Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 991

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Nos dan los focos de una elipse (F1 y F2) y una recta tangente a la misma (t). Nos piden hallar el punto de tangencia de la recta con la elipse y calcular los ejes de la elipse.

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SOLUCIÓN

1 – Unes los dos focos y ya tienes la distancia focal y la recta sobre la que está el eje mayor.
2 – Haces el simétrico de uno de los focos respecto de la recta tangente.
3 – Unes el simétrico del foco con el otro foco, y la longitud de ese segmento es el valor del eje mayor; además donde corte a la recta tangente es el punto de contacto entre la elipse y su tangente.
4 – Lleva la medida del eje mayor sobre la unión delos focos y a partir de su centro.

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Nos dan la recta donde se encuentra el eje mayor ( AC ), un Foco ( F ), una tangente ( BC ) y la magnitud b = 25 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Halla el simétrico, s1, del foco dado, F1, respecto de la recta tangente.

2 – Por F1 levantar una perpendicular a la recta sobre la que está el eje mayor y llevar sobre ella la medida del eje menor, 2b, dando s2.
3 – Dibujar la mediatriz entre s1-s2, y donde corte a la recta sobre la que está el eje mayor es el segundo foco, F2
4 – Si se une cualquiera de los simétricos, s1 o s2, con el segundo foco, F2, conseguimos lo que mide el eje mayor, 2a

Fundamento :

a – Los simétricos del foco respecto de una tangente están sobre la circunferencia focal. Al hallar s1 se ha determinado un punto de la circunferencia focal.

b – Existen cuatro tangentes que son paralelas a los ejes principales de la elipse y pasan por los extremos de los ejes. Estas tangentes están separadas de los ejes una distancia igual a los semiejes principales.

c – Luego tenemos una segunda tangente, aunque no esté dibujada, que sería una paralela al eje mayor a una distancia la del semieje menor. Si a esta tangente le aplicamos la primera propiedad tendremos un segundo punto, s2, de la circunferencia focal.

d – En la mediatriz de dos puntos de una circunferencia está su centro. Como tenemos dos puntos de la circunferencia focal en su mediatriz está el foco que es su centro.

e – El ejercicio también se podría haber resuelto trabajando con los pies de las perpendiculares a las tangentes, que están sobre la circunferencia principal, y con ellos conseguir el centro de la elipse.

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ELIPSES-990

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Elipse conocido un foco, F, una tangente, T, un punto de la curva, P, y la longitud del eje mayor, 2a

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, s, del foco, F, respecto de la tangente, T.

2 – Con centro en el punto dado, P, y radio, 2a – PF, la diferencia entre la longitud del eje mayor, 2a, y la distancia del punto dado al foco, PF, se traza una circunferencia.

3 – Con centro en el simétrico del foco, s, y radio la longitud del eje mayor hacer una segunda circunferencia.

4 – Donde se corten ambas curvas son las posibles soluciones, F’ y F», para el segundo foco. Yo solo he dibujado una de ellas.

5 – Conocidas la distancia focal, F-F’, y la longitud del eje mayor, 2a, se determina la elipse.

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Hallar una elipse dada la circunferencia principal y dos tangentes

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SOLUCIÓN

1 – Por donde las tangentes tocan a la circunferencia principal (son cuatro puntos) se dibujan rectas perpendiculares a las tangentes, estas se cortarán en los focos.

2 – Uniendo los dos focos entre sí, donde corte a la circunferencia principal es el eje mayor.

3 – Una vez conocida la distancia focal 2c (de foco a foco) y la medida del eje mayor 2a (el diámetro de la circunferencia principal), obtén el eje menor con la relación a² = b² + c²

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 986

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De una elipse se conocen dos tangentes y un foco, así como el punto de tangencia con una de ellas. Hallar los ejes y el otro foco.

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SOLUCIÓN

1 – Halla los simétricos del foco respecto de las dos tangentes.
2 – Une los dos puntos simétricos y determina su mediatriz.
3 – Une el simétrico del foco con el punto de tangencia (utiliza el simétrico respecto de la tangente en la que está el punto de tangencia).
4 – Donde esta última corte a la mediatriz de los simétricos es el segundo foco.
5 – La distancia que hay entre ese segundo foco y el simétrico del primer foco (en la recta que pasa por el punto de tangencia) es la medida del eje mayor.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 985

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Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco, una tangente t1 y otra tangente t2 con su punto de contacto T2

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SOLUCIÓN

1 – Haz el simétrico del foco respecto de las dos tangentes.
2 – Halla la mediatriz del segmento que resulta de unir los dos simétricos.
3 – Une el simétrico del foco respecto de la recta en la que está el punto de tangencia, con dicho punto.
4 – Donde esta última corte a la mediatriz es el segundo foco.
5 – La distancia desde cualquiera de los simétricos al segundo foco es el valor del eje mayor.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 984

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Hacer una elipse sabiendo los siguientes datos: un foco, un punto de la elipse y las dos rectas tangentes.

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja los simétricos del foco dado respecto de las dos tangentes.
2 – Con centro en el punto dado y radio hasta el foco conocido se hace una circunferencia.
3 – Se trata de determinar la circunferencia que es tangente a esa última circunferencia y que pase por los dos puntos simétricos del foco.
4 – La circunferencia determinada es la circunferencia focal. Con lo que gracias a ella ya se tienen dos datos más :

a) El segundo foco (el centro de la circunferencia focal)
b) La longitud del eje mayor (el radio de la circunferencia focal).
5 – El resto imagino que ya lo sabes.

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De una elipse se conocen dos tangentes y un foco, así como el punto de tangencia con una de ellas. Hallar los ejes y el otro foco.

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SOLUCIÓN

1 – Halla los simétricos del foco respecto de las dos tangentes.

2 – Une los dos puntos simétricos y determina su mediatriz.

3 – Une el simétrico del foco con el punto de tangencia (utiliza el simétrico respecto de la tangente en la que está el punto de tangencia).

4 – Donde esta última corte a la mediatriz de los simétricos es el segundo foco.

5 – La distancia que hay entre ese segundo foco y el simétrico del primer foco (en la recta que pasa por el punto de tangencia) es la medida del eje mayor.

 

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 982

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Elipse conocidas dos tangentes, t1 y t2, un foco, F1, y la distancia focal

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SOLUCIÓN

1 – Hallar los simétricos, s1 y s2, del foco, F1, respecto de las dos tangentes, t1 y t2

2 – Determinar la mediatriz de a distancia que hay entre los dos focos. En esa mediatriz está el segundo foco
3 – Con centro en el foco, F1, y radio la distancia focal, 2c, se traza un arco y donde corte a la mediatriz de los simétricos es el segundo foco, F2
4 – Uniendo cualquiera de los simétricos, s1 o s2, con el segundo foco, F2, da la medida del eje mayor, 2a
5 – Uniendo los dos focos se obtiene la recta sobre la que está el eje mayor. Con la medida anterior determinar los vértices de la elipse, 1 y 2
6 – Hacer un arco con centro en el de la elipse y radio el semieje mayor. Donde corte a la perpendicular que pasa por el centro son los extremos del eje menor, 3 y 4
7 – los puntos de tangencia se determinan uniendo los simétricos del primer foco, s1 y s2, con el segundo foco, F2. Donde corten a las tangentes, T1 y T2, son los puntos de tangencia

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 981

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Hallar una elipse conociendo dos tangentes paralelas, t1 y t2, sus puntos de tangencia, T1 y T2, y la dirección del eje mayor

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SOLUCIÓN

1 – Unir T1 y T2

2 – Determinar su punto medio, O
3 – Por O dibujar el eje mayor, paralelo a la dirección dada
4 – Prolongar el eje mayor hasta cortar a una de las tangentes, punto E
5 – Trazar una semicircunferencia de centro el punto medio de O-E y radio la mitad de O-E
6 – Por el punto de tangencia, T1, (el que esté sobre la tangente en la que esté E) se dibuja una perpendicular al eje mayor hasta cortar a la semicircunferencia, punto F
7 – Unir O con F y esa es la medida del semieje mayor, a (también puede ser el semieje menor, depende de los datos). Situar dicha medida sobre el mayor para determinar los vértices de la elipse.
8 – Repetir todo el proceso con el eje menor (que es perpendicular al mayor). Es decir, prolongar el eje menor hasta la tangente, punto G. Semicircunferencia de diámetro O-G y centro en su punto medio. Perpendicular por T1 al eje menor hasta cortar a la semicircunferencia, punto H. Desde O hasta H es la medida del semieje menor, b.

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