Autor: Administrador

Ejercicios de equivalencias – 990

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Cuadrado equivalente a un circulo (diámetro D)

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SOLUCIÓN

a – Dividir el diámetro, D, en 7 partes iguales

b – A partir de los extremos del diámetro, llevar hacia un lado 3 de las divisiones y hacia el otro 4

c – Hacer la media proporcional entre 3+3+4 = 10 divisiones y 4 divisiones
d – La media proporcional es el valor del lado del cuadrado buscado

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Dibujar un cuadrado equivalente a un circulo (diámetro D).

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SOLUCIÓN

El problema planteado, hacer un cuadrado equivalente a un circulo, es uno de los tres problemas clásicos de la antigüedad griega, y en concreto se suele denominar como la cuadratura del circulo.

Existen infinidad de métodos para hacerlo, expongo el que considero más simple :

1 – Divídase el diámetro del círculo en siete partes y con centros en sus extremos A y B trazar arcos de radios respectivamente iguales a 4d/7 y 3d/7 obteniendo los puntos D y C sobre las prolongaciones del diámetro considerado.

2 – Trazar una semicircunferencia de diámetro C D, levantando por A una perpendicular hasta cortar en E a la semicircunferencia.

3 – El segmento A E es el lado del cuadrado equivalente al círculo del diámetro dado A B.

Fundamento :

La superficie de un círculo es π··d²/4.

Se puede tomar como valor aproximado para π/4 el valor de 40/49. Que a su vez se puede descomponer en el producto de (10/7) · (4/7).

Luego, π··d²/4 ≅ 40·d²/49 = (10·d/7) · (4·d/7). Y como lo que queremos es un cuadrado L·L = (10·d/7) · (4·d/7), que reordenado es L / (10·d/7) = (4·d/7) / L, es decir, la media proporcional entre 10/7 y 4/7 del diámetro.

Para su resolución gráfica necesitamos dividir el diámetro en 7 partes y colocar dos segmentos que midan 10 (C A) y 4 (A D) de esas partes.

El procedimiento es una aproximación al resultado ideal, pero para determinados usos es suficiente y válido.

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equivalencias – 989

Ejercicios de equivalencias – 988

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Cuadrado equivalente a rectángulo

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SOLUCIÓN

Al igualar las áreas de ambos b·h = L·L (donde b es la base del rectángulo, h la altura del rectángulo y L el lado del cuadrado), se forma una media proporcional.
Luego basta con hacer la media proporcional de la base y altura del rectángulo para determinar el lado del cuadrado.

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Ejercicios de equivalencias – 987

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Hallar un cuadrado equivalente a un trapecio.

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SOLUCIÓN

Se debe hallar la media proporcional entre la mitad de la suma de las bases y la altura.
El valor de la media proporcional es la longitud del lado del cuadrado.

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Ejercicios de equivalencias – 986

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Dibujar un cuadrado equivalente al pentágono irregular dado

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SOLUCIÓN

Existen varias formas. Una es dividiendo el pentágono en tres triángulos mediante sus diagonales. Después hallas cuadrados equivalentes a cada triángulo y por último un cuadrado suma de las áreas de los tres cuadrados. El segundo método es el que te expongo con más detenimiento.

SOLUCIÓN :

a1 – Designemos los vértices del pentágono como ABCDE. Unir dos vértices de lados contiguos, B y D por ejemplo.
a2 – Hacer una paralela a BD por C.
a3 – Donde corte a la prolongación de AB será el nuevo vértice X.
a4 – El pentágono se ha transformado en un cuadrilátero, el AXDE.
a5 – Repetir el proceso. Unir A con D.
a6 – Por E hacer una paralela a AD.
a7 – Donde corte a la prolongación de AX es el nuevo vértice Y.
a8 – El cuadrilátero queda transformado en un triángulo XDY.
a9 – Hallar la media proporcional entre la mitad de la base de ese triángulo, XY/2, y su altura. Se está planteando (B/2) / L = L / H, donde B y H son la base y altura del triángulo y L el lado del cuadrado.
a10 – El resultado obtenido es el lado del cuadrado buscado.

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Hallar un cuadrado (lado L3) cuya área sea igual a la suma de otros dos conocidos (L1 y L2).

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SOLUCIÓN

1 – Se plantea la igualdad de las áreas, S3 = S1 + S2. Y se sustituye por lo que valen (el cuadrado del lado), quedando L3² = L1² + L2².

2 – Esa expresión es la del teorema de Pitágoras, en la que los dos elementos que suman, L1 y L2, son los catetos de un triángulo rectángulo, y L3 la hipotenusa.

3 – Luego, para resolverlo se trazan dos líneas a 90º y sobre ellas se miden los lados de los cuadrados dados, L1 y L2. Uniendo sus extremos (hipotenusa) se consigue el valor del lado del cuadrado buscado, L3.

 

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equivalencias – 985

Ejercicios de equivalencias – 984

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Hallar un cuadrado (lado L4) cuya área sea igual a la suma de otros tres conocidos (L1, L2 y L3)

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SOLUCIÓN

1 – Se plantea la igualdad de las áreas, S4 = S1 + S2 + S3. Y se sustituye por lo que valen (el cuadrado del lado), quedando L4² = L1² + L2² + L3²
2 – Primero se plantea el cuadrado equivalente a la suma de las áreas de dos cualquiera de ellos (utilizando el método anterior), es decir, X² = L1² + L2². Así que se trazan dos líneas a 90º y sobre ellas se miden los lados de los cuadrados dados, L1 y L2. Uniendo sus extremos (hipotenusa) se consigue el valor del lado del cuadrado buscado, X.
3 – Se sustituye ese valor en la ecuación anterior L4² = ( L1² + L2² ) + L3² ⇒ L4² = X² + L3². Por lo que se plantea un nuevo Pitágoras cuyos catetos sean L3 y X. La hipotenusa es el lado L4 buscado
Esto se puede repetir tantas veces como se quiera (cuadrado equivalente a la suma de otros 4, 5, 6, etc).

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Hallar un cuadrado (lado L3) de área igual a la diferencia de las áreas de dos cuadrados de lados L1 y L2.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado del cuadrado menor, L2.

2 – Hacer una recta perpendicular por uno de sus extremos.

3 – Con centro en el otro extremo y radio el lado del cuadrado mayor, L1, hacer un arco.

4 – Donde el arco corte a la perpendicular es el lado del cuadrado buscado, L3.

 

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Ejercicios de equivalencias – 983

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Hacer un cuadrado equivalente al trapezoide (o cuadrilátero) dado

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SOLUCIÓN

Para hacer un cuadrado equivalente al trapezoide dado, primero transformo el cuadrilátero en un triángulo equivalente, para ello uno dos de sus vértices, línea magenta, (te lo he dibujado aparte de la homología en el siguiente dibujo, para que esté más claro, pero se puede hacer encima) y se hace una paralela por el otro vértice, prolongando el lado contiguo se obtiene un triángulo equivalente (el que ves rayado), que tendrá de base la señalada como b y de altura la marcada con h.

Ahora se transforma el triángulo obtenido en un cuadrado, para ello se igualan las áreas b·h/2 = L·L, por lo tanto se conocen dos segmentos, b/2 y h, así que planteare una media proporcional para obtener el valor del lado del cuadrado, L (en el siguiente dibujo). La mitad de la base, b/2, y la altura, h, me han salido muy parecidas, pero no tienen por ser iguales.

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Ejercicios de equivalencias – 981

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¿ Cómo se hace un triángulo equivalente a cuadrado de lado 4 cm ?

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SOLUCIÓN

El enunciado en si no dice nada respecto del tipo de triángulo que se quiere.
Pasando a la parte práctica, existen varias formas, dependiendo de lo que desees, ya que al decir solo "triángulo equivalente" existen infinitas soluciones.

OPCIÓN 1

La forma más clásica (la que viene en todos los libros) es hacer un triángulo equivalente con la misma base que la del cuadrado. Para ello, basta con que unas los extremos de la base con cualquier punto que esté en una paralela separada el doble del lado del cuadrado. Se basa en que el área del triángulo es b·h/2, tomas como base, b, la del cuadrado, y como altura, h = 2·L, el doble del lado del cuadrado, pero cualquier punto a esa altura es válido. Si escoges el punto que está en la mediatriz de la base obtienes un triángulo isósceles.
También se podría hacer un triángulo de base el doble del lado del cuadrado y altura igual al lado del cuadrado.

OPCIÓN 2

Mediante una cuarta proporcional al igualar las áreas queda como L·L = b·h/2, o reordenado, L/b = (h/2)/L, o bien, L/h = (b/2)/L. Y ahora tienes dos opciones, dar un valor determinado a la altura y determinar la altura (primera ecuación) o bien al revés, decides cuanto valdrá la base y determinas la altura (segunda ecuación).

OPCIÓN 3

Mediante la determinación de un polígono equivalente con un lado menos. Dibujas una de las diagonales, haces una paralela por uno de los otros dos vértices, y donde corte a la prolongación del lado se une con el vértice opuesto.

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