Autor: Administrador

Ejercicios de afinidad – 995

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Selectividad Andalucía

Dado el cuadrado de vértices abcd y sus diagonales, hallar su figura afín al aplicar la afinidad definida por su eje y por el par de puntos afines A-A’.

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SOLUCIÓN

1 – La dirección de afinidad es A-A’ (paralela al eje)

2 – Unir A con C hasta cortar al eje, X. Unir X con A’. Por C una paralela a A-A’. Donde corte a la anterior es C’.
3 – Unir A con D hasta cortar al eje, Y. Unir Y con A’. Por D una paralela a A-A’. Donde corte a la anterior es D’.
4 – Unir B con C hasta cortar al eje. Unir ese punto con C’. Por B una paralela a A-A’. Donde corte a la anterior es B’.

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Ejercicios de afinidad – 994

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Hallar la figura afín del triángulo ABC conociendo el eje y un punto A’ de A.

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SOLUCIÓN

1 – Unir A con A’ y esta es la dirección de afinidad.

2 – Como AD es paralelo al eje su afín también lo será. Por lo tanto, por A’ dibujar una paralela al eje de afinidad. Por D trazar una paralela a la dirección de afinidad, AA’, hasta cortar a la paralela anterior, siendo el punto de corte D’, afín de D.
3 – Prolongar AB hasta cortar al eje de afinidad y ese punto unirlo con A’. Por B una paralela a AA’ hasta cortar a la recta anterior. Donde la corte es el punto B’ afín de B.

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Elipse conocido el eje mayor, AB, y un punto de ella, P

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SOLUCIÓN

OPCIÓN A

a1 – Determina el punto medio del eje mayor, O.

a2 – Con centro en O y radio la mitad del eje mayor traza una circunferencia.
a3 – Por el punto dado, P, levanta una perpendicular al eje mayor, y donde corte a la circunferencia es P’.
a4 – Haz otra perpendicular al eje mayor por O, dando el punto C’ en la circunferencia.
a5 – Une C’ con P’ hasta cortar al eje mayor, punto X.
a6 – Unir X con P y donde corte a la perpendicular que se trazó por O es C.
a7 – La distancia OC es el semieje menor.
a8 – Ya se conocen el eje mayor y el menor, a partir de ellos dibujar el resto de la elipse.

OPCIÓN B

b1 – Determina el punto medio del eje mayor, o.

b2 – Con centro en O y radio la mitad del eje mayor trazar una circunferencia.

b3 – Por el punto dado, P, levanta una perpendicular al eje mayor, y donde corte a la circunferencia es P’.

b4 – Unir P’ con el centro O.

b5 – Por P dibujar una paralela al eje mayor. Donde corte a OP’ es el punto X.

b6 – Con centro en O y radio OX dibujar una circunferencia.

b7 – Desde O levantar una perpendicular al eje mayor AB. Donde corte a la segunda circunferencia es el semieje menor, OC.

b8 – Conocidos los dos ejes dibujar la elipse.

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afinidad – 993

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Construcción de la elipse conocidos los ejes principales, mediante afinidad doble.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar las circunferencias de radios «a» y «b».

2 – Hacer un diámetro cualquiera (en el gráfico 2-2′ por ejemplo).

3 – Desde 2 y 2′ hacer paralelas a los ejes.

4 – Donde se corten es un punto de la elipse.

5 – Repetir con tantos diámetros como puntos se desee, uniéndolos a mano alzada.

 

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afinidad – 992

Ejercicios de afinidad – 991

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Sin construir la curva, determinar por afinidad una pareja de diámetros conjugados de la curva.

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SOLUCIÓN

I – En la circunferencia de radio "a" dibuja dos diámetros perpendiculares entre sí.
2 – Centrate en uno de esos diámetros, después harás lo mismo con el otro. Une el extremo de ese diámetro con donde la prolongación del eje menor corta a la circunferencia de radio "a", hasta que corte al eje mayor.
3 – Donde corta al eje mayor se une con el extremo del eje menor.
4 – Por el extremo del diámetro haces una perpendicular al eje mayor y donde corte a la recta anterior es el extremo del diámetro conjugado buscado.
5 – Une ese extremo con el centro de la elipse y ya tienes uno de los diámetros conjugados.
6 – Repite lo mismo con el otro diámetro perpendicular que se hizo en la circunferencia.

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Ejercicios de afinidad – 990

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Dada una elipse cuyos ejes miden 6 y 4 cm, hallar la longitud del diámetro que forma 45º con los ejes. Obténgase igualmente la dirección de su diámetro conjugado.

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SOLUCIÓN

Con el mismo centro de la elipse traza una circunferencia de diámetro el eje mayor.
Llamaré a un extremo del eje menor A y si lo prolongas hasta cortar a la circunferencia, ese será su afín A’.
Elige un punto cualquiera del diámetro que forma 45º (lo llamaré X).
Une X con A hasta cortar al eje mayor.
Ese punto de corte lo unes con A’.
Por X levantas una perpendicular al eje mayor hasta cortar a a línea anterior, ese es X’.
Unir X’ con el centro de la elipse y prolongarla hasta cortar a la circunferencia, ese punto será M’.
Por M’ hacer una perpendicular al eje mayor de la elipse.
Donde corte al diámetro que forma 45º es su extremo, punto M.

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Ejercicios de afinidad – 989

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Halla los puntos de corte que produce la recta R con la elipse determinada por sus ejes conjugados.

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SOLUCIÓN

I – Con centro en el punto de corte de los dos diámetros conjugados se traza una circunferencia de diámetro igual a AB.

II – Traza una perpendicular a AB por su punto medio hasta cortar a la circunferencia.
III – Elige un punto cualquiera, P, de la recta y únelo con C.
IV – Donde esa recta corte a AB (punto X) se une con el punto donde la perpendicular a AB corta a la circunferencia, C’.
V – Por P hacer una recta paralela a C-C’.
VI – Donde esta paralela corte a CC’ es el punto P’.
VII – Unir P’ con el punto de corte de R con AB (punto Y).
VIII – Prolongar YP’ hasta cortar a la circunferencia, puntos M’ y N’.
IX – Por M’ y N’ hacer paralelas a C-C’ hasta cortar a R. Esos puntos de corte, M y N, son la intersección de la recta dada con la elipse.

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Ejercicios de afinidad – 988

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Inscribir un rectángulo de área máxima en la elipse de ejes AB y CD, siendo un lado el doble del otro.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un rectángulo centrado en la elipse, con lados paralelos a los ejes de la elipse y que tenga un lado doble que el otro (en rojo)

2 – Dibujar una circunferencia con centro en el de la elipse, O, y radio el semieje mayor, AO
3 – Prolongar el eje menor de la elipse hasta cortar a la circunferencia, punto C’
4 – Unir el extremo del eje menor, C, con uno de los vértices del rectángulo, punto 1, hasta cortar al eje mayor, punto x
5 – Unir x con C’ y por el punto 1 levantar una perpendicular al eje mayor que cortará a la anterior en el punto 1′
6 – Unir el centro de la elipse, O, con 1 y 1′
7 – Por donde O-1′ corte a la circunferencia, punto m’, se baja una perpendicular al eje mayor hasta cortar a O-1 (punto m)
8 – El punto m es uno de los vértices del rectángulo buscado
9 – Repetir el mismo proceso con los otros tres vértices del rectángulo, o mejor aun, determinarlos por simetría de m respecto de los ejes de la elipse

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Ejercicios de afinidad – 987

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Hallar el afín del centro O, conocida la dirección de afinidad d, el eje de afinidad y la razón k= – 3/2.

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SOLUCIÓN

1 – Por O una paralela a d.

2 – Mide la distancia entre O y el eje sobre la recta anterior.
3 – Divídela en dos partes.
4 – Lleva tres de esa divisiones hacia el otro lado del eje y ya tienes O’.

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Ejercicios de afinidad – 986

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Dados los puntos A y A’ homólogos en una afinidad de eje e, dibujar dos líneas perpendiculares que pasen por A de tal forma que sus líneas homólogas (o afines) pasen por A’ y también sean perpendiculares.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar la mediatriz de A-A’

2 – Donde corte al eje es el centro de una circunferencia, O, de radio hasta A o A’
3 – Donde la circunferencia corte al eje, X e Y, se unen con A y A’ y dan las rectas buscadas

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