Autor: Administrador

Ejercicios de cubos en diédrico – 998

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Dibujar una recta que pase por los puntos A(80, 20, 18) y B(50, 65,37).
La recta S es paralela a la recta R y su proyección vertical está a 24 mm de la proyección vertical de R y hacia la izquierda. Mientras que la proyección horizontal está separada 37 mm de la proyección horizontal de R hacia la izquierda.
Dibujar las proyecciones de un cubo sabiendo que sobre las rectas R y S hay dos aristas opuestas y el punto A es un vértice del cubo.
De las dos soluciones posibles dibujar aquella que tenga mayor cota.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un plano perpendicular a las dos rectas dadas pasando por el punto dado.
2 – Hallar la intersección del plano y la recta dada que no contiene al punto
3 – Abatir el plano, el punto dado y el punto intersección de la recta con el plano
4 – Los dos puntos son dos vértices opuestos de una cara del cubo que está contenida en el plano. Así que, en el abatimiento, dibujar un cuadrado conocida una diagonal de cara
5 – Desabatir los dos nuevos puntos. Uniendo las proyecciones de los cuatro puntos (el dado, el de intersección recta-plano y los dos obtenidos en el abatimiento) se obtiene una cara del cubo
6 – Hallar la proyección vertical de los dos nuevos puntos
7 – Sobre las rectas dadas hallar la proyección del lado del cuadrado (obtenido en el abatimiento)
8 – Hacer paralelas a esos segmentos por los otros puntos y unir sus extremos entre sí, formando la cara opuesta a la primera

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El segmento dado AB es la arista de un cubo regular. Otra arista, BC, tiene como proyección horizontal un segmento de 30 mm, teniendo el vértice C mayor cota y alejamiento que el vértice B.

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SOLUCIÓN

1 – Se determina la verdadera magnitud del segmento AB

2 – Trazar el plano, P, perpendicular a la recta AB y que pase por el punto B.

3 – Por la proyección horizontal de B se dibuja una paralela a la línea de tierra, b-c1, y sobre ella se mide la longitud dada en el enunciado para la proyección horizontal de BC.

4 – Se sube una perpendicular a la línea de tierra desde c1 y con centro en la proyección vertical de B se dibuja un arco de radio la verdadera magnitud del segmento AB.

5 – Donde el arco corte a la perpendicular es la proyección vertical c1′ que nos da la cota del punto C.

6 – Trazar una recta horizontal, S, que pertenezca al plano P y pase por c1′.

7 – Con centro en la proyección horizontal de B y radio la b-c1 se dibuja un arco.

8 – Donde este arco corte a la proyección horizontal de S es la proyección horizontal del punto C. Subirlo hasta la proyección vertical de S para conseguir su proyección vertical, c’.

 

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cubos – 997

Ejercicios de cubos en diédrico – 996

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Construcción del rombicuboctaedro a partir de un cubo

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SOLUCIÓN

Para la construcción del rombicuboctaedro a partir de un cubo se puede realizar de una forma correcta o de una forma aproximada que es la que muchas personas hacen porque es más sencillo y se parece a la forma correcta aunque no es un rombicuboctaedro real.

Construcción del rombicuboctaedro ( Forma correcta )

1 – Se dividen las aristas del cubo en tres partes no iguales. Cada segmento está en una relación de 1 : (raíz cuadrada de 2) : 1

2 – Para hacer estas divisiones :
Se dibuja una recta cualquiera que parta de un vértice.
Sobre esa recta se marca un segmento cualquiera (acotado como 1 en mi dibujo).
Desde su extremo se levanta otro segmento igual y perpendicular.
Unir los extremos de ambos segmentos (triángulo marrón).
La hipotenusa del triángulo es la raíz cuadrada de 2.
Colocar esta medida sobre la primera recta y después otra vez el valor de la primera división (la marcada como 1).
3 – Unir el extremo del último segmento con el extremo del lado del cubo y hacer paralelas a esta por las otras dos divisiones. Con esto ya hemos dividido la arista en tres partes (dos iguales y la central desigual) en la relación deseada.
4 – Dividir todas las demás aristas del cubo.
5 – Trazar paralelas a los lados del cubo por cada división (líneas verdes). Esto formará una cuadrícula de 3×3 cuadros en cada cara.
6 – El cuadrado central (en azul en la siguiente imagen) de cada cara es una de las caras del rombicuboctaedro.

7 – Unir los extremos de los cuadrados contiguos (líneas en magenta) y esto nos da las otras caras del rombicuboctaedro.

Construcción del (falso) rombicuboctaedro ( Forma aproximada y no correcta )

8 – Se dividen las aristas del cubo en tres partes iguales.

9 – Trazar paralelas a los lados del cubo por cada división (líneas verdes). Esto formará una cuadrícula de 3×3 cuadros en cada cara.
10 – El cuadrado central (en azul en la siguiente imagen) de cada cara es una de las caras del falso rombicuboctaedro.

11 – Unir los extremos de los cuadrados contiguos (líneas en magenta) y esto nos da las otras caras del falso rombicuboctaedro.

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Ejercicios de cubos en diédrico – 995

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Determinación de la diagonal de cara de un cubo conocida la longitud de su arista

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SOLUCIÓN

1 – Se dibujan dos rectas perpendiculares y sobre ellas se lleva la medida del lado del cubo, L

2 – Uniendo sus extremos se obtiene el valor de la diagonal de cara, d

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Ejercicios de cubos en diédrico – 994

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Determinación de la longitud de la diagonal (principal o de cuerpo) de un cubo

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SOLUCIÓN

a – Se dibujan dos rectas perpendiculares y sobre ellas una de ellas se lleva la longitud del lado del cubo, L, y sobre la otra el valor de la diagonal de cara, d

b – Uniendo sus extremos se obtiene el valor de la diagonal de cuerpo del cubo, D

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Determinación de las magnitudes de un cubo (lado y diagonal de cara) conocida la diagonal principal o de cuerpo

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SOLUCIÓN

4 – Se dibuja un triángulo rectángulo de catetos idénticos e iguales a una cantidad elegida al azar, L’. La hipotenusa del triángulo es el valor de la diagonal de cara, d’, del cubo que tuviese por lado la longitud L’

5 – Se construye un nuevo triángulo rectángulo de catetos iguales a la longitud L’ y d’. Este triángulo es equivalente a haber dibujado la sección principal del cubo, por lo que la hipotenusa es equivalente a la diagonal principal, D’

6 – Se coloca sobre la hipotenusa del último triángulo el valor de la diagonal principal, D, y mediante paralelas a los lados del triángulo se trazan dos nuevos catetos. El cateto menor es la longitud de la arista del cubo, L, mientras que el mayor es la longitud de la diagonal de cara, d. Recuérdese que este triángulo es media sección principal.

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CUBOS – 993

Ejercicios de cubos en diédrico – 992

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Selectividad Baleares 2006.
Dibujar las proyecciones de un cubo dadas sus aristas AB y CD.

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SOLUCIÓN

Es sencillo si coges un cubo de verdad (o una caja que se le parezca) y colocas una arista sobre la mesa y la opuesta justo encima, de esta forma seguro que aprecias como te quedará al mirar por arriba (proyección horizontal o planta) y desde el frente (proyección vertical o alzado).
Te tiene que quedar parecido a este dibujo :

En el dibujo que yo te pongo las líneas que te dan en el examen son las verdes (AE – CG).
Aparte se dibuja el cuadrado en verdadera magnitud (el que ves en celeste). No es necesario que esté pegado (cambio de plano) como en el dibujo, lo puedes haces en cualquier parte. El lado del cuadrado es la medida marcada como m.
En la proyección horizontal y perpendicular a la recta dada se lleva el valor de la diagonal (marcada con n) en los dos extremos (las líneas azules).
Se unen entre sí (las líneas negras) y ya se tiene la proyección horizontal al completo.
Para la proyección vertical se suben verticales desde los extremos de las líneas azules, hasta una cota la mitad de la diagonal, n/2.
Basta unirlos entre sí y con las rectas dadas.

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Ejercicios de cubos en diédrico – 990

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Dibujar un cubo conociendo los siguientes datos :
Dos vértices consecutivos son A(1, 4, 4) B(4, 2, 2) y otro C de la misma cara que los dos anteriores está situado en el PH.

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SOLUCIÓN

Existen varias posibles soluciones, dependiendo de que puntos se elijan de entre los varios posibles. El enunciado que das no dice nada al respecto de cual elegir, por lo que yo he elegido la que me ha sido más cómoda o que no se situaba sobre las otras proyecciones. Sea cual sea, el proceso a seguir es el mismo.

MEDIANTE CAMBIO DE PLANO

1 – Haces dos cambios de plano para convertir el segmento dado en uno perpendicular a un plano de proyección (segunda línea de tierra paralela a la proyección horizontal y la tercera perpendicular a la nueva proyección)

2 – En el segundo cambio de plano se hace una perpendicular a a’1b’1, y donde toque a la segunda línea de tierra es el punto buscado c’1
3 – En el segundo cambio de plano con centro en a1b1 haces un arco de radio igual a la verdadera magnitud del lado, L
4 – Mediante una perpendicular a la tercera línea de tierra por la proyección c’1 hasta el arco anterior se consigue la proyección c1. Existen dos posibilidades, como ya dije he elegido uno cualquiera.

5 – Conocidas las dos proyecciones (en los cambios de plano) del punto C se deshacen los cambios de plano
6 – El cuarto vértice del cuadrado, D, lo logras haciendo paralelas a los lados AB y BC.
7 – A partir de ahí se levanta el cubo
Otra cuestión, procurar decir en que orden están las coordenadas, pues yo he supuesto que eran (referencia, alejamiento, cota) pero a lo mejor no es así.

Otra forma sería, MEDIANTE ABATIMIENTO :

a – Trazas el plano perpendicular a AB pero pasando por el vértice B

b – Abates el plano y el punto B
c – En el abatimiento con centro en B y radio el lado del cubo en verdadera magnitud, trazas un arco
d – Donde este arco corte a la traza horizontal del plano es la proyección horizontal del punto C
e – Llévala hasta la línea de tierra para obtener la proyección vertical de C

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Selectividad Andalucía 2005
Los puntos A y B, vértices de un cubo, son los extremos de una de las diagonales de la base.
Dicha diagonal es además línea de máxima pendiente del plano donde se apoya dicho poliedro.
Se pide :
1) Representar las trazas del plano que contiene la base del cubo.
2) Dibujar las proyecciones del poliedro.

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SOLUCIÓN

1 – Por b se hace una perpendicular y esta es la traza horizontal del plano, p.

2 – El punto B ya está abatido. Se abate el punto A. Por a una perpendicular a a-b, se mide la cota de A (medida Z) y se lleva sobre una perpendicular a a-b. Con centro en b y radio hasta esa cota Z se hace un arco. Donde corte a la prolongación de a-b es el punto A abatido, (A).
3 – En el abatimiento se dibuja el cuadrado, (A)-(C)-(B)-(D).
4 – Se desabaten los dos nuevos vértices, (C) y (D). Por el punto medio de a-b una paralela a p y mediante perpendiculares a p por (C) y (D) se obtienen c y d.
5 – Por a se hace una paralela a p y por a’ una paralela a la línea de tierra. Donde la paralela a p corta a la línea de tierra se sube una perpendicular hasta la paralela a la línea de tierra y ese es un punto por el que debe pasar la traza del plano. Unir donde la traza p toca a la línea de tierra con ese punto y ya se tiene la traza vertical del plano p’.
6 – Las proyecciones verticales de C y D, se consiguen con una paralela a la línea de tierra por el punto medio de a’-b’ y subiendo directamente con perpendiculares a la línea de tierra.

 

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cubos en diédrico – 989

Ejercicios de cubos en diédrico – 988

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Un cubo de lado 4 tiene una diagonal vertical, apoyada en el plano horizontal de proyección en el punto A( 5, 0, 0) y tiene cuatro aristas frontales. Representarlo.

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SOLUCIÓN

I – En el triángulo que se construyo para la determinación de la diagonal de cuerpo, se dibuja una perpendicular a la hipotenusa y que pase por el vértice del ángulo recto. A esta medida la llamaré Z.

II – En proyección horizontal y con centro en el punto A y radio Z se traza una circunferencia

III – En ella se traza un hexágono (vértices C-D-E-F-G-H)
IV – Unirlos con el centro, A, y ya se tiene la proyección horizontal del cubo
V – A partir de la proyección vertical del punto A se levanta una perpendicular a la línea de tierra con el valor de la diagonal del cuerpo, D

VI – Se divide en tres partes iguales, D/3, dibujando dos rectas paralelas a la línea de tierra
VII – Los puntos del hexágono de la proyección horizontal (C-D-E-F-G-H) se suben alternativamente cada uno a una de esas paralelas (proyecciones c’, d’, e’, f’, g’, h’)
VIII – Se unen c’-e’-g’ con a’, mientras que d’-f’-h’ con b’
IX – Se unen c’-e’-g’ con d’-f’-h’ en el mismo orden en el que están unidos en el hexágono, y ya esta la proyección vertical

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