Mes: octubre 2014

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Dado un triángulo equilátero ABC en una homología de vértice V, y con el homólogo del punto A sobre C y que ambas rectas límites sean coincidentes y pasen por B. Se pide hallar la figura homóloga.

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SOLUCIÓN

OPCIÓN I

1 – Prolongar AB hasta la recta límite, punto B, y al unir con V da la dirección de A’B’.
Aunque aún no se conoce la posición exacta de la recta límite, sí se conoce que pasa por el punto B, luego, al prolongar AB hasta cortar a la recta límite no tiene más remedio que cortarla en el punto B.

2 – Dibujar una paralela por A’ y ya se tiene A’B’. B’ no existe por estar en la RL.

3 – Ídem CB, que da la misma dirección de A’B’.

4 – Como ambas rectas límites son coincidente se trata de una homología involutiva. Por lo tanto, si C’ está sobre A entonces A’ está sobre C.

5 – Por C’ una paralela a BO (que es la dirección de B’C’) y se tiene la recta B’C’.

6 – Prolongar AB y A’B’. Su punto de corte, X, es un punto del eje de la homología.

7 – Prolongar BC y B’C’. Su punto de corte, Y, es otro punto del eje de la homología.

8 – Uniendo X e Y tenemos el eje de la homología.

9 – Las rectas límites son paralelas al eje pasando por B.

OPCIÓN II

Otra forma de obtener un punto del eje es Unir O con B y llevar esa distancia en su prolongación.
Su extremo Z es un punto del eje (se basa en que la recta límite está en la paralela media entre el centro de homología y el centro de homología, en una homología involutiva).

 

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homología – 965

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Corte de una pirámide cuadrangular por un plano definido por tres puntos, ABC.

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SOLUCIÓN

Ejercicio de diédrico clásico, resuelto mediante homología.

El objetivo es relacionar la base y el plano horizontal de proyección con el plano seccionador y la sección mediante una homología.
Hallar las trazas del plano que forman los tres puntos como se ha explicado en el apartado anterior (pulsar aquí para verlo de nuevo).
21 – Se planteará una homología con los siguientes elementos :
– Centro de homología, la proyección horizontal de la pirámide, v.
– Eje de homología, la traza horizontal del plano seccionador, p.
– Figura a transformar, la proyección horizontal de la base de la pirámide, d-e-f-g.
– Punto ya transformado, las proyecciones horizontales de los puntos del plano que están sobre las aristas de la pirámide, a y c. A es el homólogo de G y C el homólogo de E.

22 – Prolongar la arista d-g hasta cortar a la traza del plano y ese punto se une con a. Donde esta última corte a la arista d-v es un punto de la sección, j.
23 – Ahora se debería repetir los mismos pasos (prolongar aristas de la base hasta la traza del plano y unirlo con el punto de la sección) pero en este caso A, B y C ya son puntos de la sección por pertenecer al plano y estar sobre las aristas de la pirámide.
24 – Además nos debemos de fijar en los puntos, B y N, en los que la base de la pirámide corta a la traza horizontal del plano, ya que una está sobre la otra. Luego estos también son puntos de la sección.
25 – Unir los puntos que estén en una misma cara, A con B, B con N, N con C, C con J y J con A.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 999

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Trazar una hipérbola conocido un foco (F1), el vértice opuesto (V2) y una tangente (t)

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SOLUCIÓN

1 – Traza la perpendicular a la tangente t por el foco conocido F1

2 – Une donde la perpendicular toca a la tangente, x, con el vértice conocido, V2
3 – Halla la mediatriz de ese último segmento, x-V2
4 – Donde corte a la unión del foco conocido, F1, con el vértice conocido, V2, da el centro de la hipérbola, O
5 – Por simetría respecto del centro de la hipérbola, O, se obtienen el otro vértice y foco

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 998

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Hipérbola conocidos sus dos vértices (V1 y V1′) y una tangente (t)

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SOLUCIÓN

1 – Unir ambos vértices y trazar una circunferencia con centro en su punto medio y diámetro la distancia entre los dos

2 – Por donde la circunferencia corta a la tangente se traza una perpendicular a ella
3 – Donde la perpendicular corte a la unión de los vértices es uno de los focos de la hipérbola

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 997

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Hipérbola conocidos los dos focos y una tangente

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SOLUCIÓN

a – Se halla el simétrico, s1, de uno de los focos respecto de la tangente

b – Al unir el simétrico, s1, con el otro foco se obtiene la medida del eje mayor, 2a
c – Uniendo los dos focos se tiene la distancia focal
d – Desde el centro de este último se lleva la medida del eje mayor, 2a, para determinar los vértices de la hipérbola

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 996

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Hipérbola conocida un foco, F1, una tangente, t, el punto de tangencia, T, y la medida del eje mayor, 2a

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, s, del foco, F1, respecto de la tangente, t

2 – Unir el simétrico, s, con el punto de tangencia, T
3 – Sobre esa recta y a partir del simétrico, s, llevar la medida del eje mayor. Es e punto es el segundo foco, F2
4 – Unir ambos focos, F1 y F2, determinando su punto medio
5 – A partir de su punto medio llevar hacia ambos lados la mitad del eje mayor, 2a, siendo estos los vértices de la hipérbola
6 – Realizar el trazado por puntos

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 995

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Hipérbola equilátera conocido el radio de la circunferencia focal, 40 mm

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SOLUCIÓN

1 – El radio de la circunferencia focal es igual a la medida del eje mayor, 2a = 40 mm
2 – En una hipérbola equilátera el eje mayor mide lo mismo que el eje menor, a = b = 40/2
3 – Conocidos los semiejes mayor y menor se determina el semieje menor construyendo un triángulo rectángulo de catetos igual al semieje mayor y menor. La hipotenusa de ese triángulo es la semidistancia focal, c
4 – Conocidas las tres magnitudes fundamentales, a, b y c, se traza la hipérbola por puntos.

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 994

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Hipérbola de la que se conoce un punto F(340, 200) de una asintota, un punto G(330, 110) de la otra asíntota, la recta que contiene al centro que es horizontal y pasa por H(270, 160), un punto I(280, 200) de la curva y la relación b/a = 4/5,

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SOLUCIÓN

1 – Construyes un triángulo rectángulo de catetos iguales a 4 (el cateto vertical) y 5 (el cateto horizontal). El doble del ángulo entre el cateto horizontal y la hipotenusa es el ángulo entre las dos asíntotas.

2 – Unir los puntos F y G que están sobre las asíntotas, y dibujar el arco capaz del ángulo entre las asíntotas respecto del segmento F-G
3 – Donde el arco capaz corte a la recta H es el centro de la hipérbola
4 – Unir el centro de la hipérbola con los puntos F y G y se obtienen las dos asíntotas
5 – Las bisectrices de los ángulos que forman las dos asíntotas son los ejes de la hipérbola
6 – Por el punto de la curva, I, se traza una paralela al eje mayor de la hipérbola. Esta paralela corta a las asíntotas en dos puntos M (el más cercano a I) y N (el más alejado de I).
7 – Dibujar una semicircunferencia con centro en el punto medio entre I y N.
8 – Por M trazar una perpendicular al eje mayor hasta cortar a la semicircunferencia, Ñ.
9 – La distancia entre I y Ñ es el valor del semieje mayor, a.
10 – Colocando el semieje mayor, a, sobre el eje mayor y desde ahí levantar una perpendicular al eje mayor hasta cortar a la asíntota. Esta última es el valor de la semidistancia focal, c.
11 – Trazar la hipérbola por puntos

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 993

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Hipérbola de la que se conoce un punto F(340, 200) de una asintota, un punto G(330, 110) de la otra asíntota, la recta que contiene al centro que es horizontal y pasa por H(270, 160), un punto I(280, 200) de la curva y la relación b/a = 4/5,

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SOLUCIÓN

1 – Construyes un triángulo rectángulo de catetos iguales a 4 (el cateto vertical) y 5 (el cateto horizontal). El doble del ángulo entre el cateto horizontal y la hipotenusa es el ángulo entre las dos asíntotas.

2 – Unir los puntos F y G que están sobre las asíntotas, y dibujar el arco capaz del ángulo entre las asíntotas respecto del segmento F-G
3 – Donde el arco capaz corte a la recta H es el centro de la hipérbola
4 – Unir el centro de la hipérbola con los puntos F y G y se obtienen las dos asíntotas
5 – Las bisectrices de los ángulos que forman las dos asíntotas son los ejes de la hipérbola
6 – Hallar el simétrico, S, del punto de la curva, I, respecto de la asintota. Por el simétrico, S, se dibuja una paralela a la asíntota respecto de la que se hizo el simétrico. Donde la paralela corte a eje mayor es uno de los focos, F
7 – Ya se conoce la semidistancia focal (entre el foco y el centro de la hipérbola). Hallar el semieje mayor y menor mediante el triángulo rectángulo (del primer apartado) colocando sobre la hipotenusa el valor de la semidistancia focal. Mediante paralelas a los dos catetos por sus extremos obtenemos el valor de los semiejes mayor y menor
8 – Trazar la hipérbola por puntos

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Ejercicios resueltos de HIPÉRBOLAS – 992

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Hallar, en una hipérbola, el eje real (o mayor) conocido el eje imaginario (o menor) y la distancia focal.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar dos líneas perpendiculares o utilizar los ejes de la hipérbola si se tienen ya dibujados.
2 – Colocar sobre una de las perpendiculares la medida del semieje imaginario (o menor).
3 – Con centro en su extremo y radio la semidistancia focal trazar un arco.
4 – Donde corte el arco a la otra perpendicular es el semieje real (o mayor).

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