Mes: octubre 2014

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Proyecciones de un cono de revolución (o recto) conocida su directriz o base (una circunferencia), el plano que la contiene, P, y su altura, H.

 

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SOLUCIÓN

48 – Por su centro, C se levantan perpendiculares a las trazas del plano. Sobre ella se determina la proyección de la altura, por cualquiera de los siguientes cuatro procedimientos obteniendo el vértice, V, del cono :

 

• Mediante diferencia de cota o abatimiento
• Mediante giro
• Mediante cambio de plano de una recta
• Mediante cambio de plano de un plano

 

49 – Generatrices del contorno del cono. Con centro en un extremo del eje menor de la elipse y radio el semieje mayor, a, trazar un arco que determinará los focos, F1 y F2, sobre el eje mayor.

50 – Con centro en V y radio hasta uno de los focos, F1 o F2, trazar un arco.

51 – Con centro en un foco, F2, y radio el eje mayor, 2a, se dibuja otro arco.

52 – Donde los dos arcos se corten, 10, se une con el foco, F1, que no se utilizó como centro y se determina su mediatriz.

53 – Esta recta es la tangente a la elipse desde el punto V. Unir el punto 10 con el foco que si se utilizó como centro, F2. Donde corte a la generatriz del contorno es el punto de tangencia, T1, de la generatriz sobre la elipse.

54 – Para el otro contorno se opera igual o se determina por simetría respecto del eje del cono.

55 – Los puntos de tangencia, T1 y T2, son los límites entre la parte visible y oculta de la directriz.

56 – Operar de igual forma con la proyección vertical, pero recordar que los puntos de tangencia del contorno del cono con su directriz no son los mismos puntos en ambas proyecciones.

 

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Ejercicios de perspectiva CÓNICA – 997

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El triángulo ABC es la perspeciva cónica de un triángulo rectángulo, en A, contenido en el Plano Geometral.
Sabiendo que el ángulo B vale 30º y que el vértice C pertenece al Plano del Cuadro, obtener el Punto Principal, la distancia entre el Punto Principal y el Punto de Vista, la cota del Punto de Vista.
Suponiendo que el triángulo ABC es la base de un prisma recto de altura (AB + AC)/2, representar el poliedro con partes vistas y ocultas.
Tomando como origen de coordenadas el vértice inferior izquierdo de un formato A4 en posición vertical, los puntos P(50,200) y M(100,200) pertenecen a la Línea de Horizonte. A(105, 92), B (147, 170) y C (77, 123) son los puntos del triángulo.

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SOLUCIÓN

Es un ejercicio de aplicación de homología a una perspectiva cónica :
1 – Como el punto C está tanto sobre el geometral como en el cuadro, su posición es sobre la línea de tierra (puntos comunes a los dos planos), por lo que la línea de tierra pasará por el punto C, siendo paralela a la línea de horizonte.
2 – Se define una homología, de eje la línea de tierra, como recta límite la línea de horizonte y conociéndose los homólogos de los ángulos, A’ = 90º y B’ = 30º.
3 – Se prolongan los lados correspondientes a los ángulos A y B hasta cortar a la recta límite y se realizan los arcos capaces de sus ángulos homólogos. El punto de corte de ambos arcos es el centro de la homología, que a su vez es el punto de vista abatido sobre el plano del cuadro.
4 – Ya se tienen los elementos necesarios para resolver la homología, siendo la figura homóloga el abatimiento sobre el plano del cuadro del triángulo dado.
5 – El punto principal se determina mediante una perpendicular a la línea de horizonte que baje desde el punto de vista abatido.
La distancia que hay entre el punto de vista y el punto principal es la distancia principal (39 mm).
La cota del punto de vista es la distancia que hay entre la línea de tierra y la línea de horizonte (77 mm).

El plano del cuadro lo he considerado transparente y por tanto no afecta a la visibilidad de la pieza.

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Ejercicios utilizando solo un compás – 994

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Determinación del punto de intersección de una recta con un arco que pasa por su centro, con solo el compás.

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SOLUCIÓN

1 – Sea una recta (roja), de extremo Y, y una circunferencia (verde) de centro C.

2 – Con centro en un punto de la recta (el extremo Y) se traza una circunferencia auxiliar que corte a la circunferencia dada
3 – La circunferencia auxiliar corta a la dada en dos puntos A y B, hallar el punto medio del arco AB (caso anterior, pulsa aquí), punto H.
4 – El punto H es el punto de corte de la circunferencia con la recta.

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Cómo son las proyecciones de una circunferencia según el plano al que pertenezcan.

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SOLUCIÓN

Una circunferencia al proyectarla en el sistema diédrico puede representarse de tres formas distintas :

a – Como una circunferencia, cuando la circunferencia original es paralela al plano sobre el que se proyecta.

b – Como un segmento, cuando la circunferencia original es perpendicular al plano sobre el que se proyecta.

c – Como una elipse, cuando la circunferencia original es oblicua al plano sobre el que se proyecta.

 

No existen otras posibles posiciones que las tres descritas y por tanto esas son las únicas formas en que pueden aparecer.
Algunos ejemplos :

 

CIRCUNFERENCIA PARALELA AL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN

La proyección vertical es un segmento y la horizontal una circunferencia.

CIRCUNFERENCIA PERPENDICULAR AL PLANO VERTICAL DE PROYECCIÓN Y OBLICUA AL HORIZONTAL

La proyección vertical es un segmento y la horizontal una elipse.

CIRCUNFERENCIA OBLICUA A LOS DOS planos DE PROYECCIÓN

La proyección vertical y horizontal es una elipse.

 

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circunferencias en diédrico – 988

Ejercicios de conos en diédrico – 999

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El punto A (-3,7,0) es el vértice de un triángulo ABC situado todo él en el primer diedro, los vértices B y C están situados sobre la recta MN, M (-8,6,5), N (2,12,3), y los lados del triángulo AB y AC forman un ángulo de 45º con el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección vertical, desde a’, trazar líneas que formen 45º con la línea de tierra, y una paralela a la línea de tierra a una altura cualquiera, q’. Todo ello forma la proyección vertical de un cono

2 – Con centro en la proyección horizontal del punto A y diámetro la base del cono, q’, se traza una circunferencia. Esta es la base del cono
3 – Hallar la intersección del plano formado por MN y A con el cono. Se puede hacer de varias formas. Yo he considerado un plano horizontal, q’, y la intersección de las rectas AN y MN con dicho plano (puntos X e Y). La unión de sendos puntos, X-Y, intercepta a la base del cono en 1 y 2 que unidos con el vértice del cono, a, nos da la intersección del plano A-MN con el cono
4 – Se determina la intersección de la recta MN con el cono. Esta será los puntos, B y C, donde 1-a y 2-a corten a MN

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Ejercicios de conos en diédrico – 998

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Representar el cono de vértice V(81, 12, 90) y directriz la circunferencia, situada en el plano horizontal, de centro O(0, 50, 0) y radio 40 mm.
Representar las proyecciones de un punto de la superficie del cono cuya abcisa vale 20 mm y su alejamiento 50 mm, justificando si es visto u oculto.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujadas las proyecciones del cono, se sitúa la proyección horizontal del punto, P, con las coordenadas dadas.

2 – Unir P con V y prolongar esta generatriz hasta cortar a la base, puntos 1 y 2
3 – Hallar las proyecciones verticales de esos puntos y unirlas con el vértice del cono
4 – Subir una perpendicular a la línea de tierra desde la proyección horizontal de P hasta cortar a las generatrices anteriores, P’1 y P’2, proyecciones verticales del punto buscado

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Ejercicios de conos en diédrico – 997

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El punto O (120, 150, 40) es el centro de una esfera de 40 mm de radio. Dicha esfera es seccionada por el plano P cuya traza pasa por A (120, 150, 0) y es paralela al lado más largo del papel formando 45º con el plano de proyección y ascendiendo de derecha a izquierda.
Por el punto B (120, 150, 80) se hace pasar otro plano Q de traza paralela a la de P que forma 22,5º con el plano de proyección ascendiendo también de derecha a izquierda.
Se pide hallar la proyección del cono secante a la esfera que corta a esta según las secciones producidas por P y Q y dibujar las proyecciones de esta y la traza del cono.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el centro O y dibujar la esfera (en negro rellena de gris).

2 – Colocar el punto A y dibujar la traza del plano P, una vertical que pasa por A (en negro).
3 – Colocar el punto B, que coincide en proyección con O y A, aunque a distinta cota.
4 – Dibujar una línea, Z, perpendicular a la traza P que nos servirá para levantar un perfil (alzado).
5 – Llevar los punto O, A y B al perfil, O’, A’ y B’. Con centro en O’ y el radio de la esfera se dibuja esta. Por el punto A’ y a 45º se traza el plano p’, y por B’ y a 22,5º se levanta el plano q’.
6 – Donde corte a la esfera, A’-1′ y B’-2, son las secciones (circunferencias) de los planos P y Q sobre la esfera.
7 – Sobre una perpendicular a la traza P se llevan las proyecciones de 1 y 2 (de A y B ya se tiene). Estas nos dan los ejes menores, A-1 y B-2, de las elipses en las que quedan proyectadas las circunferencias.
8 – Por el punto medio, C y D, de los ejes menores, A-1 y B-2, y perpendicular a ellos se llevan los ejes mayores que son iguales a las medidas de A’-1′ y B’-2′ tomadas del perfil.
9 – Conocidos los ejes de las elipses dibujarlas (en azul y magenta).
10 – En el perfil se unen los puntos 1′ con B’ y A’ con 2′. Estas dos líneas son el contorno del cono en el perfil. Donde se cortan, V’, es su vértice.

11 – Llevar el perfil del vértice, V’, a la línea 1-2 obteniendo su proyección, V.
12 – Desde V se dibujan las tangentes a las elipses (en verde). Estos son los contornos aparentes del cono, y sus puntos de tangencia T1 y T2.
13 – En el perfil prolongar el cono hasta cortar a Z (punto A’ y 3′). Esta es la medida del eje mayor de la elipse intersección (traza) del cono con el plano horizontal.
14 – Llevar los puntos A’ y 3′ hasta la línea V-1 para conseguir sus proyecciones 3 y A (que ya teníamos).
15 – Su punto medio, E, es el centro de la elipse. Con centro en E y radio E-A se dibuja una circunferencia (afín de la elipse), en naranja.
16 – Desde V se traza la tangente a la circunferencia. Su punto de tangencia es T3".
17 – Desde T3" bajar una perpendicular a V-A y donde corte al contorno del cono, V-T1, es el punto de tangencia, T3, de la elipse con el contorno del cono.
18 – Unir T3" con el punto, 4", de corte de la perpendicular a V-A por E.
19 – Donde corte a V-A (eje de afinidad, punto X) se une con T4. Donde esta última corte a E-4" es el extremo, 4, del eje menor de la elipse.
20 – Conocidos los semiejes 3-E y 4-E se dibuja la elipse.

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Dado el plano proyectante vertical P y el punto V, representar el cono de revolución de vértice V, cuya base de radio 3 cm se sitúa en el plano P.

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SOLUCIÓN

1 – Desde V trazas perpendiculares a las trazas del plano

2 – Donde toque a la traza vertical del plano, O’, es el centro de la base, se lleva a la perpendicular de la proyección horizontal, O
3 – Se abate el centro de la base, O, y en el abatimiento se dibuja la circunferencia de la base con el radio dado 30 mm
4 – Los puntos que están en la perpendicular a la traza del plano (punto (1) en el abatimiento) pasando por el centro al desabatirlos da los extremos del eje menor.
5 – Los puntos que están en la paralela a la traza del plano (punto (2) en el abatimiento) pasando por el centro dan los extremos del eje mayor. Conocidos los ejes se desabaten más puntos de la circunferencia y se dibuja la proyección horizontal de la base (una elipse). La proyección vertical de la base se ve como una línea.
6 – Desde el vértice del cono se trazan tangentes a la base y con eso se acaba de dibujar el cono

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conos-996

Ejercicios de conos en diédrico – 995

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Conocidas la altura y el radio de un cono, hallarlo si se trata de un cono con su vértice situado en la línea de tierra, siendo tangente el cono al mismo tiempo a los dos planos de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – Se dibuja la sección media del cono conocidos el radio y la altura (en magenta)

2 – Se coloca la sección media apoyada sobre la generatriz en la línea de tierra, en proyección vertical (en negro)
3 – Bajando perpendiculares por los extremos hasta la línea de tierra se determina la proyección horizontal del eje menor de la elipse de la base y el mayor es el diámetro en verdadera magnitud. Dibujando la proyección horizontal del cono (en verde)
4 – Se gira esta última proyección alrededor del vértice del cono hasta que sea tangente a la línea de tierra (en rojo), esta es la proyección horizontal definitiva
5 – La proyección vertical del cono se logra con la proyección vertical del centro de la base girada, determinando la traza del plano que la contiene con una horizontal que pasa por el centro. A partir de ahí se suben los puntos de la elipse (en azul)

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Ejercicios de conos en diédrico – 994

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Sean A(35,60,52); B(45,72,24); C(45,43,0); D(52,37,38 ) los puntos que definen las rectas AB y CD, que son rectas de máxima pendiente de dos planos.
Dibujar las proyecciones de un cono recto de revolución de 80 mm de altura y radio de la directriz 26 mm.
Dicho cono es tangente a ambos planos y su vértice tiene una cota relativa respecto al punto B de 24 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Determina la intersección de los dos planos.
2 – El vértice del cono está sobre esa recta intersección a la cota dada (24 + 24).
3 – Realiza dos cambios de plano para que la recta intersección quede en posición vertical o de punta. De esta forma has logrado que los dos planos estén proyectantes.
4 – Determina la bisectriz de las rectas que representan a esos dos planos (que se ven proyectantes). Esa bisectriz es en realidad el plano bisector de los dos dados y que contiene al eje del cono, y por tanto, al centro de la directriz.
5 – Aparte dibuja un triángulo isósceles (figura de análisis) de base igual al diámetro de la directriz y de altura la misma longitud que la altura del cono.
6 – Determina (en la figura de análisis) una circunferencia de centro en el punto medio de la base del triángulo (la que se hizo con el diámetro de la directriz) y que sea tangente a los otros dos lados del triángulo. Con todo esto lo que se ha hecho es dibujar el cono en una posición sencilla y a continuación se ha determinado una esfera (la circunferencia) inscrita al cono. Las esferas tienen la ventaja de que no se deforman al proyectarlas y que al ser inscrita al cono también será tangente a los dos planos.
7 – Volviendo al diédrico, en el último cambio de plano (donde los dos planos se ven proyectantes) se trata de dibujar una circunferencia (en realidad es una esfera) de centro en la bisectriz (el plano bisector de los dos planos) y que sea tangente a los dos planos, con el radio determinado en la figura de análisis. El centro de esa esfera es también el centro de la directriz del cono.
8 – Se realiza un nuevo cambio de plano (ya dije que era un poco largo) con las líneas de referencia (supongo que estas trabajando en el diédrico directo por otras intervenciones) perpendiculares al plano bisector de los dos planos dados. En este cambio de plano se cambia el vértice del cono y por el centro de la directriz recién determinado se hace una línea de referencia para determinar donde estará sobre el cambio de plano.
9 – Con centro en el vértice del cono (en el último cambio de plano hecho) y radio igual a la longitud de la altura del cono (en verdadera magnitud) se hace un arco que corte a la línea de referencia del centro de la directriz. Con lo que ya tenemos una segunda proyección del centro de la directriz.
10 – Ahora se trata de deshacer los cambios de plano del centro de la directriz.
11 – Obtenidos el centro y el vértice ya conocemos el eje del cono.
12 – Para dibujar la directriz utiliza cualquiera de los procedimientos que tu conozcas y que te sea más fácil (plano perpendicular al eje y abatimiento o plano perpendicular al eje y cambio de plano, o sección rebatida, etc.).

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