Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 950

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Hacer una elipse conocidos dos diámetros conjugados y el ángulo entre ellos.

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SOLUCIÓN

1 – Se sitúan los dos ejes

2 – Con centro en el centro de la elipse y radio hasta el extremo del diámetro mayor, hacer una circunferencia
3 – De nuevo por el centro de la elipse se hace una perpendicular al diámetro mayor hasta cortar a la circunferencia
4 – Unir los puntos donde corte la perpendicular anterior a la circunferencia con los extremos más próximos del diámetro menor
5 – Hacer una perpendicular al diámetro mayor en cualquier sitio
6 – Por donde esa perpendicular corta al diámetro mayor se hace una recta paralela al diámetro menor
7 – Por donde la perpendicular (la segunda) toca a la circunferencia se hacen paralelas a las líneas que unían las perpendiculares (las primeras) con el diámetro menor
8 – Donde esta última corte a la paralela al diámetro menor da dos puntos de la elipse
9 – Repetir desde el apartado (5) con otras perpendiculares en otros sitios para obtener tantos puntos como se deseen

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 949

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Circunferencia en isométrico. Óvalo como sustituto de elipses

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SOLUCIÓN

Normalmente se utiliza un óvalo de cuatro centros para hacer las elipses que corresponden a las circunferencias en isométrico
El trazado lo puedes ver en la siguiente imagen, paso a paso.

– PRIMER DIBUJO : Se dibujan los ejes y sobre ellos se mide el radio, trazando paralelas a los ejes para formar el "cuadrado isométrico".
– SEGUNDO DIBUJO : Trazar la diagonal mayor. Insisto : LA MAYOR.
– TERCER DIBUJO : Desde cualquiera de los extremos de la diagonal menor se dibujan dos líneas que pasen por donde los ejes corten al cuadrado.
– CUARTO DIBUJO : Donde las líneas anteriores corte a la diagonal mayor son los centros de dos de los cuartos. Dibujarlos.
– QUINTO Y SEXTO DIBUJO : Con centro en los extremos de la diagonal menor y radio hasta los cuartos anteriores se dibujan los otros dos cuartos.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 948

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Conocido el semieje menor, b, y la semidistancia focal, c, hallar el semieje mayor, a

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SOLUCIÓN

Conocido el semieje menor, b, y la semidistancia focal, c, hallar el semieje mayor,a

2 – Unir los extremos
3 – La hipotenusa del triángulo formado es la medida del semieje mayor

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 947

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Conocido el semieje menor, b, y el semieje mayor, a, hallar la semidistancia focal, c

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SOLUCIÓN

1 – Colocar dos rectas que sean perpendiculares

2 – Sobre una de ellas llevar la medida del semieje menor, b
3 – Hacer un arco con centro en el extremo del semieje menor, b, y radio el semieje mayor, a
4 – Donde el arco corte a la otra recta nos da la medida de la semidistancia focal, c

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 946

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Conocido la semidistancia focal, c, y el semieje mayor, a, hallar el semieje menor, b

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SOLUCIÓN

1 – Colocar dos rectas que sean perpendiculares

2 – Sobre una de ellas llevar la medida de la semidistancia focal, c
3 – Hacer un arco con centro en el extremo de la semidistancia focal, c, y radio el semieje mayor, a
4 – Donde el arco corte a la otra recta nos da la medida del semieje menor, b

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 945

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Cómo hallar la distancia focal (2c) conocidos el eje mayor (2a) y el eje menor (2b)

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SOLUCIÓN

1 – Construye un ángulo recto y sobre un cateto coloca la medida del semieje menor (b)

2 – Con centro en su extremo y radio el semieje mayor (a) se hace un arco
3 – Desde el vértice recto hasta donde corta el arco es la medida de la semidistancia focal (c)

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 944

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Hallar los puntos de corte que produce la recta R con la elipse determinada por sus ejes conjugados.

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SOLUCIÓN

I – Con centro en el punto de corte de los dos diámetros conjugados se traza una circunferencia de diámetro igual a AB.

II – Traza una perpendicular a AB por su punto medio hasta cortar a la circunferencia.
III – Elige un punto cualquiera, P, de la recta y únelo con C.
IV – Donde esa recta corte a AB (punto X) se une con el punto donde la perpendicular a AB corta a la circunferencia, C’.
V – Por P hacer una recta paralela a C-C’.
VI – Donde está paralela corte a CC’ es el punto P’.
VII – Unir P’ con el punto de corte de R con AB (punto Y).
VIII – Prolongar YP’ hasta cortar a la circunferencia, puntos M’ y N’.
IX – Por M’ y N’ hacer paralelas a C-C’ hasta cortar a R. Esos puntos de corte, M y N, son la intersección de la recta dada con la elipse.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 943

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Cómo es el plano que secciona a un cono para que dé una elipse

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SOLUCIÓN

Las distintas curvas cónicas dependen de como se tome el plano que secciona al cono, así :
a) Cuando el plano seccionante y el plano base del cono son paralelos, o dicho de otra forma, cuando el plano seccionante y el eje del cono son perpendiculares, se obtiene una circunferencia.
b) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es menor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante es mayor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una elipse
c) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es igual que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es igual al ángulo de cualquier generatriz con el eje, se obtiene una parábola
d) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es mayor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es menor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una hipérbola.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 942

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Inscribir un rectángulo de área máxima en la elipse de ejes AB y CD, siendo un lado el doble del otro.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un rectángulo centrado en la elipse, con lados paralelos a los ejes de la elipse y que tenga un lado doble que el otro (en rojo)

2 – Dibujar una circunferencia con centro en el de la elipse, O, y radio el semieje mayor, AO
3 – Prolongar el eje menor de la elipse hasta cortar a la circunferencia, punto C’
4 – Unir el extremo del eje menor, C, con uno de los vértices del rectángulo, punto 1, hasta cortar al eje mayor, punto x
5 – Unir x con C’ y por el punto 1 levantar una perpendicular al eje mayor que cortará a la anterior en el punto 1′
6 – Unir el centro de la elipse, O, con 1 y 1′
7 – Por donde O-1′ corte a la circunferencia, punto m’, se baja una perpendicular al eje mayor hasta cortar a O-1 (punto m)
8 – El punto m es uno de los vértices del rectángulo buscado
9 – Repetir el mismo proceso con los otros tres vértices del rectángulo, o mejor aun, determinarlos por simetría de m respecto de los ejes de la elipse

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 941

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Elipse conocido un foco, F1, el centro de la elipse, O, y un punto de ella, P, y el segundo foco queda fuera de los límites del papel.

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SOLUCIÓN

Método I – Mediante simetría axial

1 – Unir el foco dado, F1, con el centro de la elipse, O. Esta es la medida de la semidistancia focal.

2 – Desde el centro dibujar una perpendicular a F1-O (eje menor).
3 – Dibujar el simétrico, P’, del punto dado, P, respecto de la recta anterior.
4 – Unir el punto dado, P, y su simétrico, P’, con el foco, F1. Sumando esas dos distancias, PF1 + P’F1, se obtiene la medida del eje mayor, 2a.
5 – Con centro en el foco, F1, y radio el semieje mayor, a, se traza un arco que cortará al eje menor en un punto, B, que es el extremo del eje menor.
6 – Sobre la recta F1-O y a partir de O llevar la medida del semieje mayor, a, obteniendo uno de los vértices, A.
7 – Conocidos sus elementos dibujar la elipse.

Método II – Mediante traslación

1 – Unir el foco dado, F1, con el centro de la elipse, O. Esta es la medida de la semidistancia focal.

2 – Desde el foco llevar esa distancia sobre la misma recta. Ahora consideraremos que el extremo, F1′, es el primer foco de la elipse trasladada, el foco original, F1, es el centro, O’, de la elipse trasladada y el centro original, O, será el segundo foco, F2′, de la elipse trasladada.
3 – Trazar una paralela a F1-O por el punto dado, P, y llevar esa misma distancia. El punto, P’, es el punto que pertenece a la elipse trasladada.
4 – Unir el punto P’ con los focos, F1′ y F2′. Sumando esas dos distancias, P’F1′ + P’F2′, se obtiene la medida del eje mayor, 2a.
5 – Desde el centro original, O, dibujar una perpendicular a F1-O. Este es el eje menor.
6 – Con centro en el foco original, F1, y radio el semieje mayor, a, se traza un arco que cortará al eje menor en un punto, B, que es el extremo del eje menor.
7 – Sobre la recta F1-O y a partir de O llevar la medida del semieje mayor, a, obteniendo uno de los vértices.
8 – Conocidos sus elementos dibujar la elipse.

Método III – Mediante simetría central

1 – Unir el foco dado, F1, con el centro de la elipse, O. Esta es la medida de la semidistancia focal.
2 – Desde el centro dibujar una perpendicular a F1-O (eje menor).
3 – Unir el punto dado, P, con el centro de la elipse, O, y llevar esa distancia hacia el otro lado del centro sobre la misma recta. Esto nos da el simétrico, P’, del punto respecto del centro.
4 – Unir el punto dado, P, y su simétrico, P’, con el foco, F1. Sumando esas dos distancias, PF1 + P’F1, se obtiene la medida del eje mayor, 2a.
5 – Con centro en el foco, F1, y radio el semieje mayor, a, se traza un arco que cortará al eje menor en un punto, B, que es el extremo del eje menor.
6 – Sobre la recta F1-O y a partir de O llevar la medida del semieje mayor, a, obteniendo uno de los vértices, A.

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