Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 970

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¿ Cómo se hace una elipse conociendo el eje mayor y un foco ?

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SOLUCIÓN

Recuerdo como son las medidas en una elipse en el siguiente gráfico :

Luego según lo que se dice se conoce el eje mayor (2a) y un foco. Para el otro foco, determina el punto medio del eje mayor y lleva la semidistancia focal (c) hacia el otro lado y ya tienes el segundo foco.
Para determinar el semieje menor (b), sigue el proceso siguiente :

Traza un par de líneas perpendiculares.
Coloca sobre una de ellas el valor de la semidistancia focal (c).
Con centro en un extremo y radio la semidistancia mayor (a) trazas un arco.
Donde el arco corte a la otra perpendicular es el eje menor (b).
Esto lo puedes realizar sobre los mismos ejes de la elipse.
El resto es el trazado de la elipse mediante cualquiera de los procedimientos.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 969

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Construir una elipse dado un foco, un punto y un vértice

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SOLUCIÓN

1 – Uniendo el foco con el vértice se dibuja la recta sobre la que se apoya el eje mayor.
2 – Se hace el simétrico del punto respecto del eje mayor.
A partir de aquí hay tres posibles formas de resolverlo.

Opción A :

3 – Se unen los puntos simétricos con el foco.
4 – Se dibujan las circunferencias de centro en el punto medio de estos segmentos y diámetros su longitud.
5 – Si se dibuja la circunferencia que es tangente a las dos circunferencias y que pasa por el vértice de la elipse se determina la circunferencia principal. Siendo su centro el centro de la elipse.

Opción B :

6 – Existe otra variante de este mismo sistema, que haciendo una tercera
circunferencia con centro en el punto medio de la unión del foco con el vértice y diámetro esa longitud. Al realizar la circunferencia tangente a las tres da la circunferencia principal.

Opción C :

7 – Se hacen tres circunferencias con centro en los dos puntos simétricos y en el vértice y radio hasta el foco.
8 – Si se dibuja la circunferencia que es tangente a esas tres circunferencias se obtiene la circunferencia focal. Siendo su centro el segundo foco.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 968

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Dados dos focos y un punto de la curva hallar una elipse

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SOLUCIÓN

1 – Uniendo los dos focos se obtiene la distancia focal, 2c.
2 – Unir los dos focos con el punto dado, y sumando los dos segmentos se obtiene el valor del eje mayor, 2a.
3 – Hacer la mediatriz de la distancia focal.
4 – Con centro en uno de los focos y radio el semieje (la mitad) mayor se hace un arco que corte a la mediatriz anterior.
5 – Desde el punto medio de la distancia focal hasta donde corta el arco a la mediatriz es el semieje menor, b.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 967

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Representar una elipse definida por sus focos F y F’ (situados horizontalmente y de izquierda a derecha) que distan entre sí 90 mm y por un punto P situado a 33 mm por debajo y 20 mm a la izquierda de F’.
Se pide determinar sus ejes y dibujar la elipse por puntos.

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SOLUCIÓN

Une el punto P con los dos focos y sumando esas dos distancias tienes el valor del eje mayor.
Forma un triángulo rectángulo en él con un cateto igual al valor de la mitad de la distancia entre los dos focos e hipotenusa igual a la mitad del eje mayor.
El otro cateto es el semieje menor. Con las tres medidas aplica el método del trazado por puntos.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 966

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Del triángulo ABC se conocen los siguientes datos, AB = 80 mm, BC = 40 mm y el ángulo C = 22º 30′. Dibuja la elipse que pasa por C siendo A y B los focos.

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SOLUCIÓN

1 – Dibuja el triángulo ABC. Se puede hacer de dos formas, según tus conocimientos.

1a – 1ª forma. Sitúa el lado AB. Luego haz el arco capaz del ángulo C. Con centro en B y radio BC haz un arco que corte al arco capaz. El punto de corte será C.
1b – 2ª forma. Dibuja el ángulo C. A partir de su vértice y sobre uno de sus lados lleva la longitud de BC. El extremo de esa longitud es B. Con centro en B y radio AB haz un arco. Donde este corte al otro lado del ángulo C es el vértice A.

2 – Suma los segmentos AC y BC, este es el valor del eje mayor.
3 – El punto medio de AB es el centro de la elipse. Lleva la mitad del eje mayor hacia cada lado y tienes los vértices de la elipse.
4 – Por el punto medio de AB levanta una perpendicular.
5 – Con centro en A (o B) traza un arco igual a la mitad del eje mayor.
6 – Donde el arco corte a la perpendicular anterior (dos puntos) es el eje menor.
7 – Ya tienes situado los focos (A y B), el eje mayor y el menor, solo tienes que utilizar el trazado por puntos de la elipse que seguro conoceras.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 965

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Contruir una elipse de la que se conoce un vértice (A), un Foco (F) y el valor de la excentricidad e = 3/5

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SOLUCIÓN

1 – Trazas un triángulo rectángulo en el que el cateto horizontal mida una cantidad proporcional al numerador de la excentricidad (en mi caso 30 mm) y la hipotenusa una cantidad proporcional al denominador de la excentricidad (en mi caso 50 mm). Siempre las dos cantidades deben ir multiplicadas o divididas por la misma razón ( 3/5 = 30/50 = 6/10 = 15/25 = etc.)

2 – Sobre el cateto horizontal llevas la medida utilizada para la hipotenusa para determinar su diferencia (en mi dibujo la cota 50 – 30)
3 – Unes el extremo de esa diferencia de medidas con el vértice superior del triángulo
4 – Llevas la distancia Z igual a la distancia que hay entre el foco y el vértice que te dan
5 -Haciendo paralela a la hipotenusa del segundo triángulo por el extremo de Z da un nuevo punto sobre el cateto vertical
6 -Por ese punto trazar una paralela a la hipotenusa del primer triángulo
7 – Los lados del nuevo triángulo que se forma son las magnitudes del semieje mayor (a), semieje menor (b) y semidistancia focal (c).

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El punto F es uno de los focos de una elipse, P un punto de la misma y O su centro.
Hallar, sin trazar la curva, los puntos de intersección de la recta r con la elipse.

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SOLUCIÓN

1 – Une el foco con el centro y lleva esa distancia hacia el otro lado y ese es el segundo foco.

2 – Uniendo los dos focos se obtiene la distancia focal, 2c.

3 – Unir los dos focos con el punto dado, y sumando los dos segmentos se obtiene el valor del eje mayor, 2a.

4 – Hacer la mediatriz de la distancia focal.

5 – Con centro en uno de los focos y radio el semieje mayor se hace un arco que corte a la mediatriz anterior.

6 – Desde el punto medio de la distancia focal hasta donde corta el arco a la mediatriz es el semieje menor, b.

7 – Realizar el trazado por puntos, pulsa aquí para ir al vídeo.

 

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ELIPSES – 964

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 963

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Trazar una elipse dado uno de los focos, dos puntos de la curva y las medidas del semieje menor, b, y de la semidistancia focal, c.

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SOLUCIÓN

1 – Construye un triángulo rectángulo, en el que un cateto sea la medida b y el otro la medida c

2 – La hipotenusa de éste triángulo es la medida a
3 – Mide la distancia que hay desde el foco dado hasta uno de los puntos, X, y réstasela a 2a y desde ese punto trazas un arco con esa medida
4 – Repites el mismo proceso con el otro punto, medida Y, y donde se corten los dos arcos es el segundo foco de la elipse

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 962

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Método para dibujar una cónica dados 5 puntos de la misma

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SOLUCIÓN

1 – Los puntos dados son A, B, C, D y E.

2 – Tracemos una circunferencia c’ que pase por E-D, teniendo por diámetro la cuerda E-D.
3 – La cuerda común E-D será el eje de homología, y los puntos E y D dobles, o sea confundidos con sus homólogos E’ y D’.
4 – Prolongada la cuerda B-C hasta su punto del eje P-P’.
5 – Hallaremos la polar de este punto doble en las dos cónicas. La polar p’ en la circunferencia se obtendrá uniendo los puntos de contacto de las tangentes t’1 y t’2 trazadas desde P, y será la cuerda t’-a’-2′. La polar p de P con respecto a la cónica c que se trata de hallar, pasará por a-a’, que es un punto doble por ser del eje y, por definición, por el punto X conjugado armónico de P con respecto a B y C, que obtendremos mediante un sencillo cuadrilátero completo, no representado en la figura para no complicarla.
6 – De la misma manera, prolongada la cuerda B-A hasta su punto de encuentro R-R’ con el eje de homología, hallaremos de la misma forma las polares r y r’ del punto doble R-R’.
El punto Y es conjugado armónico de R con respecto de A y B.
7 – El punto de encuentro M de las polares p y r tendrá como homólogo el punto común de p’ y r’, que será el punto M’8 (en el gráfico ese 8 es el símbolo de infinito), por ser paralelas p’ y r’. Por tanto, el centro O se hallará sobre la recta M-M’8.
8 – Del sistema de homología sólo tenemos ahora el eje y un par de puntos homólogos M-M’8. Necesitamos otro par de puntos. Para obtenerlo, uniremos M con C, por ejemplo, y hallaremos C’, situado en la circunferencia y sobre la recta b’-M’8, C’, unido con C, nos da también la dirección del centro de homología O, que queda así definido.
9 – El haber elegido E’-D’ como diámetro de la circunferencia arbitraria c’, nos trae como particularidad el que, siendo el punto M punto homólogo de M’8, pertenecerá a la recta límite del sistema cónica, bastando para que quede determinada mediante sus ejes, terminar de resolver el problema, puesto que sabemos que la cónica transformada será una elipse, por ser L’ exterior a la circunferencia c’.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 961

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Cómo obtener los puntos de tangencia entre los contornos aparentes de un tronco de cono y sus bases en una perspectiva.

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SOLUCIÓN

En cualquier sistema si se conoce una elipse (base del cono) y el vértice del cono, los contornos y sus puntos de tangencia en la base se obtienen mediante el método que conoceras de geometría plana de como hallar las tangentes a una elipse desde un punto exterior.
Si no sabes a que método me refiero te lo recuerdo :

Como hacer las tangentes a una elipse desde un punto exterior.
1 – Con centro en el punto y radio hasta uno de los focos se hace una arco.
2 – Con centro en el otro foco y radio el eje mayor, 2a, se hace otro arco.
3 – A los puntos de corte de los dos arcos los llamare A y B.
4 – Unir A con el foco que se utilizo en el apartado primero.
5 – A esa recta se le halla la mediatriz y ya es una de las rectas tangentes.
6 – Se repite lo mismo con el punto B, y se obtiene la otra tangente.
7 – Unir A y B con el foco que se utilizo en el apartado segundo, y donde estas rectas corten a las tangentes son los puntos de tangencia.

Ya se que tienes un tronco de cono pero se trata de que halles el vértice del cono, después aplicas lo comentado a culaquiera de las dos base, o a ambas.

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