Mes: octubre 2014

Ejercicios de equivalencias – 976

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Dibujar un triángulo equivalente a un cuadrilátero dado.

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SOLUCIÓN

El área de un cuadrilátero es (base x altura) = b•h, mientras que el del triángulo es (Base x Altura) / 2 = B•H / 2, como deben ser equivalentes (mismas áreas) al igualarlos nos queda b•h = B•H / 2, suponiendo que sabemos la altura y base del cuadrilátero, supongamos que hacemos las bases de los dos polígonos iguales, entonces queda, b = B y h = H / 2, luego, la base del triángulo será la misma que la del cuadrilátero, pero su altura será el doble.
Con estos datos se pueden hacer infinitos triángulos equivalentes.

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Ejercicios de equivalencias – 975

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Trazado de un triángulo equilátero equivalente a otro escaleno

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SOLUCIÓN

1 – Tenemos un triángulo escaleno y medimos la altura h y su base b

2 – Se hallan los 2/3 de la medida de la base
3 – Se construye un triángulo rectángulo con dos catetos iguales a 2b/3

4 – Se construye otro triángulo rectángulo con un cateto igual a 2b/3 y el otro igual a la hipotenusa z del primero
5 – Se halla la media proporcional entre la hipotenusa del segundo triángulo, y, y el valor de la altura del triángulo inicial, h.

6 – El valor de la media proporcional, L, es el lado del triángulo equilátero buscado.

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Las diagonales de un cuadrilátero, inscrito en una circunferencia de radio R = 40 mm, miden d1 = 75 mm y d2 = 70 mm y forman 120º entre sí.
Dibujar el cuadrilátero y el triángulo equilátero equivalente.

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SOLUCIÓN

– Primero hallas el triángulo equivalente al cuadrilátero. Por el vértice D trazas la paralela a la diagonal CB. Alargas el lado AB hasta que corte a la paralela en un punto que llamas E. Unes E con C y ya tienes el triángulo equivalente.
– Ahora tienes que plantear una ecuación donde igualas el área del triángulo anterior,que es el lado AE por su correspondiente altura entre dos, con el área del triángulo equilátero, que es el lado al cuadrado por la raiz cuadrada de tres entre cuatro.
– De aquí puedes despejar el lado y hallarlo gráficamente.

 

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equivalencias – 974

Ejercicios de equivalencias – 973

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Circulo equivalente a un cuadrado (lado L)

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja un segmento de longitud igual a la del lado del cuadrado.
2 – Dividir el segmento en once partes iguales.

3 – Coger siete de esas once partes.
4 – Hallar el punto medio del segmento formado con las siete partes.
5 – Hacer la media proporcional entre el lado del cuadrado y el segmento formado por la mitad de las siete partes.

6 – La media proporcional es el radio del círculo buscado.

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Ejercicios de equivalencias – 972

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Dividir un círculo en dos partes equivalentes por medio de una circunferencia concéntrica

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SOLUCIÓN

1 – Trazar dos diámetros perpendiculares, AC y BD

2 – Unir dos extremos contiguos, A y B
3 – La circunferencia buscada es tangente a esa recta

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Dividir un triángulo en dos partes equivalentes mediante una recta de inclinación dada.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar por un vértice C del triángulo ABC dado, la paralela CD a la dirección fijada.

2 – Describiendo una semicircunferencia de diámetro A D.
3 – Levantar por el punto medio M del lado AB una perpendicular hasta cortar en E a la semicircunferencia y con centro en A y radio AE trazar un arco que cortará en el punto F al lado AB.
4 – La recta paralela a la dirección trazada por F divide al triángulo en dos partes equivalentes.

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equivalencias – 971

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Dividir un triángulo, ABC, en dos partes equivalentes mediante una recta paralela a uno de sus lados, AB

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SOLUCIÓN

1 – Dividir uno de los lados, BC, contiguo al que se le hará la paralela, en dos partes iguales mediante una mediatriz.

2 – Con centro en el el punto medio de ese lado, X, y radio hasta los extremos, B o C, se traza una semicircunferencia.

3 – Prolongar la mediatriz hasta cortar a la semicircunferencia, punto Y.

4 – Con centro en el vértice, C, que no pertenece al lado cuya dirección dividirá al triángulo, y radio hasta Y se traza un arco hasta el lado BC.

5 – Por el punto de corte del arco con ese lado, D, se dibuja una paralela al lado AB.

6 – Esta última cortará al otro lado en un punto E.

7 – El segmento DE divide el triángulo en dos partes equivalentes, CDE y ABDE.

FUNDAMENTO:

CY² = CX · CB; CX = CB/2; CD = CY

Por el teorema del cateto CY² = CD² = CX·CB = (CB/2)·CB = CB²/2 ; 2·CD² = CB²

En los triángulos semejantes ABC y EDC se cumple que:
CN/CS = AB/ED = CB/CD, de donde (CN · AB) / (CS · ED) = 2·CD² / CD² = 2

Así que CN · AB = 2 · CS · ED y dividiendo todo por 2 queda (CN · AB) / 2 = 2 · (CS · ED/2)

Esta última expresión nos dice que el área del triángulo ABC, que es (CN · AB) / 2, es doble que el triángulo buscado CED, que es (CS · ED/2).

 

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equivalencias – 970

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Dado un polígono, ABCDEF, de seis lados (hexágono irregular) hallar un triángulo equivalente.

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SOLUCIÓN

1 – Unir los extremos, B y D, de dos lados contiguos del hexágono, BC y CD.

2 – Hacer una paralela por el vértice común, C.

3 – Prolongar un lado, AB, contiguo a los que se unió hasta cortar a la paralela anterior, punto X.

4 – Unir todos los vértices menos el común, C, a los lados que se unieron. El pentágono equivalente es AXDEF.

5 – Unir los extremos, A y E, de dos lados contiguos del pentágono, AF y EF.

6 – Hacer una paralela por el vértice común, F.

7 – Prolongar un lado, AB, contiguo a los que se unió hasta cortar a la paralela anterior, punto Y.

8 – Unir todos los vértices menos el común, F, a los lados que se unieron. El cuadrilátero equivalente es YXDE.

9 – Unir los extremos, X y E, de dos lados contiguos del cuadrilátero, XD y DE.

10 – Hacer una paralela por el vértice común, D.

11 – Prolongar un lado, YX, contiguo a los que se unió hasta cortar a la paralela anterior, punto Z.

12 – Unir todos los vértices menos el común, D, a los lados que se unieron. El triángulo equivalente es YZE.

 

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equivalencias – 969

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Polígono equivalente a otro, ABCD, con un lado menos.

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SOLUCIÓN

1 – Unir los extremos, B y D, de dos lados contiguos, BC y CD.

2 – Hacer una paralela a la unión anterior, BD, por el vértice común, C.

3 – Prolongar uno de los lados, AB, contiguo a uno de los que se unió hasta cortar a la paralela, punto E.

4 – Unir todos los vértices menos el común, C, a los dos lados que se unió. El resultado, AED, es un polígono con un lado menos y la misma área.

 

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equivalencias – 968

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Cuadrado equivalente a un polígono irregular cualquiera.

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SOLUCIÓN

1 – Ir reduciendo el polígono dado a otro equivalente con un lado menos. Esto se hará tantas veces como haga falta hasta que quede un triángulo. Este procedimiento lo puedes ver en estos enlaces :

a – Polígono equivalente a otro con un lado menos

b – Triángulo equivalente a un hexágono irregular

2 – Una vez obtenido un triángulo se halla directamente el cuadrado equivalente al triángulo, mediante una media proporcional, como puedes ver en el siguiente enlace :

a – Hallar un cuadrado equivalente a un triángulo

 

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equivalencias – 967