que los une, obtienes una recta sobre la que está el foco.

2 – Repite con otras dos tangentes, y donde se corten el segundo foco.
3 – Midiendo desde uno de los simétricos del foco hasta el otro, obtienes la medida del eje mayor.
4 – Ya tienes lo necesario

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Hallar una cónica conocida tres tangentes (m, n y q) y los puntos de tangencia en dos de ellas (A y B)

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SOLUCIÓN

1 – La intersección de dos de las tangentes, m y n, da el centro de homología, O.

2 – Se hace una circunferencia cualquiera, pero que sea tangente a esas dos tangentes.
3 – Los puntos de tangencia de la circunferencia con las dos tangentes (puntos A’ y B’) son los homólogos de los puntos de tangencia dados, A y B.
4 – El punto de corte de la recta que une los dos puntos dados, A y B, con la tercera tangente, q, se une con el centro de homología, O.
5 – Donde esta última corte a la recta de los puntos de tangencia de la circunferencia, A’ y B’, es el homólogo Q’.
6 – Desde este último punto, Q’, se traza una tangente, q’, a la circunferencia. Esta es la homóloga de la tangente dada q.
7 – Se hallan los puntos de corte de las rectas homólogas, es decir, el punto M intersección de AB con A’B’, y el punto N intersección de q con q’. Uniendo M y N se consigue el eje de la homología.
8 – Definido el centro de la homología, O, el eje de la homología, MN, y un par de parejas de puntos homólogos, A-A’ y B-B’, se halla la homóloga de la circunferencia y da la cónica buscada.

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HIPÉRBOLAS – 983

Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 982

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Hallar una hipérbola conocida una asíntota (as), un foco (F1) y la relación a/c = 2/3 (semieje mayor / semidistancia focal)

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SOLUCIÓN

1 – En un lugar cualquiera de la asíntota se coloca un segmento, x-y, proporcional al denominador de la relación a/c (por ejemplo c’ = 3 cm)

2 – Se traza una semicircunferencia de centro en el punto medio de x-y y diámetro la distancia x-y
3 – Con centro en uno de sus extremos y radio una cantidad proporcional al denominador de la relación a/c (por ejemplo a’ = 2 cm) se dibuja un arco
4 – Donde corte a la semicircunferencia, punto z, se une con los extremos x e y. Los dos catetos del triángulo formado son las direcciones de los ejes principales de la hipérbola
5 – Por el foco conocido, F1, se dibuja una paralela a z-y
6 – Hacer el simétrico (sF) del foco, F1, respecto de la asintota, as
7 – Por el simétrico del foco, sF, se hace una paralela a la asíntota
8 – Donde esta paralela corte a la paralela a z-y que pasaba por el foco es el segundo foco, F2
9 – La distancia entre el simétrico del foco, sF, y el segundo foco, F2, da la medida del eje mayor, 2a

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