Mes: octubre 2014

Ejercicios de circunferencias en diédrico – 992

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La recta r que pasa por A(3, 1, 0) y B(1, 7, 5) es de máxima pendiente de un plano alfa. Este plano contiene un círculo cuyo centro es un punto de la recta r y que dista 3 cm de la traza vertical del plano. El diámetro del círculo es igual a la longitud de AB. Dibujar las dos proyecciones del círculo, indicando partes vistas y ocultas.

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SOLUCIÓN

1 – Se hallan las trazas de la recta r

2 – Por la traza horizontal (el punto A) se hace la traza horizontal del plano, p, perpendicular a la proyección horizontal de la recta
3 – Donde ésta corte a la línea de tierra se une con la traza vertical de la recta, v’, y se consigue la traza vertical del plano, p’
4 – Ahora se abate el plano, (p’)
5 – Se abaten los puntos A y B
6 – Dibujar una recta paralela a la traza abatida a una distancia de 30 mm
7 – Donde corte a la recta AB abatida es el centro de la circunferencia, (O)
8 – El radio de la circunferencia es la mitad de la distancia AB del abatimiento
9 – La parte que quede entre la traza horizontal, p, y la traza abatida, (p’), zona amarilla clara, es la parte visible, mientras que la zona en amarillo más fuerte es la parte oculta
10 – Ahora solo se debe desabatir los puntos de la circunferencia

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Puntos de mayor y menor cota sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia

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SOLUCIÓN

9 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia.

10 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado.

11 – En el abatimiento trazar una perpendicular a la traza horizontal del plano.

12 – Los puntos de corte de esta perpendicular con la circunferencia, (A) y (B), son los puntos de mayor y menor cota. El de mayor cota es el más distante de la traza horizontal del plano, (A), y el de menor cota el más cercano, (B).

13 – Desabatir los puntos

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circunferencias en diédrico – 991

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Puntos de mayor y menor alejamiento sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia

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SOLUCIÓN

14 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia.

15 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado.

16 – En el abatimiento trazar una perpendicular a la traza vertical del plano.

17 – Los puntos de corte de esta perpendicular con la circunferencia son los puntos de mayor y menor alejamiento, (C) y (D). El de mayor alejamiento es el más distante de la traza vertical del plano y el de menor alejamiento el más cercano.

18 – Desabatir los puntos

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circunferencias en diédrico – 990

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Puntos más a la izquierda y derecha sobre una circunferencia, conocido el plano que la contiene, el radio y centro de la circunferencia

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SOLUCIÓN

19 – Abatir el plano y el centro de la circunferencia.

20 – Sobre el centro de la circunferencia abatida dibujarla con el radio dado.

21 – Dibujar una recta de perfil, en proyección horizontal y vertical, que pase por el centro de la circunferencia.

22 – Abatir la recta de perfil (unir el punto de corte de la recta de perfil con la traza horizontal del plano con el centro de la circunferencia abatido).

23 – En el abatimiento, trazar una perpendicular a la recta de perfil pasando por el centro de la circunferencia.

24 – Donde la perpendicular corte a la circunferencia son los puntos más a la derecha e izquierda. Para distinguirlos al desabatir observarás cuál es cada uno.

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circunferencias en diédrico – 989

Ejercicios de circunferencias en diédrico – 987

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Determinar los puntos de intersección de una circunferencia de centro el punto A y radio 30 mm con la recta R dada por sus proyecciones. No es necesario hallar las proyecciones de la circunferencia.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar las trazas, hr y vr’, de la recta R dada

2 – Unir un punto cualquiera de la recta R con el centro de la circunferencia, A (recta S)
3 – Hallar las trazas, hs y vs’, de la recta S
4 – Unir las trazas horizontales (y verticales) de las rectas para obtener la traza del plano, p, que forman la recta y el punto dados
5 – Abatir la recta, (R), y el centro de la circunferencia, (A)
6 – En el abatimiento, dibujar la circunferencia con el radio dado
7 – En el abatimiento, determinar donde corta la recta R a la circunferencia, puntos (1) y (2)
8 – Desabatir dichos puntos, 1 y 2, que serán los de intersección de la circunferencia con la recta

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Los puntos A(7, 6, 1) y B(12, 9, 6) definen el eje de un cilindro de 7 cm de altura, de bases horizontales circulares de 3 cm de radio, estando la inferior en el PHP.
Los puntos C(5, 10, z) y D(14, 1, z) definen una recta R horizontal, tangente a la superficie lateral del cilindro. Se pide la proyección vertical de R.

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SOLUCIÓN

Proyecciones de cilindro

1 – Situar los puntos A y B. Unirlos.

2 – Hallar O1 traza horizontal de AB; esta es el centro de la base apoyada en el plano horizontal de proyección. En la proyección horizontal con centro en O1 y radio 3 cm se dibuja una circunferencia que es la base. En proyección vertical está sobre la línea de tierra midiendo hacia cada lado de O1 3 cm.
3 – Medir en proyección vertical 7 cm (altura) y trazar una paralela a la línea de tierra. Donde corte al eje AB es el centro O2 de la segunda base. Bajarlo hasta la proyección horizontal del eje y dibujar bases paralelas e iguales a la primera.
4 – Trazar las tangentes a la base paralelas al eje AB. Ya están las proyecciones del cilindro.

Recta horizontal tangente al cilindro

5 – Dibujar la proyección horizontal de los puntos C y D.

6 – Dibujar una perpendicular a la proyección horizontal de CD por el centro de la base inferior, O1, siendo los puntos de corte con dicha base, T1 y T2, por donde pasa la traza horizontal del plano tangente al cilindro (aunque no hace falta dibujarlo).
7 – Trazar paralelas al eje del cilindro por los puntos de tangencia, T1 y T2, en ambas proyecciones.
8 – Donde las paralelas (generatrices) anteriores corten a la proyección horizontal de CD, puntos X e Y, son los puntos de contacto de la recta CD con la superficie lateral del cilindro.
9 – Subir los puntos de contacto, X e Y, hasta las proyecciones verticales de las paralelas al eje por los puntos T1 y T2. Estas serán las proyecciones verticales de X e Y.
10 – Dibujar las proyecciones verticales de CD, paralelas a la línea de tierra, por X e Y.
Nota : En este caso en concreto uno de los puntos, X o Y, sale por debajo de la base, es decir, fuera del cilindro por lo que solo hay una solución.

 

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cilindros – 999

Ejercicios resueltos de cilindros en diédrico – 998

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El punto O2 (-55, 80, 100) es el centro de una circunferencia de 60 mm de diámetro, base superior de un cilindro oblicuo apoyado en el plano horizontal de proyección cuyo centro de la base inferior es el punto O1 (0, X, 0) y el eje del cilindro mide 120 mm. Representar sus proyecciones.

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SOLUCIÓN

1 – Situar el centro O2.

2 – En la proyección horizontal, con centro O2 y radio 60 mm dibujar la circunferencia de la base superior. En proyección vertical la base es una paralela a la línea de tierra de longitud el diámetro, 2·60 mm.
3 – Situar la proyección vertical del centro O1, (0, X, 0). Uniendo la proyección vertical de O1 con O2 se tiene el eje del cilindro.
4 – Por la proyección vertical de O1 dibujar una perpendicular al eje, O1-O2. Con centro en O2 y radio la verdadera magnitud del eje, 120 mm, trazar un arco que corte a la perpendicular.
5 – La medida, Z, entre O1, en proyección vertical, y el punto de corte con el arco es la diferencia de alejamiento entre los dos centros. Desde la proyección horizontal de O2 y en perpendicular a la línea de tierra se lleva la diferencia de alejamiento, Z, y se traza una paralela a la línea de tierra hasta cortar a la perpendicular a la línea de tierra que parte de la proyección vertical de O1. Siendo esta la proyección horizontal de O1.
En realidad, hay dos soluciones dependiendo de si la medida Z se toma por encima o por debajo de O2, en el gráfico solo muestro una.
6 – Obtenida la proyección horizontal de O1 dibujar la base del cilindro y las generatrices del contorno.

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Se dan los puntos B(85, 43, 45), I (150, 100, 80), T (46, 85, X), M (115, 60, Y).
Se pide construir un cilindro de revolución que como generatriz a BI, pasando las bases por B e I, estando la base que contiene a B tangente a la recta TM en el punto T.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un plano, P, que sea perpendicular a la generatriz BI y pase por el punto B.
2 – Mediante rectas horizontales o frontales, hallar las proyecciones verticales de los puntos T y M para que estén contenidos en el plano P.
3 – Abatir los puntos B, T y M respecto del plano P.
4 – En el abatimiento, hallar la mediatriz entre B y T. Desde el punto T abatido dibujar una perpendicular a TM. Donde la mediatriz de BT corte a la perpendicular de TM es el centro abatido, C, de una de las bases del cilindro. El radio es CB o CT.
5 – Desabatir la circunferencia y tenemos las proyecciones de una de las bases.

 

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cilindros – 996

Ejercicios de curvas cíclicas – 998

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Lugar geométrico de una circunferencia que rueda exteriormente por otra de radio el doble.

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SOLUCIÓN

Una nefroide es una epicicloide (la circunferencia rueda por fuera), con una relación de 1/2 entre sus radios.

Una nefroide también se puede considerar que es una pericicloide en la que la razón de los radios es 3/2.

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Ejercicios resueltos de CAMBIOS DE PLANO en diédrico – 999

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Selectividad País Vasco, año 2006
En la figura 1 se ve un cilindro apoyado en el suelo a lo largo de una generatriz, y una pieza en forma de L que descansa sobre el cilindro y el suelo en equilibrio estable. Las dimensiones (en milímetros) del cilindro son diámetro 40 y longitud 60, y de la L 90 x 50 x 15 y espesor 20.
La pieza en L tiene dos caras apoyadas tangentes en el cilindro y una arista sobre e suelo.
El conjunto cilindro y pieza en L, una vez colocado, tiene un plano de simetría.
Se pide, a escala, completar las tres vistas dadas (vista según a, planta y alzado), dibujando en ellas la pieza en L.
Visualizar el conjunto distinguiendo las aristas vistas y las ocultas.

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SOLUCIÓN

1 – En el cambio de plano (vista A) dibujar la L en cualquier posición (en línea azul discontinua) pero tangente al cilindro.

2 – Con centro en el del cilindro, C1′, y radio hasta el vértice X1′ de la L se traza un arco hasta que corte al suelo (plano horizontal).
3 – Esto nos da el punto X2′ que es la arista de la L apoyada en el suelo. A partir de ella trazar de nuevo la L (en magenta continuo) tangente al cilindro.
4 – Llevar los puntos de la L del cambio de plano a la proyección horizontal, mediante perpendiculares al suelo. La parte entre las dos líneas dadas en el enunciado (segmentos verdes) son las aristas de la L en proyección horizontal.
5 – Subirlas a la proyección vertical a la misma altura (cota) que tenían en el cambio de plano.

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