Mes: octubre 2014

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Dibujar una elipse de la que se conocen dos tangentes paralelas entre sí, t1 y t2, el punto de tangencia una de ellas, T1, la recta R es la que está el centro de la elipse y la magnitud del eje mayor, 2a.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar una recta cualquiera que corte a las dos tangentes dadas (puntos X e Y).

2 – Determinar su punto medio y por él trazar una paralela a una de las tangentes.

3 – Donde la paralela corte a R es el centro de la elipse, O.

4 – Unir el punto de tangencia T1 con O y donde corte a la otra tangente es el punto de tangencia T2.

5 – Con centro en O (en realidad este trazado se puede realizar en cualquier sitio) y radio 2a trazar una circunferencia.

6 – Desde O hacer una perpendicular a las tangentes y a partir de O medir la distancia d entre las dos tangentes y dibujar unas paralelas a ellas.

7 – Las paralelas cortarán a la circunferencia en sendos puntos, 1′ y 2′.

8 – Unir O con 1′ y 2′ y trazar paralelas a ellas por T1 y T2, donde se corten es el foco, F1 de la elipse.

9 – Hallar su simétrico, F2, respecto de O. Trazar la elipse conociendo 2a y 2c.

 

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Dada una elipse hallar su centro y los ejes principales

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SOLUCIÓN

1 – Trazar una cuerda, R, cualquiera.

2 – Dibujar una segunda cuerda, S, paralela a la primera en cualquier lugar.

3 – Unir los puntos medios de las cuerdas y prolongar este segmento hasta formar una cuerda, M.

4 – El punto medio de esta cuerda, O, es el centro de la elipse.

5 – Con centro en el de la elipse, O, y radio hasta uno de los extremos de una de las cuerdas, punto 1, se traza una circunferencia.

6 – Unir dos de los puntos de corte de la circunferencia con la elipse, puntos 1 y 2.

7 – La paralela a esa unión, 1-2, por el centro de la elipse, O, forma uno de los ejes de la elipse.

8 – El otro eje se obtiene mediante una perpendicular al primer eje o bien uniendo otros dos puntos de corte de la circunferencia y la elipse.

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ELIPSES – 979

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 978

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Dada una elipse hallar el diámetro que pasa por un punto, J

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SOLUCIÓN

1 – Trazar una cuerda, R, cualquiera.

2 – Dibujar una segunda cuerda, S, paralela a la primera en cualquier lugar.
3 – Unir los puntos medios de las cuerdas y prolongar este segmento hasta formar una cuerda, M.
4 – El punto medio de esta cuerda, O, es el centro de la elipse.
5 – Con centro en el de la elipse, O, y radio hasta uno de los extremos de una de las cuerdas, punto 1, se traza una circunferencia.
6 – Unir dos de los puntos de corte de la circunferencia con la elipse, puntos 1 y 2.
7 – La paralela a esa unión, 1-2, por el centro de la elipse, O, forma uno de los ejes de la elipse.
8 – El otro eje se obtiene mediante una perpendicular al primer eje o bien uniendo otros dos puntos de corte de la circunferencia y la elipse.
9 – Unir el punto J con el centro, O. Este es el diámetro, LM, buscado.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 977

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Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco, F1, una tangente, t, con su punto de contacto, T, y la magnitud del eje mayor, 2a, pero el simétrico del foco respecto de la tangente, s, sale fuera de los límites del papel

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SOLUCIÓN

1 – Unir el foco, F1, con el punto de tangencia, T.

2 – Dibujar una recta que partiendo del punto de tangencia, T, forme el mismo ángulo que la anterior respecto de la tangente. Otra forma de decirlo es, trazar la simétrica de la recta que une el foco y el punto de tangencia respecto de una perpendicular a la tangente desde el punto de tangencia.
3 – A partir del punto de tangencia, T, mide una distancia igual a la diferencia de eje mayor menos la distancia entre el foco y el punto de tangencia, z = 2a – (F1-T). El extremo es el segundo foco, F2.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 976

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Elipse conocido el eje mayor y una tangente

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SOLUCIÓN

1 – Determinar el centro de la elipse, que es el punto medio del eje mayor.
2 – Con centro en el de la elipse y radio la mitad del eje mayor se dibuja una circunferencia (principal).
3 – Desde donde la circunferencia corta a la tangente se trazan sendas perpendiculares a la tangente.
4 – Donde las perpendiculares toquen al eje mayor son los focos.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 975

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Cómo realizar circunferencias en perspectiva caballera, mediante el compás.

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SOLUCIÓN

Circunferencias en perspectiva caballera. Elipses sustituidas por un óvalo.
1 – Este procedimiento solo es aplicable cuando no se emplee el coeficiente de reducción. Cuando se utilice el coeficiente de reducción la proyección caballera de una circunferencia (en los planos XY o YZ) es una elipse que no se puede sustituir por este óvalo.
2 – Por el centro O trazar dos paralelas a los ejes deseados ( XY o YZ ), AB y CD. Ambos con la medida del diámetro en verdadera magnitud.

3 – Por sus extremos, A-B-C-D, se dibujan paralelas a los ejes, formando la "caja" o romboide que lo envuelve. En realidad esto no hace falta para nada, pero en todos lados se cuenta así y yo no voy a ser menos.
4 – Por los extremos, A-B-C-D, se trazan perpendiculares a los ejes. Es decir, por A y B una perpendicular a CD y por C y D una perpendicular a AB.
5 – Donde se corten, O1-O2-O3-O4, son los cuatro centros del óvalo que sustituirá a la elipse.
6 – Con centro en O1 y O2 y radio hasta los extremos de los ejes más próximos se trazan dos de los cuartos del óvalo (en color magenta).
7 – Con centro en O3 y O4 y radio hasta los extremos de los ejes más alejados se trazan los otros dos cuartos del óvalo (en color verde).

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 974

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Dado el lado AB de un triángulo equilátero y un foco de la elipse, hallar la elipse tangente a los tres lados y los puntos de tangencia sin construir la elipse y determinar los ejes.

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SOLUCIÓN

1 – Se dibujan los simétricos de foco dado, F1, respecto de los tres lados del triángulo, S1, S2 y S3

2 – Se unen los simétricos del foco y se hallan sus mediatrices
3 – Estas se cortan en el segundo foco, F2
4 – Los puntos de tangencia de la elipse con los lados del triángulo equilátero, están donde las rectas que unen a los simétricos de los focos unidos con el segundo foco cortan a los lados del triángulo equilátero, t1, t2 y t3
5 – La distancia entre cualquiera de los simétricos y el otro foco es la medida del eje mayor, 2a
6 – La distancia entre los dos focos, F1-F2, es la distancia focal, 2c
7 – Con centro en un foco, F2, y radio el semieje mayor, a, se traza un arco. Donde este último corte a la perpendicular al eje mayor por su punto medio, da la medida del eje menor de la elipse
8 – Haciendo los simétricos de los puntos de tangencia, t1, t2 y t3, respecto de los ejes o el centro de la elipse, se obtienen más puntos para determinarla

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 973

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Elipse conocido un foco y tres tangentes

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SOLUCIÓN

1 – Haz el simétrico del foco respecto de las tres tangentes.
2 – Une dos de los simétricos y determinas la mediatriz de ese segmento.
3 – Repite con otros dos y haz una nueva mediatriz.
4 – Donde las dos mediatrices se corten es el otro foco.
5 – Une cualquier simétrico con el segundo foco y esa es la longitud del eje mayor.
6 – Donde las uniones de los simétricos con el segundo foco corten a las rectas tangentes son los puntos de tangencia.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 972

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Hallar una cónica conocida tres tangentes (m, n y q) y los puntos de tangencia en dos de ellas (A y B)

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SOLUCIÓN

1 – La intersección de dos de las tangentes, m y n, da el centro de homología, O

2 – Se hace una circunferencia cualquiera, pero que sea tangente a esas dos tangentes
3 – Los puntos de tangencia de la circunferencia con las dos tangentes (puntos A’ y B’) son los homólogos de los puntos de tangencia dados, A y B
4 – El punto de corte de la recta que une los dos puntos dados, A y B, con la tercera tangente, q, se une con el centro de homología, O
5 – Donde esta última corte a la recta de los puntos de tangencia de la circunferencia, A’ y B’, es el homólogo Q’
6 – Desde este último punto, Q’, se traza una tangente, q’, a la circunferencia. Esta es la homóloga de la tangente dada q
7 – Se hallan los puntos de corte de las rectas homólogas, es decir, el punto M intersección de AB con A’B’, y el punto N intersección de q con q’. Uniendo M y N se consigue el eje de la homología.
8 – Definido el centro de la homología, O, el eje de la homología, MN, y un par de parejas de puntos homólogos, A-A’ y B-B’, se halla la homóloga de la circunferencia y da la cónica buscada

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Elipse conocido el eje mayor, AB, y un punto de ella, P

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SOLUCIÓN

OPCIÓN A

a1 – Determina el punto medio del eje mayor, o.

a2 – Con centro en O y radio la mitad del eje mayor trazar una circunferencia.

a3 – Por el punto dado, P, levanta una perpendicular al eje mayor, y donde corte a la circunferencia es P’.

a4 – Unir P’ con el centro O.

a5 – Por P dibujar una paralela al eje mayor. Donde corte a OP’ es el punto X.

a6 – Con centro en O y radio OX dibujar una circunferencia.

a7 – Desde O levantar una perpendicular al eje mayor AB. Donde corte a la segunda circunferencia es el semieje menor, OC.

a8 – Conocidos los dos ejes dibujar la elipse.

OPCIÓN B

b1 – Determina el punto medio del eje mayor, O.

b2 – Con centro en O y radio la mitad del eje mayor traza una circunferencia.
b3 – Por el punto dado, P, levanta una perpendicular al eje mayor, y donde corte a la circunferencia es P’.
b4 – Haz otra perpendicular al eje mayor por O, dando el punto C’ en la circunferencia.
b5 – Une C’ con P’ hasta cortar al eje mayor, punto X.
b6 – Unir X con P y donde corte a la perpendicular que se trazó por O es C.
b7 – La distancia OC es el semieje menor.
b8 – Ya se conocen el eje mayor y el menor, a partir de ellos dibujar el resto de la elipse.

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ELIPSES – 971