Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 944

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Hallar los puntos de corte que produce la recta R con la elipse determinada por sus ejes conjugados.

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SOLUCIÓN

I – Con centro en el punto de corte de los dos diámetros conjugados se traza una circunferencia de diámetro igual a AB.

II – Traza una perpendicular a AB por su punto medio hasta cortar a la circunferencia.
III – Elige un punto cualquiera, P, de la recta y únelo con C.
IV – Donde esa recta corte a AB (punto X) se une con el punto donde la perpendicular a AB corta a la circunferencia, C’.
V – Por P hacer una recta paralela a C-C’.
VI – Donde está paralela corte a CC’ es el punto P’.
VII – Unir P’ con el punto de corte de R con AB (punto Y).
VIII – Prolongar YP’ hasta cortar a la circunferencia, puntos M’ y N’.
IX – Por M’ y N’ hacer paralelas a C-C’ hasta cortar a R. Esos puntos de corte, M y N, son la intersección de la recta dada con la elipse.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 943

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Cómo es el plano que secciona a un cono para que dé una elipse

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SOLUCIÓN

Las distintas curvas cónicas dependen de como se tome el plano que secciona al cono, así :
a) Cuando el plano seccionante y el plano base del cono son paralelos, o dicho de otra forma, cuando el plano seccionante y el eje del cono son perpendiculares, se obtiene una circunferencia.
b) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es menor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante es mayor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una elipse
c) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es igual que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es igual al ángulo de cualquier generatriz con el eje, se obtiene una parábola
d) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es mayor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es menor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una hipérbola.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 942

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Inscribir un rectángulo de área máxima en la elipse de ejes AB y CD, siendo un lado el doble del otro.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un rectángulo centrado en la elipse, con lados paralelos a los ejes de la elipse y que tenga un lado doble que el otro (en rojo)

2 – Dibujar una circunferencia con centro en el de la elipse, O, y radio el semieje mayor, AO
3 – Prolongar el eje menor de la elipse hasta cortar a la circunferencia, punto C’
4 – Unir el extremo del eje menor, C, con uno de los vértices del rectángulo, punto 1, hasta cortar al eje mayor, punto x
5 – Unir x con C’ y por el punto 1 levantar una perpendicular al eje mayor que cortará a la anterior en el punto 1′
6 – Unir el centro de la elipse, O, con 1 y 1′
7 – Por donde O-1′ corte a la circunferencia, punto m’, se baja una perpendicular al eje mayor hasta cortar a O-1 (punto m)
8 – El punto m es uno de los vértices del rectángulo buscado
9 – Repetir el mismo proceso con los otros tres vértices del rectángulo, o mejor aun, determinarlos por simetría de m respecto de los ejes de la elipse

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 941

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Elipse conocido un foco, F1, el centro de la elipse, O, y un punto de ella, P, y el segundo foco queda fuera de los límites del papel.

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SOLUCIÓN

Método I – Mediante simetría axial

1 – Unir el foco dado, F1, con el centro de la elipse, O. Esta es la medida de la semidistancia focal.

2 – Desde el centro dibujar una perpendicular a F1-O (eje menor).
3 – Dibujar el simétrico, P’, del punto dado, P, respecto de la recta anterior.
4 – Unir el punto dado, P, y su simétrico, P’, con el foco, F1. Sumando esas dos distancias, PF1 + P’F1, se obtiene la medida del eje mayor, 2a.
5 – Con centro en el foco, F1, y radio el semieje mayor, a, se traza un arco que cortará al eje menor en un punto, B, que es el extremo del eje menor.
6 – Sobre la recta F1-O y a partir de O llevar la medida del semieje mayor, a, obteniendo uno de los vértices, A.
7 – Conocidos sus elementos dibujar la elipse.

Método II – Mediante traslación

1 – Unir el foco dado, F1, con el centro de la elipse, O. Esta es la medida de la semidistancia focal.

2 – Desde el foco llevar esa distancia sobre la misma recta. Ahora consideraremos que el extremo, F1′, es el primer foco de la elipse trasladada, el foco original, F1, es el centro, O’, de la elipse trasladada y el centro original, O, será el segundo foco, F2′, de la elipse trasladada.
3 – Trazar una paralela a F1-O por el punto dado, P, y llevar esa misma distancia. El punto, P’, es el punto que pertenece a la elipse trasladada.
4 – Unir el punto P’ con los focos, F1′ y F2′. Sumando esas dos distancias, P’F1′ + P’F2′, se obtiene la medida del eje mayor, 2a.
5 – Desde el centro original, O, dibujar una perpendicular a F1-O. Este es el eje menor.
6 – Con centro en el foco original, F1, y radio el semieje mayor, a, se traza un arco que cortará al eje menor en un punto, B, que es el extremo del eje menor.
7 – Sobre la recta F1-O y a partir de O llevar la medida del semieje mayor, a, obteniendo uno de los vértices.
8 – Conocidos sus elementos dibujar la elipse.

Método III – Mediante simetría central

1 – Unir el foco dado, F1, con el centro de la elipse, O. Esta es la medida de la semidistancia focal.
2 – Desde el centro dibujar una perpendicular a F1-O (eje menor).
3 – Unir el punto dado, P, con el centro de la elipse, O, y llevar esa distancia hacia el otro lado del centro sobre la misma recta. Esto nos da el simétrico, P’, del punto respecto del centro.
4 – Unir el punto dado, P, y su simétrico, P’, con el foco, F1. Sumando esas dos distancias, PF1 + P’F1, se obtiene la medida del eje mayor, 2a.
5 – Con centro en el foco, F1, y radio el semieje mayor, a, se traza un arco que cortará al eje menor en un punto, B, que es el extremo del eje menor.
6 – Sobre la recta F1-O y a partir de O llevar la medida del semieje mayor, a, obteniendo uno de los vértices, A.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 940

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Elipse conocida la tangente t, el foco F1, el radio de la circunferencia focal y la recta sobre la que está el eje mayor.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar el simétrico, s, del foco respecto de la tangente.
2 – Con centro en el simétrico, s, y radio el de la circunferencia focal se traza un arco.
3 – Donde el arco corte a la recta que contiene al eje mayor es el segundo foco, F2.
4 – Se determina el punto medio entre los dos focos, O, que es el centro de la elipse.
5 – A partir del centro de la elipse, O, se lleva hacia cada lado la mitad del radio de la circunferencia focal. Estos extremos son los vértices de la elipse.
6 – Por el centro de la elipse se levanta una perpendicular al eje mayor.
7 – Con centro en el foco y radio la mitad del radio de la circunferencia focal se corta a la perpendicular anterior. Estos puntos nos dan el eje menor.
8 – Dibujar la elipse por puntos.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 939

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Construir una elipse dado un foco, F1, un punto de la curva, P, y uno de los extremos del eje menor, C.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el extremo de eje menor, C, con el foco, F1.

2 – Con centro en el punto medio de C-F1 y radio hasta F1 hacer una circunferencia (radio R1).
3 – Unir el punto dado P con el foco F1.
4 – Con centro en el punto medio de P-F1 y radio hasta F1 hacer una circunferencia (radio R2).
5 – Con centro en el punto medio de P-F1 y radio (2·R1) – R2 hacer un arco.
6 – Donde el arco corte a la circunferencia que pasa por F1 y C es el centro, O, de la elipse. Hay dos posibles puntos de corte y por tanto dos posibles soluciones, solo he dibujado una de ellas.
7 – Unir F1 con el centro O. Esta es la medida de la semidistancia focal, F1-O = c.
8 – Unir C con el centro O. Esta es la medida del semieje menor, C-O = b.
9 – Unir F1 con el centro C. Esta es la medida del semieje mayor, F1-C = a.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 938

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Cómo relacionar una elipse y una circunferencia mediante afinidad, respecto de sus ejes principales.

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SOLUCIÓN

Una elipse se puede transformar en una circunferencia mediante una afinidad. Realizar las operaciones que sean necesarias en la circunferencia, que suele ser más fácil, y después llevar lo averiguado a la elipse mediante la afinidad.
Esto tiene "millones" de aplicaciones : intersección de una recta con una elipse, tangente a una elipse desde un punto exterior, etc.
Para definir la afinidad son necesarios determinar varios elementos : el eje de afinidad, la dirección de afinidad, un par de puntos afines y la circunferencia afín a la elipse.
Circunferencia afín : Tendrá de centro el mismo de la elipse y de radio el semieje mayor o el semieje menor. Se puede utilizar indistintamente una o la otra (a veces incluso las dos) pero casi siempre se utiliza el mayor por dar más claridad.

Eje de afinidad : Es el eje mayor si se ha utilizado este como diámetro de la circunferencia o el eje menor cuando se utiliza él como diámetro de la circunferencia.

Dirección de afinidad : Es ortogonal (perpendicular al eje de afinidad).

Par de puntos afines : Desde el centro de la elipse se levanta una perpendicular al eje de afinidad y donde corte a la elipse y a la circunferencia son dos puntos afines. El punto de corte con la elipse es siempre uno de los extremos del eje mayor o menor. En realidad la recta corta en cuatro puntos (dos de la elipse y otros dos de la circunferencia), se pueden tomar los dos que quedan al mismo lado del eje (afinidad de razón positiva) o uno a cada lado (afinidad negativa), es indiferente y a veces conviene uno más que el otro para que no dé puntos de corte con el eje muy alejados.
Si se tiene un punto cualquiera de la elipse se traza una perpendicular al eje y donde corte a la circunferencia es su afín.

Conocidos todos estos elementos se puede plantear una afinidad, en la que también se transformarán los demás elementos (puntos, rectas, etc.) con las mismas relaciones de afinidad.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 937

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Se da una superficie cónica de revolución de semiángulo cónico 20º.
Dicha superficie se secciona por un plano P de forma que la sección producida sea una elipse de ejes 3 y 5 cm.
Se pide determinar el ángulo que forma el plano P con el eje de la superficie, así como la distancia del plano P al vértice de la misma.

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SOLUCIÓN

1 – Conocidos los ejes de la elipse se determina la distancia focal. Para ello :
1a – Colocar dos rectas que sean perpendiculares.

1b – Sobre una de ellas llevar la medida del semieje menor, b.
1c – Hacer un arco con centro en el extremo del semieje menor, b, y radio el semieje mayor, a.
1d – Donde el arco corte a la otra recta nos da la medida de la semidistancia focal, c.
2 – Dibujar el complementario del semiángulo, 90º-A.

3 – Con centro en el vértice O y radio la distancia focal, 2c, se traza un arco que cortará al lado del ángulo en X.
4 – Con centro en X y radio el eje mayor, 2a, se dibuja otro arco que cortará al otro lado del ángulo en Y.
5 – Uniendo X e Y se obtiene el plano buscado.
6 – Por el punto medio de OY levantar una perpendicular. Esta es el eje del cono mientras OY es la directriz (base) del cono.
7 – Prolongar el lado del cono OX hasta cortar el eje. El punto de corte, V, es el vértice del cono.
8 – Unir Y con V para dibujar la otra generatriz del contorno del cono.
9 – Obtenido el cono, VOY, y el plano, XY, tomar las medidas que se piden en el enunciado.

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Elipse conocido un foco, F1, el simétrico, S2,del otro foco respecto de una tangente (punto de la circunferencia focal) y el pie, M, de la perpendicular a la tangente desde el segundo foco (punto de la circunferencia principal.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el simétrico S2 con el pie de la perpendicular M.
2 – La perpendicular a S2-M es la recta tangente a la elipse.
3 – Llevar la distancia S2-M hacia el otro lado de la tangente y ese es el segundo foco, F2.
4 – Unir el simétrico del foco, S2, con el primer foco F1 y esta es la longitud del eje mayor, 2a.
5 – Unir ambos focos y hallar su punto medio, O, este es el centro de la elipse.
6 – A partir del centro y hacia ambos lados llevar la mitad de la longitud del eje mayor y se obtienen los vértices de la elipse.
7 – Por el centro de la elipse trazar una perpendicular.
8 – Con centro en uno de los focos y radio la mitad del eje mayor se traza un arco que cortará en dos puntos a la perpendicular anterior. Estos dos puntos dan el eje menor de la elipse.

 

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ELIPSES – 935

Rectas dadas la distancia que las separa 970

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Dadas las proyecciones, verticales y horizontales, de dos puntos A y B, y de dos planos P y Q en el sistema diédrico, se pide:

a) Hallar una recta R que pasa por A y otra recta S que pase por B sabiendo que:
– El segmento AB dado es la mínima distancia (es decir, perpendicular común) entre las rectas R y S que se piden.
– La recta R es paralela al plano P y la recta S es paralela al plano Q.

b) Obtener la verdadera magnitud entre el segmento AB (indicarlo de forma gráfica y numéricamente).

c) Hallar el ángulo que forma el plano Q con el plano horizontal de proyección (indicarlo gráfica y numéricamente).

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un plano, M, perpendicular al segmento AB, pasando por A.

2 – Hallar la intersección entre M y P, a la que llamaré Int.MP.
3 – Trazar una paralela a Int. MP por el punto A y esta es una de las dos rectas pedidas, R.
4 – Realizaremos el mismo procedimiento con B. Dibujar un plano, N, perpendicular a AB por B.
5 – Dibujar la intersección entre N y Q (Int. NQ).
6 – Paralela a Int. NQ por B nos da la segunda recta buscada, S.

También se puede hacer de otra forma (que en esencia es lo mismo) y que puede que no necesite tanto espacio en el papel.

a – Dibujar un plano, M, perpendicular al segmento AB, pasando por A.
b – Dibujar otro plano, K, paralelo a P que pase por A.
c – Hallar la intersección entre K y M, y esta es ya una de las rectas buscadas, R.
d – Realizaremos el mismo procedimiento con B. Dibujar un plano, N, perpendicular a AB por B.
e – Dibujar otro plano, L, paralelo a Q que pase por B.
f – Hallar la intersección entre L y N, y esta es ya la segunda recta buscada, S.

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