Mes: octubre 2014

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

 

Un triángulo equilátero gira alrededor de su lado A(-70, 40, 30)-B(-35, 55, 70) hasta que su vértice C choca con el plano Q-Q´en su posición más alta posible. El plano Q-Q pasa por el punto N(-70, 0, 0) es paralelo a la recta t [(40, 0, 50);(75, 40, 50)] y forma 60º con el horizontal ascendiendo hacia la derecha. (x, y, z)

Dibujar las proyecciones diédricas del triángulo.

---

SOLUCIÓN

Para determinar el vértice C puede haber muchas opciones.

OPCIÓN I – Por abatimiento

1 – Dibujar un plano, P, perpendicular a la recta AB y que pase por su punto medio, M.

2 – Hallar la intersección, I, entre el plano perpendicular a AB, P, y el plano Q.

3 – Aparte determinar el valor de la verdadera magnitud de la altura del triángulo equilátero. Para ello hallar primero la verdadera magnitud de AB y después dibujar un triángulo equilátero en el que se determinará su altura, h.

4 – Abatir el punto medio del lado AB, M, y la recta intersección, I, respecto del plano perpendicular a AB, P.

5 – En el abatimiento con centro en M y radio la altura del triángulo equilátero, h, se dibuja una circunferencia.

6 – Donde la circunferencia corte a la recta intersección, I, abatida son las posibles soluciones para el vértice C.

7 – Desabatir el punto C.

OPCIÓN II – Por cambio de plano

8 – Dibujar un plano perpendicular a la recta AB y que pase por su punto medio.

9 – Hallar la intersección, I, entre el plano perpendicular a AB y el plano Q.

10 – Aparte determinar el valor de la verdadera magnitud de la altura del triángulo equilátero. Para ello hallar primero la verdadera magnitud de AB y después dibujar un triángulo equilátero en el que se determinará su altura, h.

11 – Hacer el cambio de plano necesario para que la recta AB se convierta en vertical o de punta.

12 – Cambiar, con las mismas líneas de tierra, la recta intersección, I.

13 – Con centro en la recta AB en el cambio de plano (donde se ve como un punto) y con radio la altura en verdadera magnitud del triángulo equilátero, h, se dibuja una circunferencia. Donde la circunferencia corte a la recta intersección, I, son las dos posibles soluciones para C en el cambio de plano.

14 – Determinar las proyecciones de C. Para ello en la penúltima proyección se traza una perpendicular a AB por su punto medio y se lleva la última proyección de C a esta perpendicular mediante una perpendicular a la última línea de tierra.

 

---

 

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

 

PLANO – 998

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 997

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

PRIMERA PARTE
Cambiar de plano una recta y convertirla en horizontal o frontal (paralela a un plano de proyección )

SEGUNDA PARTE
Cambiar de plano una recta y convertirla en vertical o de punta (perpendicular a un plano de proyección )

---

SOLUCIÓN

PRIMERA PARTE

Cambiar de plano una recta y convertirla en horizontal o frontal (paralela a un plano de proyección )
Lo que debes cambiar son dos puntos cualesquiera de ella.
La primera línea de tierra es paralela a la proyección de la recta, y mediante perpendiculares a la segunda línea de tierra se llevan los puntos al cambio de plano con la misma cota.

SEGUNDA PARTE

Cambiar de plano una recta y convertirla en vertical o de punta (perpendicular a un plano de proyección )
Después se hace la tercera línea de tierra perpendicular a la proyección ya cambiada y se lleva el alejamiento respecto de la segunda línea de tierra.

---

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 996

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

Plano paralelo a otro a una distancia dada

---

SOLUCIÓN

1 – Primer dibujo : Conocemos el plano P y la distancia Z a la que queremos hacer un plano paralelo al dado.

2 – Segundo dibujo : Dibujar una segunda línea de tierra perpendicular a una de las trazas del plano a cualquier distancia.
3 – Tercer dibujo : Elegir un punto cualquiera que tenga su proyección horizontal sobre la línea de tierra y la proyección vertical en la traza vertical del plano.
4 – Cuarto dibujo : Desde la proyección horizontal del punto elegido se traza una perpendicular a la segunda línea de tierra.
5 – Quinto dibujo : Se mide la cota, Y, del punto elegido y se lleva al cambio de plano a partir de la segunda línea de tierra. Esto nos da el punto cambiado de plano, X1′.
6 – Sexto dibujo : Unir el punto en el cambio de plano, X1′, con el punto donde la traza horizontal del plano toca a la segunda línea de tierra. Esta será la traza del plano cambiada.
7 – Séptimo dibujo : Perpendicular a la traza del plano cambiada se mide la distancia, Z, a la que se quiere hacer el segundo plano. Por ese punto se dibuja una paralela a la traza del plano cambiada y esta es la traza cambiada del plano buscado, q1′.
8 – Octavo dibujo : Por donde corta a la segunda línea de tierra se dibuja la traza horizontal del plano buscado perpendicular a la segunda línea de tierra.
9 – Noveno dibujo : Por donde la traza horizontal del nuevo plano corta a la primera línea de tierra se dibuja la traza vertical del plano buscado paralela a la del primer plano.

---

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 995

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

Ángulo que forma un plano con los planos de proyección

---

SOLUCIÓN

La forma más rápida de determinar los ángulos de un plano con los planos de proyección es convertirlo en proyectante mediante un cambio de plano.
Si la segunda línea de tierra la haces perpendicular a la traza horizontal al cambiar el plano obtendrás el ángulo con el plano horizontal de proyección.

Para el ángulo con el vertical la línea de tierra será perpendicular a la traza vertical del plano.

---

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

De un cuadrado ABCD se conocen dos vértices opuestos A(-50, 80, 0) y C(50, 0,90). El vértice B está situado en un plano horizontal de cota 80 mm y lo más cerca posible del plano vertical de proyección y en el primer diedro.
Dibujar el cuadrado.

---

SOLUCIÓN

MEDIANTE CAMBIOS DE PLANO

1 – Hacer un primer cambio de plano con la segunda línea de tierra (L.T – 2) paralela a la proyección horizontal del segmento A-C. En el cambio de pano se obtiene la verdadera magnitud de la diagonal del cuadrado.

2 – Desde el punto medio de A-C (punto O’1) se traza una perpendicular.

3 – A 80 mm se hace una paralela a la segunda línea de tierra y donde corte a la perpendicular anterior es el punto B buscado.

4 – Hacer un segundo cambio de plano con la línea de tierra (L.T – 3) perpendicular a la última proyección.

5 – Con centro en el segmento A-C y radio la mitad de la diagonal del cuadrado en verdadera magnitud (obtenido en el primer cambio de plano) se dibuja una circunferencia.

6 – Hacer una perpendicular a la tercera línea de tierra por la proyección del punto B hasta tocar a la circunferencia y esa es otra proyección del punto B (la marcada como b1).

7 – Por la proyección b’1 hacer una perpendicular a la segunda línea de tierra y llevar sobre ella el alejamiento W tomado en el último cambio de plano, con lo que se consigue la proyección horizontal, b, del punto buscado.

8 – Subir esa proyección hasta una cota de 80 mm.

9 – Unir A con B y B con C.

10 – Hacer paralelas a A-B y B-C por C y A y donde se corten es el cuarto vértice D.

MEDIANTE ABATIMIENTO

11 – Hacer un plano, Q, perpendicular al segmento A-C pasando por su punto medio, O.

12 – Dibujar un plano, P, horizontal de cota 80 mm.

13 – Hallar la intersección del plano horizontal con el perpendicular a A-C.

14 – Abatir el punto medio de A-C, respecto del plano perpendicular a A-C.

15 – Abatir la recta intersección de los dos planos respecto del mismo plano anterior.

16 – En el abatimiento y con centro en el punto medio de A-C abatido se traza una circunferencia de radio la mitad de la verdadera magnitud de A-C.

17 – En el abatimiento donde la circunferencia corte a la intersección de los dos planos abatida es el punto B abatido.

18 – Desabatir el punto B, mediante una perpendicular a la traza sobre la que se abate y en la intersección de los dos planos.

19 – Subir esa proyección hasta una cota de 80 mm.

20 – Unir A con B y B con C.

21 – Hacer paralelas a A-B y B-C por C y A y donde se corten es el cuarto vértice D.

---

 

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

 

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 993

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

Dibujar un triángulo equilátero A(-6,3,9) B(8,9,1) C. El vértice C está en el plano horizontal de proyección (dar la solución más alejada)

---

SOLUCIÓN

MEDIANTE CAMBIOS DE PLANO
a – Se hace un primer cambio de plano de la recta AB (en verde), con la segunda línea de tierra paralela a la proyección horizontal de AB.

b – En el cambio de plano a’1b’1, está en verdadera magnitud, por lo que se puede aprovechar para dibujar el triángulo ABC en verdadera magnitud (líneas naranja, rellenas de gris) y de ahí extraer el valor de la altura del triángulo, h.
c – Por el punto medio, m’1, se hace una perpendicular (en azul) a a’1b’1, siendo el punto de corte con la segunda línea de tierra el punto c’1 buscado.
d – Se hace un segundo cambio de plano (en azul) con la tercera línea de tierra perpendicular a a’1b’1
e – Con centro en a1b1 se traza un arco de radio la verdadera magnitud, h, del triángulo equilátero
f – Desde c’1 se hace una perpendicular a la tercera línea de tierra y donde corte al arco es el punto c1. Al igual que antes corta en dos sitios distintos, uno a la derecha de la tercera línea de tierra (el que yo he dibujado) y otro a su izquierda. Si coges este último todo el triángulo te quedará dentro del primer diedro.
g – Deshaz los cambios de plano del punto C obtenido

MEDIANTE ABATIMIENTO
1 – Haces un plano perpendicular a la recta AB por su punto medio, M (proceso en azul), esto da las trazas del plano P (en verde). El punto C debe estar sobre la traza horizontal del plano.

2 – Se abate el punto medio M respecto de ese plano (trazado en naranja)
3 – Con centro en el punto M abatido y radio la altura del triángulo equilátero, en verdadera magnitud, se traza un arco (en magenta).
4 – Donde corte a la traza horizontal del plano, p, es la proyección horizontal del punto C, llevarlo hasta la línea de tierra para determinar su proyección vertical. En realidad el arco corta en dos puntos, uno que está por encima de la línea de tierra (el que yo he dibujado) y otro por debajo de la línea de tierra, si utilizas este segundo punto tienes el triángulo dentro del primer cuadrante.
5 – Por la proyección obtenida se levanta una perpendicular a la línea de tierra, donde la corte es la proyección vertical del punto C.
Como verás el triángulo atraviesa el plano vertical de proyección, pero yo lo he considerado transparente por lo que no he determinado la visibilidad de la figura.

---

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 992

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

Distancia entre un punto A y una recta R

---

SOLUCIÓN

PRIMERA OPCIÓN

A – Hacer un plano con la recta y el punto dado
B – Abatir la recta y el punto
C – En el abatimiento se traza una perpendicular a la recta que pase por el punto. Esa es la verdadera magnitud entre la recta y el punto

SEGUNDA OPCIÓN

D – Hacer un plano perpendicular a la recta y que pase por el punto dado.
E – Hallar la intersección de la recta dada con el plano anterior.
F – Unir el punto intersección anterior con el punto dado, y esas son las proyecciones de la mínima distancia pedida (no están en verdadera magnitud).
G – Aplicando lo que se expuso en el ejercicio 1 se determina su verdadera magnitud

TERCERA OPCIÓN ( por cambio de plano )

H – Haces dos cambios de plano hasta convertir la recta en perpendicular a un plano de proyección (segunda línea de tierra paralela a una de las proyecciones y la tercera perpendicular)
I – Hacer el cambio de plano del punto dado con las mismas líneas de tierra
J – En el último cambio de plano la recta se ve como un punto, allí se puede medir la verdadera magnitud de la distancia entre la recta y el punto

CUARTA OPCIÓN

K – Haces dos giros para convertir la recta en perpendicular a un plano de proyección (primer giro con el eje vertical, segundo giro con el eje de punta)
L – Giras el punto dado con los mismos ejes y ángulos
M – En el último giro la recta se ve como un punto, allí se puede medir la verdadera magnitud de la distancia entre la recta y el punto

---

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 991

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

Hallar la distancia que hay entre el punto A y el plano.

---

SOLUCIÓN

1ª OPCIÓN

I – Hacer una recta perpendicular al plano pasando por el punto dado
II – Hallar la intersección entre la recta perpendicular al plano y el plano
III – La distancia entre el punto intersección y el punto dado es la distancia pero en proyección. Para hallar su verdadera magnitud se aplica el primer método.

2ª OPCIÓN ( por cambio de plano )

IV – Convertir el plano dado en proyectante mediante un cambio de plano (segunda línea de tierra perpendicular a la traza del plano)
V – Cambiar de plano el punto con la misma línea de tierra
VI – En el cambio de plano se traza una perpendicular al plano hasta el punto dado. Esa es la distancia entre plano y punto, ya en verdadera magnitud

3ª OPCIÓN

VII – Convertir el plano dado en proyectante mediante un giro (eje de giro vertical o de punta)
VIII – Girar el punto con el mismo eje
IX – En la proyección girada se traza una perpendicular al plano hasta el punto dado. Esa es la distancia entre plano y punto, ya en verdadera magnitud

---

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 990

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

Determinación de la intersección de una recta con un plano, si las proyecciones de la recta cortan a la línea de tierra fuera de los límites del papel.

---

SOLUCIÓN

1ª OPCIÓN

1 – Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano

2 – Cambiar de plano tanto la recta como el plano
3 – En el cambio de plano la intersección de ambos es inmediata, punto Z
4 – Deshacer el cambio de plano del punto Z

2ª OPCIÓN

5 – Se hace que la recta R esté contenida en un plano proyectante, q’

6 – Donde corte a la traza vertical del plano dado, punto V, es un punto de la intersección del plano dado P con el que contiene a la recta, Q
7 – Se dibuja un plano auxiliar (horizontal, por ejemplo), T
8 – Se determina la intersección del plano auxiliar T con el plano proyectante Q, recta de punta X
9 – Se halla la intersección del plano auxiliar T con el plano dado P, recta horizontal Y
10 – Se determina el punto común a los tres planos, P, Q y T, que está donde se corten las dos intersecciones entre planos, X e Y, dando el punto común W
11 – El punto W y el punto V pertenecen a los planos P y Q, por lo que forman la intersección entre los dos planos
12 – Por último, donde esta intersección V-W, corte a la recta dada, R, es el punto intersección del plano P con la recta R (punto Z)
13 – Si el punto V tampoco es posible, se recurre a otro plano horizontal o frontal para hallar un segundo punto que nos de la intersección entre el plano P y el Q

---

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 989

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano

Dado un soporte compuesto por un tronco de pirámide recto con bases triangulares equiláteras, coronado en ambas bases por dos tetraedros de igual arista que las bases sobre las que se apoya.

D tiene mayor cota que A.
A (47, 83.5, 59.5)
B (72.5, 84.5, 115)
C (16.5, 33, 129.5)
Conociendo tres puntos se pide :
a) Trazas del plano ABC.
b) Ángulo que forma dicho plano con los planos de proyección.
c) Lado de las bases mayor y menor del tronco de pirámide.
d) Proyecciones del tronco de pirámide.
e) Proyecciones de los dos tetraedros.
Nota : Las coordenadas son (alejamiento, cota, referencia)

---

SOLUCIÓN

1 – Colocados los tres puntos A, B y C, se hace un cambio de plano para colocar el triángulo ABC en proyectante (línea de tierra segunda perpendicular a la dirección de la traza del plano que forma ABC), dando a’1b’1c’1

2 – Hacer otro cambio de plano para que el triángulo ABC esté en verdadera magnitud (tercera línea de tierra paralela a a’1b’1c’1, dando a1b1c1
3 – En el último cambio de plano se dibuja el cuarto vértice e1, del trapecio formado por ABCE
4 – En el último cambio de plano se hacen los abatimientos de las caras BCDF y ADEF, respecto de sus trazas c1b1 y a1e1, respectivamente. En realidad solo se dibujan las caras trapeciales en verdadera magnitud (líneas verdes relleno de rosa)
5 – Se desabaten los puntos (D) y (F) mediante perpendiculares a sus respectivas trazas b1c1 y a1e1, donde se corten ambas perpendiculares son las proyecciones de los puntos, d1 y e1
6 – Se determina la altura de esos puntos (líneas naranjas rellenas de azul)
7 – A partir de la proyección a’1b’1c’1, se llevan esa alturas (en perpendicular a esa proyecciones) y asta la perpendicular a la tercera línea de tierra que pasa por d1 y e1
8 – Ya solo queda ir deshaciendo los cambios de plano

---

Inicio > Sistema diédrico > Cambio de plano | | Vídeos sobre cambios de plano