Autor: Administrador

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 981

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Plano, P, que pasa por A (0, 6, 7) forma 45º con el plano horizontal de proyección y su traza horizontal forma 60º con la línea de tierra.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el punto A.
2 – Dibujar una recta horizontal, R, que pase por A. Su proyección vertical es paralela a la línea de tierra y su proyección horizontal forma 60º respecto de la línea de tierra (el mismo ángulo que forma la traza horizontal del plano).
3 – Hallar la traza vertical de la recta. Para ello donde la proyección horizontal corte a la línea de tierra se sube una vertical hasta la proyección vertical y esta es la traza de la recta.
4 – Trazar una segunda línea de tierra (para hacer un cambio de plano) perpendicular a la proyección horizontal de la recta horizontal.
5 – Cambiar de plano el punto A.
6 – Por el punto A en el cambio de plano trazar una línea que forme 45º respecto de la segunda línea de tierra. Esta es la traza del plano en el cambio de plano.
7 – Donde la traza del plano, en el cambio de plano, toque a la segunda línea de tierra se dibuja una perpendicular a la segunda línea de tierra (o una recta que forme 60º respecto de la primera línea de tierra). Esta es la traza horizontal del plano.
8 – Por el punto donde la traza horizontal del plano corte a la primera línea de tierra se une con la traza de la recta y esta es la traza vertical del plano.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 980

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Hallar el ángulo entre el plano definido por los puntos ABC y la recta CD.

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SOLUCIÓN

Los métodos posibles para hallar el ángulo son los mismos que los utilizados con las trazas.

POR CAMBIO DE PLANO

1 – Hallar una recta horizontal que pertenezca al plano.
2 – Haces el cambio de plano con las líneas de referencia paralelas a la recta horizontal (o la segunda línea de tierra perpendicular a la recta horizontal).
3 – Se cambia de plano el plano y la recta. El plano debe quedar proyectante.
4 – En el cambio de plano se puede medir el ángulo entre el plano (que se ve como una recta) y la recta dada.

MEDIANTE perpendicularidad Y ABATIMIENTO (forma corta)

5 – Hallar una recta horizontal y otra frontal que pertenezca al plano.
6 – Trazar una perpendicular al plano (perpendicular a la horizontal y a la frontal) por un punto de la recta dada.
7 – Abatir la recta dada y la perpendicular.
8 – El ángulo complementario (réstale 90º) del que forma la recta dada y la perpendicular en el abatimiento es el ángulo buscado.

MEDIANTE perpendicularidad Y ABATIMIENTO (forma larga)

9 – Hallar una recta horizontal y otra frontal que pertenezca al plano.
10 – Trazar una perpendicular al plano (perpendicular a la horizontal y a la frontal) por un punto de la recta dada.
11 – Hallar el punto de intersección entre la perpendicular al plano y este. También hallar el punto de intersección entre la recta dada y el plano.
12 – Unir ambos puntos de intersección.
13 – Abatir la recta dada y la obtenida con los puntos de intersección.
14 – El ángulo que forma la recta dada y la unión de los puntos de intersección en el abatimiento es el ángulo buscado.

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Hallar la altura de una pirámide regular de base un triángulo equilátero de lado 80 mm y ángulo diedro entre las caras laterales de 105º.

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SOLUCIÓN

Supongamos la pirámide, ABCD, ya construida (en el espacio, no en proyecciones diédricas).

Para medir el ángulo diedro de dos caras laterales, CDB y CDA, trazaríamos dos perpendiculares a la arista común, CD, desde un punto de ella, X. El ángulo entre ambas perpendiculares es el ángulo diedro, 105º.

El punto por el que pasan las perpendiculares, X, puede ser cualquiera de la arista común, CD, pero también se puede tomar de tal forma que las perpendiculares pasen por los vértices, A y B, de la pirámide. De esta forma conocemos tres datos del triángulo ABX : es isósceles, el ángulo X = 105º y el lado AB = 80 mm.

Otro triángulo importante en el trazado es CBX (o CAX, son iguales). De este triángulo también conocemos tres elementos : es rectángulo (X = 90º), el lado CB = 80 mm y el lado BX que se obtendrá del triángulo ABX.

La realización práctica es la siguiente :

1 – En proyección horizontal se dibuja la base, ABC, como un triángulo equilátero de lado 80 mm, con uno de sus lados, AB, perpendicular al plano vertical de proyección (o a la línea de tierra).

2 – El baricentro, O, del triángulo ABC se une con sus tres vértices y con ello tenemos la proyección horizontal completa de la pirámide, ABCD, buscada.

3 – Apoyándonos en el lado AB se dibuja un arco capaz de 105º y desde el centro de AB una perpendicular hasta cortar al arco. Este punto (X1) se une con A y B. El triángulo A-B-(X1) es el abatimiento del triángulo ABX alrededor de la traza AB. De esta forma hemos determinado la magnitud de AX o BX.

4 – A partir de BC se traza el arco capaz de 90º y se traza un arco con centro en B y radio la magnitud BX = B-(X1), obtenida del abatimiento anterior. Donde se corten, (X2), se une con B y C siendo el triángulo B-C-(X2) el abatimiento de BCX alrededor de BC.

5 – La proyección horizontal del punto X está en la perpendicular a su traza, AB, desde su abatimiento (X1). También estará en la perpendicular a la otra traza, BC, desde su abatimiento (X2). Donde se corten ambas, X, es su proyección horizontal.

6 – Dibujamos la base, ABC, en proyección vertical. Esta es una paralela a la línea de tierra, A’B’C’.

7 – En proyección vertical la cara ABD y ABX se ven proyectantes. En concreto la cara ABX tiene de longitud la altura, Z-(X1), del triángulo abatido A-B-(X1). Así que con centro en Z’ y radio Z-(X1) se traza un arco.

8 – Desde la proyección horizontal de X se dibuja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco anterior. El punto de corte es la proyección vertical X’.

9 – El punto X está en la arista CD, luego, uniendo X’ con C’ tenemos la recta en la que se encuentra el cuarto vértice de la pirámide, D. Si desde la proyección horizontal de D se traza una perpendicular a la línea de tierra donde corte a C’-X’ es la proyección vertical D’.

10 – Unir las proyecciones verticales A’, B’ y C’ con D’ y tenemos la proyección vertical completa de la pirámide.

11 – Si en proyección vertical bajamos una perpendicular a la línea de tierra desde D’ hasta la base A’B’C’ se obtiene la altura de la pirámide, H = O’-D’.

 

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ÁNGULOS – 979

Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 978

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Plano que contiene a una recta MN oblicua y forma 60º con el plano horizontal de proyección

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SOLUCIÓN

1 – Desde m’ trazas una línea que forme 60º con la línea de tierra. Da igual que se haga hacia la izquierda o derecha.

2 – Con centro en m y radio hasta donde la línea anterior ha cortado a la línea de tierra se hace un arco de circunferencia.
3 – Desde n se hace la recta tangente al arco de circunferencia, y esta es ya la traza horizontal del plano, p.
4 – Donde corte a la línea de tierra se une con m’ y ya se tiene la traza vertical del plano, p’

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 977

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El punto C(-100,37,19) es el centro de la base de una pirámide rectangular regular, cuyo vértice es el punto V(-81, y, 42). El plano que contiene a la base forma 50º con el plano horizontal de proyección, cortando a la línea de tierra lo más a la derecha posible.
Dibujar el plano.

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SOLUCIÓN

1 – Situar las proyecciones del punto C y la proyección vertical del vértice V.
I – Dibujar un cono de vértice C y que forme 50º con el plano horizontal de proyección.
2 – Desde la proyección vertical de C hacer una línea que forme 50º con la línea de tierra (generatriz del cono).
3 – Donde corte a la línea de tierra se baja una vertical hasta encontrarse con una horizontal que pasa por la proyección horizontal de C.
4 – Con centro en la proyección horizontal de C y radio hasta donde se corten la vertical y la horizontal anterior, dibujar una circunferencia (base del cono).
II – Dibujar una recta frontal perpendicular al eje de la pirámide.
5 – Por la proyección vertical de C trazar una recta perpendicular a la unión de las proyecciones verticales de C y V.
6 – Por donde corte a la línea de tierra se baja una vertical y por la proyección horizontal de C una paralela a la línea de tierra. Donde se corten ambas es la traza horizontal de la recta frontal.
III – Dibujar un plano tangente a la base del cono, que pase por la traza horizontal de la recta frontal y que sea perpendicular al eje de la pirámide.
7 – Desde la traza horizontal de la recta frontal hacer la recta tangente a la base del cono. Esta es ya la traza horizontal del plano.
8 – Por donde corte a la línea de tierra se levanta una perpendicular a la proyección vertical de C-V. Esta es la traza vertical del plano.

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Ejercicios de ÁNGULOS en diédrico – 975

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Hallar un plano que forme 73º con el plano horizontal de proyección, que corte a la línea de tierra a la derecha del origen y contenga a la recta AC, A(-24, 98, 18) y C(12, 0, 86).

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SOLUCIÓN

1 – Situar los dos puntos dados A y C.
2 – Desde las proyecciones verticales de los dos puntos se trazan sendas líneas que formen 73º con la línea de tierra.
3 – Desde donde cortan a la línea de tierra se bajan sendas perpendiculares. En realidad, como ahora veremos, a la línea que parte de C no hace falta por la posición especial de este punto, pero como caso genérico sí haría falta.
4 – Desde las proyecciones horizontales de ambos puntos se trazan paralelas a la línea de tierra. Para el punto C tampoco hace falta este paso, pero en general sí.
5 – Con centro las proyecciones horizontales de los dos puntos y radio hasta donde las paralelas a la línea de tierra se cortan con las perpendiculares (cada una con la suya) se trazan dos circunferencias. Para el punto C la paralela y la perpendicular a la línea de tierra se cortan en el mismo punto donde la línea que formaba 73º cortaba a la línea de tierra, por eso comenté antes que no hacia falta.
6 – Dibujar las tangentes a las dos circunferencias. La que corte a la línea de tierra a la derecha del origen (como pide el enunciado) es la traza horizontal del plano buscado.
7 – Donde la traza horizontal del plano corta a la línea de tierra se une con la proyección vertical del punto C (por estar situado en el plano vertical de proyección) y esta es la traza vertical del plano buscado. Si el punto C no estuviese sobre el plano vertical de proyección se hallaría la traza vertical de la recta AC y por ahí pasaría la traza vertical del plano.

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Ejercicios de afinidad – 999

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Conocido un rectángulo transformarlo en un cuadrado mediante una afinidad de eje conocido.

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SOLUCIÓN

1 – Halla el centro del rectángulo (punto de corte de las dos diagonales).

2 – Prolonga las dos diagonales hasta cortar al eje de afinidad.
3 – Con centro en el punto medio de la distancia que hay entre esos puntos, traza una semicircunferencia (verde).
4 – Por el punto medio del rectángulo dibuja dos paralelas a los lados del rectángulo.
5 – Prolóngalas hasta cortar al eje de afinidad.
6 – Con centro en el punto medio de la distancia que hay entre esos puntos, traza una semicircunferencia (rosa).
7 – Donde se corten los dos arcos es el centro del cuadrado.
8 – Une el centro del cuadrado con el centro del rectángulo y tienes la dirección de afinidad.
9 – Traza los afines de los vértices del rectángulo.

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Ejercicios de afinidad – 998

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Encontrar la afinidad cuyo eje coincide con el eje X, que transforma al cuadrado de diagonal A(4,2);C(8,6) en un paralelogramo tal su diagonal B’ D’ mida 7. Dibujar las dos soluciones posibles; sabiendo que la direccción de afinidad forma 45º con el eje x.

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SOLUCIÓN

Se debe trazar paralelas a la dirección de 45º por los vértices B y D.
En esas rectas estarán B’ y D’, y como deben medir 7, se traza con centro en cualquier punto de la recta que pasa por B’ un arco de radio 7.

Este arco corta a la recta que parte de D en dos puntos, que al unirlos con el centro del arco da las dos posibles direcciones (o soluciones) para la recta B’D’ (en mi dibujo X e Y).
El resto ya te será fácil, pero te lo comento. Prolongas BC hasta el eje y por ahí una paralela a una de las direcciones (yo lo he hecho a X). Donde corte a las rectas que parten de B y D, son sus homólogos B’ y D’

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Ejercicios de

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Calcular los ejes de la elipse afín a la dada de centro O, en una afinidad determinada por la dirección d, el eje y la razón k= – 3/2.

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SOLUCIÓN

5 – Dibujar la mediatriz de O-O’

6 – Donde corte al eje es el centro de una circunferencia de radio hasta O (circunferencia verde)
7 – Donde corte al eje, puntos 1 y 2, se unen con O y O’.
8 – Estas últimas cortan a la circunferencia en A, B, C y D.
9 – Por ellos se hacen paralelas a d hasta cortar a 1-O’ y 2-O’, dando sus afines A’, B’, C’ y D’.
10 – Estos puntos son los ejes de la elipse buscada.

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afinidad – 997

Ejercicios de afinidad – 996

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En una afinidad de eje EA los puntos O y O´son los centros respectivos de una circunferencia y su figura afín. Sabiendo que la recta t´ es tangente a la elipse: halla sus ejes.

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SOLUCIÓN

Lo primero es conseguir la circunferencia inicial, para ello debes determinar la recta afín de la tangente, los pasos son :
1 – Une un punto cualquiera de t’ (el x’) con O’

2 – Donde corte al eje se une con O
3 – Por x’ una paralela a O-O’ y ya tienes su afín x
4 – Prolonga t’ hasta el eje y únelo con x, ya tienes t la recta tangente a la circunferencia
5 – Desde O trazas la perpendicular a t y ese es el radio de la circunferencia buscada

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