Mes: octubre 2014

Ejercicios de abatimientos en diédrico – 964

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La circunferencia (C2) es la buscada, la (C1) a la que debe ser tangente, y p y (p’) las trazas en el abatimiento a las que debe ser tangente :

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SOLUCIÓN

1 – Se halla la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas

2 – Donde corta a (C1) es el punto de tangencia (T2)
3 – Por (T2) se hace una perpendicular a la bisectriz, donde corte a la recta es (X)
4 – Con centro en (X) y radio hasta (T2) se hace un arco hasta cortar a la recta, punto (T3)
5 – Por (T3) se hace una perpendicular a la recta hasta cortar a la bisectriz en (C2), centro de la circunferencia buscada

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 963

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Cómo hallar el plano bisectriz o bisector a otros dos planos

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SOLUCIÓN

Para hallar un plano bisector de otros dos debes hallar la recta intersección de los dos planos y después cualquier recta que sea bisectriz del ángulo que forman los dos planos. Con ello tienes dos rectas (la intersección de los dos planos y la bisectriz) que forman el plano buscado.
El método utilizado para hallar la bisectriz puede ser muy variado. Te comento dos.

Mediante un abatimiento.

1 – Trazas un plano perpendicular a la recta intersección de los dos planos
2 – Hallas la intersección del plano perpendicular con cada uno de los dos planos.
3 – Abates el plano formado por las dos rectas intersección, y por supuesto, también abates las dos rectas intersección
4 – En el abatimiento determinas la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas intersección
5 – Desabates esa bisectriz, y está junto con la recta intersección de los planos iniciales son las dos rectas que forman el plano bisector buscado

Mediante un cambio de plano.

a – Haces los cambios de plano necesarios para que la recta intersección se convierta en vertical o de punta.
b – En el último cambio de plano los dos planos iniciales se ven como dos rectas
c – Hallar la bisectriz del ángulo formado por los dos planos en el último cambio de plano
d – Deshacer el cambio de plano de esa recta bisectriz, que junto con la recta intersección de los dos planos iniciales forma el plano bisector

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 962

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La recta r que pasa por A (3, 1, 0) y B (1, 7, 5) es de máxima pendiente de un plano alfa. Este plano contiene un círculo cuyo centro es un punto de la recta r y que dista 3 cm de la traza vertical del plano. El diámetro del círculo es igual a la longitud de AB. Dibujar las dos proyecciones del círculo, indicando partes vistas y ocultas.

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SOLUCIÓN

La mayor dificultad que tiene el problema es que el plano es un poco "feo" por lo abierto que quedan sus trazas. Yo lo he abatido hacia la izquierda, pero también se puede abatir hacia la derecha.
El proceso es éste :
1 – Se hallan las trazas de la recta R

2 – Por la traza horizontal (el punto A) se hace la traza horizontal del plano, p, perpendicular a la proyección horizontal de la recta
3 – Donde ésta corte a la línea de tierra se une con la traza vertical de la recta, v’, y se consigue la traza vertical del plano, p’
4 – Ahora se abate el plano, (p’)
5 – Se abaten los puntos A y B
6 – Dibujar una recta paralela a la traza abatida a una distancia de 30 mm
7 – Donde corte a la recta AB abatida es el centro de la circunferencia, (O)
8 – El radio de la circunferencia es la mitad de la distancia AB del abatimiento
9 – La parte que quede entre la traza horizontal, p, y la traza abatida, (p’), zona amarilla clara, es la parte visible, mientras que la zona en amarillo más fuerte es la parte oculta
10 – Ahora solo se debe desabatir los puntos de la circunferencia

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 961

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Dibujar el rombo de vértice A y vértice opuesto D, situado en el plano horizontal de proyección, y cuyos lados están sobre las rectas anteriores (AB y AC).

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SOLUCIÓN

OPCIÓN 1ª

7- Abatir el punto A, respecto del plano Q, no con relación al plano P

8 – Unir el punto A abatido, (A), con las proyecciones horizontales de b y c (coinciden con sus abatimientos)
9 – Hacer la bisectriz del ángulo formado en el abatimiento ( o bien una perpendicular a la traza q ). Donde corte a la traza horizontal del plano es el segundo punto del rombo, (D)
10 – Desde el punto medio de (A)-(D) se dibuja una perpendicular a ella y donde corte a los lados del ángulo son los otros dos vértices, (E) y (F)
11 – Desabatir y subir directamente a la línea de tierra, d’, y a las rectas a’-b’ y a’c’

OPCIÓN 2ª

12 – Como la proporcionalidad se mantiene, se puede resolver sin necesidad de hacer un abatimiento. En el punto medio del segmento formado por las proyecciones de B y C está el punto D

13 – Los otros dos vértices son los puntos medios de las proyecciones de los segmentos A-B y A-C

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 960

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Puntos de mayor y menor cota sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia.

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SOLUCIÓN

9 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia
10 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado
11 – En el abatimiento trazar una perpendicular a la traza horizontal del plano.
12 – Los puntos de corte de esta perpendicular con la circunferencia son los puntos de mayor y menor cota. El de mayor cota es el más distante de la traza horizontal del plano y el de menor cota el más cercano.
13 – Desabatir los puntos

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 959

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Puntos de mayor y menor alejamiento sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia

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SOLUCIÓN

14 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia
15 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado
16 – En el abatimiento trazar una perpendicular a la traza vertical del plano.
17 – Los puntos de corte de esta perpendicular con la circunferencia son los puntos de mayor y menor alejamiento. El de mayor alejamiento es el más distante de la traza vertical del plano y el de menor alejamiento el más cercano.
18 – Desabatir los puntos

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 958

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Puntos más a la izquierda y derecha sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia

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SOLUCIÓN

19 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia
20 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado
21 – Dibujar una recta de perfil, en proyección horizontal y vertical, que pase por el centro de la circunferencia
22 – Abatir la recta de perfil (unir el punto de corte de la recta de perfil con la traza horizontal del plano con el centro de la circunferencia abatido)
23 – En el abatimiento, trazar una perpendicular a la recta de perfil pasando por el centro de la circunferencia
24 – Donde la perpendicular corte a la circunferencia son los puntos más a la derecha e izquierda. Para distinguirlos al desabatir observaras cual es cada uno.

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 957

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Abatir el plano alfa sobre el plano horizontal de proyección. Situar sobre el mismo un triángulo equilátero, sabiendo que A es uno de los vértices y el vértice B está lo más a la izquierda posible y AB = 40 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Determinar la proyección horizontal del punto A
2 – Abatir el plano y el punto A
3 – Con centro en el punto A abatido dibujar una circunferencia de radio 40 mm
4 – Por las proyecciones horizontal y vertical dibujar una recta de perfil
5 – Abatir la recta de perfil (el punto donde toque a la traza horizontal del plano se une con el punto A abatido)
6 – Desde el punto A abatido se dibuja un perpendicular a la recta de perfil abatida
7 – Donde esta última toque a la circunferencia (en la parte inferior en este caso) es el punto que está más a la izquierda, B
8 – Conocidos A y B en el abatimiento dibujar un triángulo equilátero y desabatir

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 956

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Determinar los puntos de intersección de una circunferencia de centro el punto C y radio 30 mm con la recta r dada por sus proyecciones. No es necesario hallar las proyecciones de la circunferencia.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar las trazas, hr y vr’, de la recta R dada

2 – Unir un punto cualquiera de la recta R con el centro de la circunferencia, A (recta S)
3 – Hallar las trazas, hs y vs’, de la recta S
4 – Unir las trazas horizontales (y verticales) de las rectas para obtener la traza del plano, p, que forman la recta y el punto dados
5 – Abatir la recta, (R), y el centro de la circunferencia, (A)
6 – En el abatimiento, dibujar la circunferencia con el radio dado
7 – En el abatimiento, determinar donde corta la recta R a la circunferencia, puntos (1) y (2)
8 – Desabatir dichos puntos, 1 y 2, que serán los de intersección de la circunferencia con la recta

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Ejercicios de abatimientos en diédrico – 955

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Dado el plano P por tres puntos ABC, determinar las proyecciones de un hexágono que está contenido en este plano. Sabiendo que :

– C es un vértice del hexágono y tiene menor cota
– La diagonal que pasa por C es una recta de máxima pendiente
– El radio del hexágono es de 40 mm
A (34, 32, 82)
B (108, 12, 44)
C (76, 67, 12)

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SOLUCIÓN

Este problema se resuelve mediante un abatimiento.
1 – Con los tres puntos dibujas dos rectas.
2 – Hallas las trazas de ambas rectas.
3 – Une las trazas de las rectas para formar las trazas del plano.
4 – Abate el plano.
5 – Abate el punto C.
6 – Traza una perpendicular a la traza horizontal del plano en el abatimiento (esta es la recta de máxima pendiente).
7 – Sobre ella lleva la medida del radio, 40 mm, y ese es el centro del hexágono.
8 – Con centro en él y el radio dado trazas una circunferencia.
9 – Con el mismo radio y empezado por el punto C trazas un arco que corte a la circunferencia. Ese será el segundo vértice del hexágono.
10 – Repite con centro en el segundo vértice y vuelve a cortar a la circunferencia para obtener el tercer vértice.
11 – Repite hasta obtener los seis vértices y únelos entre sí.
12 – Desabate los vértices del hexágono.
13 – Halla la proyección vertical de esos vértices.

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