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Figuras compuestas por varios triángulos – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 897

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El polígono 1 es un triángulo donde (d = 4/3 de c) y (c = 2/3 del lado del triángulo isósceles nº 2).
El polígono 2 es un triángulo isósceles donde (h = 8 cm) y (A = 30º).
El polígono 3 es un triángulo rectángulo donde (B = 15º).
El polígono 4 es un triángulo equilátero.
Los polígonos 5 y 6 son dos triángulos rectángulos.
El polígono 7 es un triángulo isósceles donde la altura (a = 3 cm).
Dibujar a escala 1/1 la composición y unir sus baricentros con una línea poligonal de forma ordenada desde el triángulo 1 al 7 y estos incluidos.

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SOLUCIÓN

Para el triángulo nº 2 :

Colocar la altura h dada.
Por su extremo inferior hacer una perpendicular.
Por el extremo superior hacer dos líneas a 30/2 = 15º hacia cada lado.
Prolongarlas y ya se tiene el triángulo nº 2.

Para el triángulo nº 1 :

Divide el lado izquierdo del triángulo nº 1 en tres partes.
Dos de las divisiones forman uno de los lados de triángulo nº 1.
Por el extremo levantar una perpendicular al lado del triángulo nº 1, y sobre él llevar 4 veces una de las divisiones en las que se dividió el lado del isósceles.
Con los dos catetos ya trazados hacer la hipotenusa.

Para el triángulo nº 3 :

Levanta por el extremo inferior del lado derecho del isósceles una línea perpendicular.
Por el otro extremo levanta una que forme 15º.
Prolongarlas ambas.

Para el triángulo nº 4 :

Con centro en los extremos del cateto inferior del triángulo nº 3 y radio ese mismo cateto, hacer dos arcos.
Donde se corten se une con su base y ya se tiene el nº 4.

Para los triángulo nº 5 y 6 :

Construye un cuadrado de lado igual al lado inferior del triángulo nº 2.
Divide el cuadrado en dos partes por la diagonal y ya tienes los dos triángulos.

Para el triángulo nº 7 :

Divide en dos partes iguales la parte del lado izquierdo del triángulo isósceles nº 2.
Por ese punto medio se levanta una perpendicular y sobre ella mide 3 cm.
Une esa altura con la base.

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Figuras compuestas por varios triángulos – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 896

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En el triángulo isósceles a altura (a = 8 cm).
En el triángulo rectángulo el lado (d = 5 cm).
En el cuadrado el lado (b = 5 cm).
En el triángulo el lado (c = 8 cm).
Dibujar a escala 1/1 la composición y calcular la superficie de la misma.

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SOLUCIÓN

Para el cuadrado :

Construye un cuadrado de lado b = 5 cm.

Para el triángulo rectángulo :

Por el vértice superior izquierdo levanta el ángulo de 30º.
Por el vértice superior derecho levanta 90º.
Prolongando las dos se tiene el triángulo rectángulo.

Para el rectángulo :

A partir del cateto vertical del triángulo rectángulo levanta líneas perpendiculares y mide sobre ellas la medida d = 5 cm.
Uniendo los extremos se tiene el rectángulo.

Para el triángulo isósceles :

Hallar el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Por ese punto medio levantar una perpendicular y medir a = 8 cm.
Unir con los extremos de la hipotenusa.

Para el triángulo que envuelve a la circunferencia :

Unir los extremos del cuadrado con el del rectángulo.

Para la circunferencia :

Halla dos bisectrices del triángulo anterior.
Donde se corten es el centro de la circunferencia (incentro).
Desde el incentro trazar una perpendicular a cualquiera de los tres lados del triángulo y ese es el radio.

Para el triángulo inferior :

A partir del extremo inferior de la hipotenusa del triángulo que envuelve a la circunferencia, levantar una línea que forme 120º.
Con centro en el vértice izquierdo inferior se hace un arco de radio c = 8 cm.
Donde corte a la línea de 120º es el tercer vértice de este triángulo.

Para el trapecio :

A partir del extremo superior de la hipotenusa del triángulo que envuelve a la circunferencia, levantar una línea que forme 120º.
Por el extremo inferior del triángulo más bajo trazar una paralela a la hipotenusa del triángulo que envuelve a la circunferencia.

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Definicion de triángulo autopolar – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 895

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¿ Qué es un triángulo autopolar ?.

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SOLUCIÓN

Doy el significado de varios términos, pues unos hablan de los otros.
Un triángulo es autopolar, respecto de una curva cónica, si la polar de cada vértice, respecto de la cónica es la recta que contiene a los otros dos vértices.
Un triángulo autopolar es idéntico con su triángulo polar.

El triángulo polar de uno original respecto de una curva cónica es el triángulo determinado por las rectas polares de los vértices del triángulo inicial respecto de la cónica.

Recta polar, de una circunferencia, de polo un punto exterior a la misma, es aquella que contiene a los puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde el polo a dicha circunferencia.

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Construcción del triángulo autopolar.

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SOLUCIÓN

Una primera aclaración, el polo es un punto y la polar una recta. De hecho se debería decir «recta polar» pero como en muchas otras cuestiones se simplifica y se suele quitar el término «recta» denominándola solo «polar».

En general (después hablaré del caso particular que expones), para determinar el triángulo autopolar se siguen los siguientes pasos :

a) Se parte de una circunferencia (el círculo director), una recta (una polar y a la vez la recta sobre la que se apoyara uno de los lados del triángulo autopolar) y un punto sobre la recta (uno de los vértices del triángulo autopolar).
b) Se determina la recta polar del punto dado.
c) Donde corte la recta polar del punto dado a la recta del enunciado será el segundo vértice del triángulo autopolar.
d) Se dibuja la recta polar del ese nuevo punto.
e) Donde se corten las dos rectas polares (la del punto dado y la del segundo conseguido) es el tercer vértice del triángulo autopolar.
f) Ya se tienen tres vértices del triángulo autopolar, ahora viene lo difícil, dibujar un triángulo con esos tres vértices.

 

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Triángulo conocido un lado y las relaciones entre dos lados b/c, b² – c².

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SOLUCIÓN

Al término b² – c², le llamaré x², con lo que x² = b² – c². Esto no es exactamente el teorema de Pitágoras ya que debería estar sumando (yo le suelo llamar el primo de Pitágoras, por que se parece pero no lo es). Ahora bien si pasas c² al otro lado queda x² + c² = b², que sí que es Pitágoras donde x y c son los dos catetos y b la hipotenusa.
El otro dato es la razón b/c a la que llamaré «y».
Como ves las cantidades b y c están relacionadas con un triángulo rectángulo; que no significa que el triángulo buscado sea de ese tipo. Pero nos ayudará para buscarlas, construyendo primero un triángulo rectángulo semejante que después se ampliará (homotecia) al tamaño dado.

La solución es :

1 – Dibuja dos líneas perpendiculares. Cada una será un cateto, llevando longitudes cualesquiera que cumpla la razón y = b/c. Si «y» te lo dan como una fracción, por ejemplo 3/2, pones 3 unidades en la hipotenusa y 2 en el cateto. Si «y» te lo dan como un entero, por ejemplo 3, colocas 3 unidades en la hipotenusa y 1 en el cateto.
2 – Hallas cuanto es la raíz cuadrada de x (media proporcional entre x² y la unidad).
3 – Colocas el valor obtenido sobre el cateto del triángulo anterior en el cateto sobre el que no se llevo las medidas de la razón «y».
4 – Haces un triángulo semejante al primero con esa medida, y la hipotenusa es el valor de b y el otro cateto el de c.
5 – Ya tienes a, b y c, hacer un triángulo con los tres lados.

 

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Trazar dos circunferencias tangentes a los lados de un triángulo – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 892

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Hallar dos circunferencias iguales tangentes entre sí, además de ser tangente cada una a un lado distinto de un triángulo conocido y tangentes ambas al tercer lado.

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SOLUCIÓN

1 – Se traza una circunferencia de radio cualquiera tangente a dos lados (la de centro x’), y otra de igual radio tangente a ella y al mismo lado.

2 – Trazar una tangente al lado BC por la segunda circunferencia (lado B’C’).
3 – Unir el vértice A con el centro X’, y este a su vez con B’.
4 – Por el vértice B se hace una paralela a B’X’.
5 – Donde esta última corte a AX’ es el centro de la circunferencia buscada, X.
6 – Por X se hace una perpendicular a AB y ese es el radio de la circunferencia buscada.
7 – Trazar la otra.

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Tres circunferencias tangentes interiormente a un triángulo isosceles – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 891

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Dibujar tres circunferencias tangentes interiormente a un triángulo isósceles, ABC, cada una a dos lados del triángulo y tangentes entre sí exteriormente.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar la bisectriz de uno de los ángulos, A por ejemplo, y hacer una circunferencia, centro 1′, de radio cualquiera tangente a dos lados.

2 – Trazar otra igual tangente a ella y a un mismo lado, la de centro 2′.
3 – Hallar una tercera circunferencia, 3′, tangente a las dos anteriores, 1′ y 2′, y a uno de los lados, AC.
4 – Hacer una recta, B’C’, paralela al lado BC y tangente a las circunferencias 2′ y 3′.
5 – Unir 1′ con B’ y después una paralela a ella por B. Donde corte a la bisectriz de A es el centro de la circunferencia buscada, 1, su radio mediante una perpendicular a AB por 1.
6 – Hacer otra igual, centro 2, tangente a la primera.
7 – Unir el centro 1′ con 3′ y trazar una paralela por 1 hasta cortar a la bisectriz de C. Este será el centro 3 de la tercera circunferencia, de radio hasta donde la unión de 1 con 3 corta a la circunferencia de 1.

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Cuadrado inscrito en un triángulo – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 890

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Construcción de un cuadrado inscrito en un triángulo ABC, con un lado apoyado sobre AB y los otros dos vértices sobre los otros dos lados del triángulo.

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SOLUCIÓN

1 – Desde un punto cualquiera, 1′, levanta una perpendicular al lado AB, hasta tocar al lado contiguo (punto 2′).

2 – Dibuja un cuadrado con lado 1′-2′.
3 – Une el vértice A con 3′ hasta cortar al otro lado del triángulo (punto 3).
4 – Desde el punto 3 se baja una perpendicular a AB, y este, 3-4, es el lado del cuadrado buscado.

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Triángulo isosceles con dos vértices apoyados en dos rectas – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 889

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Conocidas dos rectas concurrentes y un punto P exterior a ambas, construir un triángulo isósceles con dos de sus vértices en cada una de las rectas y el tercer vértice en el punto P y tal que el ángulo en el vértice P sea de 120º.

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SOLUCIÓN

1 – Girar las dos rectas dadas, R y S, alrededor del punto dado, P, un ángulo igual a 120º.

2 – Donde R’ (recta girada) corte a S (recta original) es uno de los vértices del triángulo, punto 1.
3 – Unir con el punto P y hacer una recta que mida 120º respecto de 1-P, donde corte a la otra recta, R, es el punto 2 (tercer vértice del triángulo).

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triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y las medianas perpendiculares – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 888

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Dibujar un triángulo ABC rectángulo en A, conociendo la hipotenusa y sabiendo que las medianas de A y B son perpendiculares.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar la hipotenusa a = BC.

2 – Con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de esta se traza una semicircunferencia (arco capaz de 90º), en azul. En este arco estará el vértice A.
3 – Con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio la tercera parte de la mitad de la hipotenusa, (BC / 2) / 3 = BC / 6, se hace un arco (en magenta). La mediana va desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vértice A y como este está en el arco capaz de 90º su longitud es BC / 2. El baricentro está a un tercio de la mediana respecto del lado, luego la distancia desde el punto medio del lado hasta el baricentro es (BC / 2) / 3 = BC / 6.
4 – La mediana que parte de B y la de A son perpendiculares, así que trazaremos el arco capaz de 90º entre los puntos de los que parten (vértice B y punto medio de BC), arco negro.
5 – El baricentro, G, está donde se corten los dos últimos arcos.
6 – Uniendo el baricentro, G, con el punto medio del lado BC y prolongándolo hasta cortar al primer arco capaz se obtiene el vértice A.

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