Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 988

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Se ha considerado una pirámide recta de base hexagonal (ver perspectiva adjunta) para la elaboración de patas niveladoras de máquinas.
Se pide :
1 – Representar las proyecciones de la entrecara y determinar su magnitud.
2 – Representar el plano determinado por A, B y V.
3 – Representar las proyecciiones del centro de la base y determinar la altura de la pirámide.
4 – Representar las proyecciones de la pirámide.
5 – Representar el plano beta determinado por B, X y el punto medio de la altura.
6 – Representar las proyecciones y verdadera magnitud de la sección que origina beta sobre el sólido.
Datos :
A ( Alejamiento 11 mm, cota -31 mm, distancia al magren derecho del formato 72 mm)
B ( Alejamiento 67 mm, cota 23 mm, distancia al magren derecho del formato 78 mm)
V ( Alejamiento -36 mm, cota 64 mm, distancia al magren derecho del formato 159 mm)
El único vértice de la base que se encuentra a la derecha de A y B es X.

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SOLUCIÓN

Para la determinación de las magnitudes de la pirámide se construirá un hexágono con el valor entre caras de la magnitud AB abatida. Para ello basta con levantar dos líneas a 30º y donde se corten es el centro del hexágono.
De dicho hexágono se determina el valor de su diagonal, la cual se utilizará para dibujar la sección media de la pirámide (ver la figura de análisis), que es un triángulo isósceles de lados iguales a la magnitud VA y VB tomadas del abatimiento.
La altura de la sección media es el valor de la altura de la pirámide.

Si la recta AB fuese vertical (o de punta), la sección ABV seria proyectante a la vez que la base hexagonal también (ver la figura de análisis).
En esa situación la sección VME estará en verdadera magnitud, la cual está formada por cantidades ya averiguadas anterioremente. Si se prefiere se puede trabajar con la sección VOM.
Para ello se debe colocar la recta AB en posición vertical (o de punta), para lo que se recurre a dos cambios de plano. El primer cambio de plano (en verde) con la línea de tierra paralela a la proyección horizontal de AB y la tercera perpendicular (en naranja).

En el último cambio de plano se dibujará la sección VAE (en azul oscuro) en verdadera magnitud, siendo VE el valor de la arista lateral del cono deducida anteriormente y el segmento ME extraído del hexágono que se dibujo en verdadera magnitud anteriormente.
Si por el vértice V1 se hace una perpendicular (en amarillo) al lado A1-E1 se obtiene la altura y el centro de la base, O1.
También se podía haber trabajado con el triángulo VMO y de esa manera obtener directamente la posición del centro.
Se deshace el cambio de plano (líneas azul claro y naranja) del centro, O, de la base. Siendo el plano VEO proyectante en la otra proyección, por lo que el centro O estará sobre la altura del triángulo VAB.
Para las otras proyecciones se lleva la medida correspondiente (s y t).
Las proyecciones del punto E se determinan de la misma forma (en marrón y naranja) que las del centro O (medidas u y v).

Como el hexágono es simétrico y ya se conocen tres vértices, A-B-E, y el centro, O, basta con unir las proyecciones de esos puntos con el centro y llevar esa misma distancia hacia el otro lado (ver la figura de análisis de la parte superior).

Ya solo queda unir los seis vértices de la base entre sí y con el vértice de la pirámide.
Disculpar si mi nombre estorba mucho para ver los dibujos, pero he utilizado una plantilla en la que lo imprime un poco grande y eran demasiados dibujos para ponerme de nuevo a cambiarlos.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 987

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Proyecciones de la esfera con centro en A que se apoya en las rectas r y s.

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SOLUCIÓN

1 – Haces dos cambios de plano, el primero con la línea de tierra paralela a las proyecciones de la recta y el segundo con la línea de tierra perpendicular a las rectas.
2 – En el último cambio de plano las dos rectas se verán como puntos.
3 – Cambia, con las mismas líneas de tierra, el centro de la esfera.
4 – El radio es la distancia desde el centro de la esfera hasta las rectas (que se ven como puntos en el último cambio de plano).
5 – Dibújala.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 986

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Cuadrado del que se conocen dos vértices y que el tercero está sobre el plano horizontal de proyección

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SOLUCIÓN

Existen varias posibles soluciones, dependiendo de que puntos se elijan de entre los varios posibles. El enunciado que das no dice nada al respecto de cual elegir, por lo que yo he elegido la que me ha sido más cómoda o que no se situaba sobre las otras proyecciones. Sea cual sea, el proceso a seguir es el mismo.

MEDIANTE CAMBIO DE PLANO

1 – Haces dos cambios de plano para convertir el segmento dado en uno perpendicular a un plano de proyección (segunda línea de tierra paralela a la proyección horizontal y la tercera perpendicular a la nueva proyección)

2 – En el segundo cambio de plano se hace una perpendicular a a’1b’1, y donde toque a la segunda línea de tierra es el punto buscado c’1
3 – En el segundo cambio de plano con centro en a1b1 haces un arco de radio igual a la verdadera magnitud del lado, L
4 – Mediante una perpendicular a la tercera línea de tierra por la proyección c’1 hasta el arco anterior se consigue la proyección c1. Existen dos posibilidades, como ya dije he elegido uno cualquiera.

5 – Conocidas las dos proyecciones (en los cambios de plano) del punto C se deshacen los cambios de plano
6 – El cuarto vértice del cuadrado, D, lo logras haciendo paralelas a los lados AB y BC.
7 – A partir de ahí se levanta el cubo

MEDIANTE ABATIMIENTO :

a – Trazas el plano perpendicular a AB pero pasando por el vértice B>

b – Abates el plano y el punto B
c – En el abatimiento con centro en B y radio el lado del cubo en verdadera magnitud, trazas un arco
d – Donde este arco corte a la traza horizontal del plano es la proyección horizontal del punto C
e – Llévala hasta la línea de tierra para obtener la proyección vertical de C

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 985

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Hallar un plano bisector de otros dos

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SOLUCIÓN

Mediante un abatimiento.

1 – Trazas un plano perpendicular a la recta intersección de los dos planos
2 – Hallas la intersección del plano perpendicular con cada uno de los dos planos.
3 – Abates el plano formado por las dos rectas intersección, y por supuesto, también abates las dos rectas intersección
4 – En el abatimiento determinas la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas intersección
5 – Desabates esa bisectriz, y esta junto con la recta intersección de los planos iniciales son las dos rectas que forman el plano bisector buscado

Mediante un cambio de plano.

a – Haces los cambios de plano necesarios para que la recta intersección se convierta en vertical o de punta.
b – En el último cambio de plano los dos planos iniciales se ven como dos rectas
c – Hallar la bisectriz del ángulo formado por los dos planos en el último cambio de plano
d – Deshacer el cambio de plano de esa recta bisectriz, que junto con la recta intersección de los dos planos iniciales forma el plano bisector

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 984

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Por el punto A(5,1) trazar la recta (m) que forma 60º con el primer bisector y tal que su traza horizontal tiene alejamiento 7 (tomarla más a la izquierda)

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SOLUCIÓN

1 – Hacer el cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la primera.

2 – Cambia de plano el punto A y el plano bisector
3 – En el cambio de plano, por A, trazar una recta que forme 60º con el plano bisector.
4 – Se hace un nuevo cambio de plano, con la línea de tierra paralela al plano bisector.
5 – Se cambia de plano el punto B y el punto A.
6 – Con centro en A y radio hasta B se traza un arco.
7 – Se marca una paralela a 7 cm (70 mm) de alejamiento.
8 – Donde corte a la segunda línea de tierra, es la traza horizontal cambiada de plano.
9 – Al unirlo con el punto A en el segundo cambio de plano se obtiene proyección de la recta girada.

10 – Esta toca a la tercera línea de tierra en e punto C.
11 – Se lleva el punto C hasta la circunferencia del último cambio de plano.
12 – Se une le punto de C con A, en el último cambio de plano.
13 – Se une C con A en el último cambio de plano.
14 – Se lleva el vértice H hasta la unión de A y C.
15 – Conocido el alejamiento de H se lleva a la proyección horizontal.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 983

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Dadas dos rectas A y B que se cruzan se pide hallar un segmento paralelo a un plano dado de tal forma que se apoye en A y en B.

Datos :
La recta A que pasa por M(50, 110, 0) y N(140, 20, 80)
La recta B que pasa por O(40, 0, 40) y P(140, 60, 10)
El plano alfa que pasa por Q(0, 0, 0) R(20, 30, 0) y S(40, 0, 60)

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SOLUCIÓN

1 – Hacer un cambio de plano de todo con la segunda línea de tierra perpendicular a la traza horizontal del plano (en azul)

2 – Volver a hacer otro cambio de plano de todo con la tercera línea de tierra perpendicular a la traza del plano cambiada (en magenta)
3 – En el último cambio de plano el punto de corte de las dos proyecciones de las rectas es la recta buscada x1y1
4 – Deshacer los cambios de planos mediante perpendiculares a las líneas de tierra. La verdadera magnitud está en el primer cambio de plano.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 982

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Hallar la altura correspondiente al vértice B1-B2 y la verdadera magnitud de esta.

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SOLUCIÓN

El problema en definitiva se trata de determinar la mínima distancia entre un plano (la cara ADC) y un punto (el vértice B), el que formen o no un tetraedro es irrelevante.
Se puede hacer de muchas formas una de las que yo personalmente considero más fáciles, consiste en transformar el plano en proyectante mediante un cambio de plano y allí si se ve la distancia del plano al punto en verdadera magnitud.

1º – Por ello, hago una segunda línea de tierra perpendicular a la traza del plano, CD, formado por la cara ADC.

2º – Cambio de plano todos los puntos.
3º – En el cambio de plano levanto una perpendicular a la cara ADC por el punto B, donde corte a esta, punto X, es la verdadera magnitud de la altura del punto B medido respecto de la cara ADC. Si solo se desea saber el valor de esa distancia ya se ha acabado el problema.
4º – Si se desea hallar la proyección de dicha altura, se realiza por la proyección horizontal del punto B una perpendicular a la traza del plano, CD, y se lleva hacia ella el punto X, siendo b-x la proyección horizontal de la altura de B respecto de ADC, pero en proyección.
5º – Para determinar su cota se mide la cota del punto X en el cambio de plano se lleva por correspondencia.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 981

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Representar un cubo, conocida su diagonal principal, AB, que es una recta horizontal, estando el vértice c sobre el plano horizontal de proyección.

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SOLUCIÓN

7 – Se realiza un cambio de plano del segmento AB, con la segunda línea de tierra, L.T-2, perpendicular a la proyección horizontal de AB

8 – Sobre la media sección principal obtenida antes, se dibuja una perpendicular a la hipotenusa que pase por el vértice del ángulo recto. Esto nos da la medida Z

9 – En el cambio de plano, con radio Z y centro en A’1-B’1, se traza un arco. Donde este arco corte a la línea de tierra es el vértice C’1

10 – De nuevo en la media sección principal se mide la longitud X, que hay entre un extremo y el punto por el que se hizo la perpendicular a la hipotenusa.

11 – Desde el extremo A de la proyección horizontal de A-B se mide la distancia X, y por ese punto se dibuja una perpendicular a A-B
12 – Mediante una perpendicular a la segunda línea de tierra, L.T-2, que parta de C’1 se consigue la proyección horizontal de C en la perpendicular del apartado anterior.

13 – La proyección vertical de C estará sobre la línea de tierra primera, L.T 1
14 – Por la proyección horizontal de A se hace una paralela a B-C, y por el extremo B otra paralela a A-C. Donde se corten es otro vértice del cubo, D
15 – A-C-B-D es la sección principal del cubo. Repetir en la proyección vertical.
A partir de aquí solo resta levantar el cuerpo.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 979

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Hallar un plano conocida su traza horizontal y el ángulo que forma con el plano horizontal de proyección

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SOLUCIÓN

1 – Situada la traza horizontal del plano, hacer una segunda línea de tierra (primer dibujo) perpendicular a la traza del plano (primer dibujo)

2 – Desde donde la traza horizontal del plano (primer dibujo) toca a la segunda línea de tierra se levanta la traza vertical cambiada de plano formando respecto de la segunda línea de tierra el ángulo que forma el plano con el plano horizontal de proyección, P.H (primer dibujo)
3 – Se toma un punto, X’1, cualquiera de la traza cambiada (segundo dibujo)
4 – Hacer una perpendicular a la segunda línea de tierra (tercer dibujo) desde ese punto hasta tocar a la línea de tierra, X, y levantando una perpendicular por él se lleva la medida de la cota (marcada con " = " en el tercer dibujo) para obtener su proyección vertical, X’
5 – Unir (cuarto dibujo) donde la traza horizontal del plano toca a la primera línea de tierra con la proyección vertical de X y esa es la traza vertical del plano

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 978

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Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan, una de ellas frontal

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SOLUCIÓN

1 – Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la proyección vertical de la recta frontal
2 – Cambiar de plano ambas rectas. En el cambio de plano la recta frontal se habrá transformado en vertical
3 – En el cambio de plano, hacer una recta perpendicular a la recta genérica y que pase por la recta frontal (que se ve como un punto)
4 – Hacer una perpendicular a la segunda línea de tierra por el punto de corte de la anterior con la recta genérica hasta cortar a su proyección vertical y ese es uno de los extremos de la recta buscada
5 – Trazar por ese punto una recta paralela a la segunda línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical de la recta frontal y esté es el segundo extremo de la recta buscada
6 – Llevar, mediante perpendiculares a la primera línea de tierra, los extremos de la recta hallada hasta tocar a sus correspondientes proyecciones horizontales.
7 – Unir esos puntos para determinar la proyección horizontal

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