Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 960

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Hacer las tangentes a una elipse desde un punto exterior

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SOLUCIÓN

1 – Con centro en el punto y radio hasta uno de los focos se hace una arco.
2 – Con centro en el otro foco y radio el eje mayor, 2a, se hace otro arco.
3 – A los puntos de corte de los dos arcos los llamare A y B.
4 – Unir A con el foco que se utilizo en el apartado primero.
5 – A esa recta se le halla la mediatriz y ya es una de las rectas tangentes.
6 – Se repite lo mismo con el punto B, y se obtiene la otra tangente.
7 – Unir A y B con el foco que se utilizo en el apartado segundo, y donde estas rectas corten a las tangentes son los puntos de tangencia.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 959

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Tangentes a una elipse desde un punto exterior

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un arco de centro el punto dado P y radio hasta uno cualquiera de los dos focos.

2 – Se dibuja otra arco de centro el otro foco y radio la longitud del eje mayor, 2a.
3 – Se localizan los puntos de corte de ambos arcos (puntos 1 y 2).
4 – Dibujar rectas que partan de los puntos de corte de los dos arcos hasta el foco por el que pasa el arco que tiene de centro el punto dado, P.
5 – Las mediatrices de las anteriores rectas son las dos posibles tangentes buscadas.

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Conocida una elipse trazar dos tangentes a la elipse y paralelas entre ellas tal que la distancia que hay de una a la otra sea conocida, d.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la circunferencia focal (centro F1 y radio 2a)

2 – Con centro en cualquier punto, x, de la circunferencia focal hacer un arco de radio el doble de la distancia dada, 2d. Este arco la cortará en el punto Y. En realidad la corta en dos puntos, pero el otro nos dará la solución simétrica de la que muestro en la imagen.
3 – Unir X con Y
4 – Con centro en F1 y radio la distancia focal, 2c, hacer otro arco que corte a XY (punto Z)
5 – Realizar un nuevo arco con centro en F2 y radio ZY (o bien ZX), que cortará a la circunferencia focal en el punto 1
6 – Unir 1 con F2 hasta cortar a la circunferencia focal, punto 2
7 – Las mediatrices de los segmentos 1-F2 y 2-F2 son las tangentes buscadas. Existen otras dos simétricas respecto del eje menor, que no he dibujado.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 957

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Diámetros conjugados de una elipse, por afinidad, conocidos los ejes mayor y menor

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SOLUCIÓN

I – En la circunferencia de radio "a" dibuja dos diámetros perpendiculares entre sí.
2 – Centrate en uno de esos diámetros, después harás lo mismo con el otro. Une el extremo de ese diámetro con donde la prolongación del eje menor corta a la circunferencia de radio "a", hasta que corte al eje mayor.
3 – Donde corta al eje mayor se une con el extremo del eje menor.
4 – Por el extremo del diámetro haces una perpendicular al eje mayor y donde corte a la recta anterior es el extremo del diámetro conjugado buscado.
5 – Une ese extremo con el centro de la elipse y ya tienes uno de los diámetros conjugados.
6 – Repite lo mismo con el otro diámetro perpendicular que se hizo en la circunferencia.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 956

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Dada una elipse cuyos ejes miden 6 y 4 cm, hallar la longitud del diámetro que forma 45º con los ejes. Obténgase igualmente la dirección de su diámetro conjugado.

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SOLUCIÓN

Con el mismo centro de la elipse traza una circunferencia de diámetro el eje mayor.
Llamaré a un extremo del eje menor A y si lo prolongas hasta cortar a la circunferencia, ese será su afín A’.
Elige un punto cualquiera del diámetro que forma 45º (lo llamaré X).
Une X con A hasta cortar al eje mayor.
Ese punto de corte lo unes con A’.
Por X levantas una perpendicular al eje mayor hasta cortar a a línea anterior, ese es X’.
Unir X’ con el centro de la elipse y prolongarla hasta cortar a la circunferencia, ese punto será M’.
Por M’ hacer una perpendicular al eje mayor de la elipse.
Donde corte al diámetro que forma 45º es su extremo, punto M.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 955

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Dada una elipse y un diámetro hallar su conjugado

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una recta paralela al diámetro dado en cualquier sitio.
2 – Hallar el punto medio tanto de la paralela anterior como del diámetro dado.
3 – Unir ambos puntos medios y ya se tiene el diámetro conjugado del dado.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 954

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Dan la directriz de una elipse de excentricidad 3/4. Se conoce también su eje menor (se conoce tanto su posición respecto de la recta directriz como su longitud), y piden que dibujes el otro eje y los focos.

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SOLUCIÓN

1 – Por el punto medio del eje menor se traza una perpendicular, que será el eje mayor.
2 – Se traza otra perpendicular al eje menor desde uno de sus extremos, hasta la recta directriz.
3 – Se divide esta recta en cuatro partes iguales (e = 3/4 = AF/Ad).
4 – Con centro en el extremo del eje menor y radio tres de las cuatro divisiones anteriores se hace un arco que corte al eje mayor, siendo este el foco de la elipse.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 953

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Elipse conocidos los dos diámetros principales.

Método de la tarjeta

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SOLUCIÓN

El método de la tarjeta, también se le conoce como método de la cartulina o de la tira de papel.
Consiste en dibujar tres trazos sobre el borde de una tarjeta (o cartulina o tira de papel). La distancia desde un trazo a los otros dos es igual al semieje mayor y el semieje menor, ambos al mismo lado. Los dos ultimos trazos marcados con los semiejes se colocan siempre apoyados sobre los ejes principales de la elipse siendo el tercer extremo (el que se utilizo como origen para dibujar los otros) puntos por los que pasara la elipse. Al ir moviendo la tarjeta sobre los ejes, dejando siempre apoyada las dos marcas de los semiejes, la marca del origen va definiendo puntos de la elipse.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 952

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Construcción de la elipse conocidos los ejes principales, mediante afinidad doble.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar las circunferencias de radios "a" y "b".

2 – Hacer un diámetro cualquiera (en el gráfico 2-2′ por ejemplo).
3 – Desde 2 y 2′ hacer paralelas a los ejes.
4 – Donde se corten es un punto de la elipse.
5 – Repite con tantos diámetros como puntos desees, uniéndolos a mano alzada. En tu caso solo te piden uno de los cuadrantes.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 951

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¿ Cómo se hace una elipse conociendo el eje mayor y un foco ?

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SOLUCIÓN

Rcuerdo como son las medidas en una elipse en el siguiente gráfico :

Se conoce el eje mayor (2a) y un foco. Para el otro foco, determina el punto medio del eje mayor y lleva la semidistancia focal (c) hacia el otro lado y ya tienes el segundo foco.
<Para determinar el semieje menor (b), sigue el proceso siguiente :

Traza un par de líneas perpendiculares.
Coloca sobre una de ellas el valor de la semidistancia focal (c).
Con centro en un extremo y radio la semidistancia mayor (a) trazas un arco.
Donde el arco corte a la otra perpendicular es el eje menor (b).
Esto lo puedes realizar sobre los mismos ejes de la elipse.
El resto es el trazado de la elipse mediante cualquiera de los procedimientos.

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