Mes: octubre 2014

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Dibujar un heptágono regular conocida su apotema.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un heptágono cualquiera.

2 – Marcar su apotema (distancia del centro al punto medio de un lado). Llamaré O al centro, M’ al punto medio de un lado y A’ el vértice.

3 – Colocar la apotema obtenida el valor de la apotema dada en el enunciado.

4 – Por el extremo de la apotema dada se dibuja una paralela al lado del heptágono dibujado.

5 – Unir el centro del heptágono con los vértices del primer heptágono.

6 – Donde corte a la paralela da uno de los lados del heptágono buscado.

7 – Con centro en el del heptágono y radio hasta los vértices obtenidos se dibuja una circunferencia, siendo los demás vértices donde corten a la unión del centro con los otros vértices del primer heptágono.

 

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heptagonos – 999

Heptagonos ejercicios resueltos de heptagonos – 998

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Dibujar un heptágono (polígono de 7 lados) conocido el valor del lado

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SOLUCIÓN

1 – Colocas el primer lado, AB

2 – Con centro en A y radio el lado se hace un arco. Lo mismo se repite con centro en B. Ambos se cortan en C
3 – Unir A con C
4 – Hacer la bisectriz del ángulo CAB
5 – Por B se levanta una perpendicular a AB
6 – Donde esta última corte a la bisectriz anterior es el punto D
7 – Con centro en A y radio AD se hace un arco
8 – Donde el arco corte a la mediatriz de AB es el centro del heptágono, O
9 – Con centro en O y radio hasta A o B se hace la circunferencia circunscrita
10 – Con radio el lado del heptágono se trazan arcos sobre la circunferencia dando los vértices del heptágono

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Trazado de una elipse conocido el eje menor, CD, y una recta tangente a ella, T.

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SOLUCIÓN

1 – Por el punto medio de CD traza una perpendicular.

 

2 – Con centro en el punto medio de CD (punto O) y diámetro CD se dibuja una circunferencia.

3 – Se prolonga CD hasta cortar a la tangente T, en X.

4 – Desde X se traza una tangente a la circunferencia, siendo el punto de tangencia m’.

5 – Dibujar una perpendicular a CD por m’ y donde corte a la tangente es el punto de tangencia, m.

6 – Unir donde la perpendicular a CD por su centro corta a la circunferencia (punto n’) con m’.

7 – Donde corte a CD es el punto Y.

8 – Unir Y con m y donde corte a la perpendicular a CD por su centro es el punto n.

9 – El punto n es el vértice de la elipse, es decir, O-N es el eje mayor.

Fundamento:

Se basa en plantear una afinidad.

La circunferencia de diámetro CD es afín a la elipse y el eje de afinidad es CD.

Al prolongar T hasta CD se tiene un punto de la recta afín, que debe ser tangente a la circunferencia. El punto de tangencia de esta última debe ser afín del de la elipse.

Se vuelve a plantear una afinidad entre el punto donde el eje mayor corta a la circunferencia y la pareja de puntos afines tangentes ya hallados, para localizar el vértice de la elipse.

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ELIPSES – 999

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 998

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Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco, una tangente t1 y las magnitudes del eje mayor y menor

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SOLUCIÓN

1. Haz el simétrico del foco respecto de la recta tangente.
2. Con centro en el simétrico y radio el del eje mayor dibuja un arco.
3. Construye un triángulo rectángulo con hipotenusa igual al eje mayor y un cateto de medida la del eje menor. El otro cateto será la medida de la distancia focal.
4. Traza un arco con radio la distancia focal y centro el foco dado.
5. Donde se corten los dos arcos es el segundo foco.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 997

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Trazado de una elipse conocidos dos diámetros conjugados, AB y CD, mediante el método de los haces proyectivos.

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SOLUCIÓN

1 – Por los extremos de los diámetros conjugados, A-B-C-D, trazar paralelas a los diámetros formando un romboide (en verde)

2 – Dividir uno de los semidiámetros, OD, en un número cualquiera de partes
3 – Dividir uno de los semilados del romboide, DX, en un número de partes igual al del semidiámetro
4 – Numerar las divisiones (1-2-3 y 1′-2′-3′) desde el punto común de las dos rectas, D
5 – Unir el extremo, B, del diámetro conjugado que no se ha dividido más cercano al semilado que se ha dividido, DX, con sus divisiones, B-1, B-2 y B-3
6 – Unir el otro extremo del diámetro conjugado, A, con las divisiones del semidiámetro, A-1′, A-2′ y A-3′
7 – Donde se encuentren los rayos del mismo número, 1 con 1′, 2 con 2′ y 3 con 3′, son los puntos de la elipse de ese cuarto
8 – Repetir el proceso con los otros cuartos y unir los puntos a mano alzada

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 996

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Dado un plano que secciona a un cono, determinar el tipo de curva cónica que genera.

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SOLUCIÓN

Según sea el ángulo que forma el plano con el eje del cono (ángulo beta) y el semiángulo del cono (ángulo alfa), el que forma el eje con las generatrices, se sabe que tipo de curva es :

a) Si el ángulo del plano (beta) es mayor que el del cono (alfa), la curva es una elipse

b) Si el ángulo del plano (beta) es menor que el del cono (alfa), la curva es una hipérbola

c) Si el ángulo del plano (beta) es igual que el del cono (alfa), la curva es una parábola

d) Si el ángulo del plano (beta) es recto respecto del eje del cono, la curva es una circunferencia

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Trazar una elipse dado uno de los focos, dos puntos de la curva y una recta tangente a la elipse.

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en cada uno de los dos puntos dados y radios hasta el foco dado, se trazan sendas circunferencias.

2 – Se halla el simétrico del foco dado respecto de la tangente dada (punto s).

3 – Se determina el centro de la circunferencia tangente a las dos realizadas y que pase por el simétrico del foco.

4 – El centro de la circunferencia hallada, es el segundo foco.

5 – La distancia entre el simétrico del foco dado y el foco hallado es el eje mayor, 2a.

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ELIPSES – 994

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 993

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En un plano inclinado hay dos ganchos P y Q fijos. De ellos se cuelga una cuerda de 450 cm de la que cuelga un objeto pesado que puede deslizar sobre la cuerda. Al adoptar la posición de equilibrio adopta la forma dada en el esquema superior. Se pide hallar la posición de equilibrio

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SOLUCIÓN

Aunque yo he dibujado la elipse, esta no es necesaria :
1 – La distancia entre P y Q es la distancia focal

2 – El eje mayor de la elipse es la longitud de la cuerda ( 4’5 m )
3 – Con centro en P y radio el eje mayor se hace un arco ( 2a )
4 – Por Q se baja una vertical hasta cortar al arco ( punto X )
5 – Se halla la mediatriz de XQ
6 – Se une X con P
7 – Donde esta última corte a la mediatriz de XQ es el punto buscado, T

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Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco, una tangente con su punto de contacto y la magnitud del eje mayor

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SOLUCIÓN

1 – Haz el simétrico del foco respecto de la tangente.

2 – Unir el simétrico con el punto de contacto.

3 – A partir del simétrico y sobre la recta anterior lleva la medida del eje mayor, y ya tienes el segundo foco.

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