Mes: octubre 2014

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Dibujar un rectángulo uno de cuyos lados mida 40 mm y sea equivalente a un triángulo.

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SOLUCIÓN

Debes igualar las áreas, b·h/2 = b’·h’ (donde los que no tienen prima son del triángulo y los de la prima del rectángulo).

Ahora para poder resolverlo necesitas tener una de estas dos opciones :

A) Conocer la b’ o la h’, con lo que solo tienes que aplicar una cuarta proporcional para despejar el que te falta.

B) Que te den la relación entre la b’ y la h’ (por ejemplo b’ = 3·h’), sustituyes y te queda una media proporcional.

Existe una tercera forma :

C) Dibujas otro triángulo igual, pero pegando dos lados iguales, con lo que has dibujado un romboide. El rectángulo equivalente tendría igual base que el romboide y mitad de su altura, o al revés, la misma altura pero la mitad de la longitud de la base.

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equivalencias – 996

Ejercicios de equivalencias – 995

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Dibuja un rectángulo cuyos lados están en proporción 2/3 equivalente (misma área) a un rombo de diagonales determinadas (50 mm y 60 mm).

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SOLUCIÓN

1 – Hacer la media proporcional entre 3/4 de una de las diagonales y la otra diagonal completa

2 – El valor de la media proporcional es la base del rectángulo buscado
3 – Dividir la base en tres partes iguales. La altura del rectángulo es 2/3 de la base.

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Hallar gráficamente de la forma más sencilla posible, la dimensión CN para que el rectángulo PNCM sea equivalente al cuadrado ACDE.

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SOLUCIÓN

Independientemente del tamaño de los lados del triángulo puedes plantear L·L = MC·CN, donde L es el lado del cuadrado.

Esto reordenado, L / MC = CN / L, donde CN es la incógnita de una tercera proporcional.

 

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equivalencias – 994

Ejercicios de equivalencias – 993

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Hallar un rectángulo equivalente a un trapecio.

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SOLUCIÓN

El rectángulo tendrá por base una de longitud la mitad de la suma de las bases.
Y de altura la misma del trapecio.

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Dibujar un rectángulo cuyos lados estén en la proporción 2:3 y su superficie sea equivalente a la de un triángulo equilátero de 30 mm de lado.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un triángulo equilátero de 30 mm y marcar su altura.

2 – Igualar las áreas de un triángulo (base b, altura h) con la de un rectángulo (base B, altura H) ⇒ b·h/2 = B·H; y como la relación entre los lados del rectángulo es H/B = 2/3, sustituyendo queda b·h/2 = B·(2B/3), que reordenándolo da (b/2) / B = B / (3h/2) (o cualquier otra de las posibles combinaciones) luego se trata de resolver esa media proporcional.
3 – Colocar un segmento igual a la mitad de la base, b, del triángulo y a continuación otro segmento que valga 3/2 (o una vez y media) la altura, h, del triángulo equilátero.

4 – Dibujar media circunferencia de diámetro la suma de esos dos segmentos.
5 – Por el punto de unión de un segmento con el otro se levanta una perpendicular.
6 – La longitud de esa perpendicular (hasta donde toca a la semicircunferencia, es el valor de la base, B, del rectángulo.
7 – Dividir la base en tres partes iguales, y dos de esas partes es el valor de la altura del rectángulo, H.
8 – Dibujar el rectángulo con las medidas de la base B y la altura H (yo lo he hecho con un poco de ayuda de Velázquez).

 

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equivalencias – 992

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Construir un cuadrado de igual área que un triángulo dado.

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SOLUCIÓN

El área de un triángulo es b·h/2, mientras que la del cuadrado L·L, si las dos deben ser equivalentes se igualan quedando b·h/2 = L·L, esto es un media proporcional donde la base y la altura del triángulo son conocidos y el lado del cuadrado, L, es la incógnita.

Para resolver una media proporcional se coloca un segmento de igual valor que la base del triángulo, AB, y a continuación otro de valor la mitad de la altura del triángulo, BT = HC/2, (o al revés, un segmento con valor la mitad de la base y a continuación otro de valor la altura).

Al segmento total (la suma de los dos) se le halla el punto medio (o mediatriz). Con centro en ese punto medio y radio hasta el extremo del segmento suma se traza media circunferencia (arco capaz de 90º).

Por el punto de unión de los dos segmentos, B, (cuidado no por el punto medio de la suma) se levanta una perpendicular.

La longitud de esa perpendicular, BD, desde el punto donde se une los segmentos hasta la semicircunferencia es el valor del lado del cuadrado (la media proporcional).

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equivalencias – 991

Ejercicios de equivalencias – 990

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Cuadrado equivalente a un circulo (diámetro D)

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SOLUCIÓN

a – Dividir el diámetro, D, en 7 partes iguales

b – A partir de los extremos del diámetro, llevar hacia un lado 3 de las divisiones y hacia el otro 4

c – Hacer la media proporcional entre 3+3+4 = 10 divisiones y 4 divisiones
d – La media proporcional es el valor del lado del cuadrado buscado

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Dibujar un cuadrado equivalente a un circulo (diámetro D).

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SOLUCIÓN

El problema planteado, hacer un cuadrado equivalente a un circulo, es uno de los tres problemas clásicos de la antigüedad griega, y en concreto se suele denominar como la cuadratura del circulo.

Existen infinidad de métodos para hacerlo, expongo el que considero más simple :

1 – Divídase el diámetro del círculo en siete partes y con centros en sus extremos A y B trazar arcos de radios respectivamente iguales a 4d/7 y 3d/7 obteniendo los puntos D y C sobre las prolongaciones del diámetro considerado.

2 – Trazar una semicircunferencia de diámetro C D, levantando por A una perpendicular hasta cortar en E a la semicircunferencia.

3 – El segmento A E es el lado del cuadrado equivalente al círculo del diámetro dado A B.

Fundamento :

La superficie de un círculo es π··d²/4.

Se puede tomar como valor aproximado para π/4 el valor de 40/49. Que a su vez se puede descomponer en el producto de (10/7) · (4/7).

Luego, π··d²/4 ≅ 40·d²/49 = (10·d/7) · (4·d/7). Y como lo que queremos es un cuadrado L·L = (10·d/7) · (4·d/7), que reordenado es L / (10·d/7) = (4·d/7) / L, es decir, la media proporcional entre 10/7 y 4/7 del diámetro.

Para su resolución gráfica necesitamos dividir el diámetro en 7 partes y colocar dos segmentos que midan 10 (C A) y 4 (A D) de esas partes.

El procedimiento es una aproximación al resultado ideal, pero para determinados usos es suficiente y válido.

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equivalencias – 989

Ejercicios de equivalencias – 988

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Cuadrado equivalente a rectángulo

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SOLUCIÓN

Al igualar las áreas de ambos b·h = L·L (donde b es la base del rectángulo, h la altura del rectángulo y L el lado del cuadrado), se forma una media proporcional.
Luego basta con hacer la media proporcional de la base y altura del rectángulo para determinar el lado del cuadrado.

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Ejercicios de equivalencias – 987

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Hallar un cuadrado equivalente a un trapecio.

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SOLUCIÓN

Se debe hallar la media proporcional entre la mitad de la suma de las bases y la altura.
El valor de la media proporcional es la longitud del lado del cuadrado.

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