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triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y las medianas perpendiculares – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 887

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Dibujar un triángulo conocidas las tres bisectrices y un punto por el que pasa un lado.

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SOLUCIÓN

1 – Desde el punto P dado se traza el simétrico, P’, respecto de la bisectriz 3. Ese nuevo punto estará sobre otro de los lados.

2 – Volvemos a trazar el simétrico de P respecto de la bisectriz 1, P". También este punto estará en uno de los lados.
3 – Un nuevo simétrico, P’", del último punto P" respecto de la bisectriz 2, nos da un punto que está en el mismo lado que P’.
4 – Uniendo P’ con P’" tenemos uno de los lados, BC, hasta donde corta a las bisectrices 2 y 3.
5 – Hallar el simétrico de BC respecto de las bisectrices 2 y 3 y tenemos los otros dos lados, AB y AC.

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Dibujar un triángulo conociendo su perímetro p = a + b + c y los ángulos B y C.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el perímetro (recta XY).

2 – Desde los extremos levanta ángulos iguales a la mitad de los dados.
3 – Donde se corten es el vértice C del triángulo buscado.
4 – Desde ese vértice levanta ángulos de valor igual a los dados, respecto de la recta que contiene al perímetro.
5 – Donde la corten son los otros dos vértices.

 

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Ejercicios de traslación – 999

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Dibujar las circunferencias de 30 mm, de radio que determinen al cortarse con el eje de las X, cuerdas de 40 mm y que se vean desde V(0, 35) bajo un ángulo de 60º (la circunferencia).

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SOLUCIÓN

Vamos a localizar el centro de la circunferencia con una traslación y un giro :

Dibujar los ejes X e Y, y sitúa el punto V.
Hacer un ángulo de 60º con vértice en V y cualquier orientación. Por ejemplo se puede hacer una paralela al eje X por V y después levantar ángulos de 30º hacia cada lado.
Hacer paralelas a las líneas del ángulo separadas una distancia igual al radio de la buscada, 30 mm. Donde se corten es el centro de una circunferencia tangente (que se ve) al ángulo de 60º. No es necesario llegar a dibujar la circunferencia.
Con centro en V y radio hasta el centro localizado se hace un arco. En ese arco estará el centro buscado.
En cualquier lugar del eje X se dibuja un segmento de 40 mm.
Con centro en los extremos y radio 30 mm se hacen sendos arcos que se cortarán en un punto.
Hacer una paralela al eje X por ese último punto.
Donde esa última paralela al eje X corte al arco que se hizo con centro en V (dos soluciones) son los centros de las circunferencias buscadas.

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circunferencia que pasa por un punto Ejercicios de traslación – 998

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Dibujar una circunferencia de radio 5 cm, que pase por el punto P y corte a la recta R según una cuerda de 4 cm.

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SOLUCIÓN

1 – En cualquier lugar de la recta se traza un segmento de 4 cm, A-B.

2 – Con centro en A y B se hacen sendos arcos de radio 5 cm.
3 – Donde se corten, C’, se traza una circunferencia de radio 5 cm.
4 – Ahora aplicaremos una traslación. Por el punto P se hace una paralela a la recta R hasta cortar a la circunferencia (punto X).
5 – Por el centro C.

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Hay dos pueblos, A y D, separados por un río y se tiene que construir un puente en perpendicular al río de tal forma que la distancia entre los dos pueblos sea la menor.

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SOLUCIÓN

Sean A y D las dos ciudades, como se aprecia en el gráfico, que por cierto ya sé que es muy poco «técnico» pero a veces hay que «divertirse» y reírse un poco de tanta exactitud técnica.

Por una de las ciudades, por ejemplo A, se traza una perpendicular al río de longitud igual a la anchura del cauce (segmento AX).

Se une el extremo X con la otra ciudad (segmento XD).

Donde corte a la orilla del río, punto C, es el punto donde se iniciará la obra del puente.

Por ese extremo se dibuja el puente (segmento BC) perpendicular a la orilla, y se une con la primera ciudad.

El camino final es A-B-C-D.

 

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traslación – 997

Ejercicios de traslación – 996

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Dadas las rectas r, s, y t dibuja un triángulo equilátero de lado 27 mm de manera que tenga un vértice en cada recta.

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SOLUCIÓN

1 – Elegir un punto cualquiera, X, en la recta S y con radio el lado del triángulo, 27 mm, se traza un arco que corte a la recta R (punto Y).

2 – Unir ambos puntos, X e Y.
3 – Con centro en X e Y hacer dos arcos de radio el lado del triángulo equilátero, 27 mm. El punto de corte es Z.
4 – Dibujar una paralela a las rectas R o S por Z.
5 – Donde corte a la recta T es el primer vértice, A, del triángulo buscado.
6 – Por A trazar una paralela a ZX y donde corte a la recta S es el segundo vértice del triángulo, B.
7 – Por A trazar una paralela a ZY y donde corte a la recta R es el tercer vértice del triángulo, C.
8 – Unir los tres vértices, ABC.
Existen dos soluciones, una a cada lado de la recta T.

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Construir un cuadrilátero ABCD inscriptible A (3, -5) y C (9, -5), sabiendo que AB = 5 cm, BC = 10 cm y CD = 9 cm.

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SOLUCIÓN

La posición de A y C quedan determinados por sus coordenadas.
El B es fácilmente determinable con solo hacer arcos en A y C con los radios AB = 5 cm y BC = 10 cm.
De idéntica forma se hará un arco con centro en C y radio CD = 9 cm.
El vértice D estará en ese arco. Para determinar el punto exacto es necesario saber que «en un cuadrilátero inscriptible los ángulos opuestos son suplementarios».
Así, conocido el ángulo B, el D es su suplementario. Luego haciendo el arco capaz de (180º – B) con respecto a AC se obtiene un arco que donde corte al arco de radio CD da el vértice D.

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TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 999

Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 998

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¿ Cuáles son las propiedades de los cuadriláteros inscriptibles ?

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SOLUCIÓN

1º – Un cuadrilátero inscriptible es el que tiene sus vértices apoyados en una circunferencia (o que está inscrito en ella).
2º – Todos los cuadriláteros inscriptibles tienen sus ángulos opuestos suplementarios.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 997

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Dibujar el cuadrilátero inscriptible ABCD sabiendo que AC = 68 mm, AB = (3/4)·AC y ADC = 60º.

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SOLUCIÓN

Aun así le faltaría algún dato como por ejemplo el lado AD. En ese caso se resolveria así:
Dibujas la diagonal dada AC.

A partir de ella se construye el arco capaz del ángulo dado ADC. En dicho arco debe estar el vértice D. Pero si se continua el arco capaz por su parte inferior se obtiene el arco capaz del suplementario, que es donde estará el vértice opuesto B, ya que al ser inscriptible los ángulos opuestos deben ser suplementarios.

Con centro en A y radio AB se determina el vértice B sobre el arco capaz suplementario.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 996

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Cuadrilátero ABCD, tal que AB = 75 mm, DAB = 75º, BCD = 105º, DCA = 15º y AD = CD. (Selectividad Madrid 2009).

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado AB.

2 – Por el vértice A levantar el ángulo DAB = 75º.
3 – Por el vértice A levantar un ángulo de 75º – 15º = 60º.
4 – Desde el vértice B levantar un ángulo de valor 180º – (105º – 15º) – (75º – 15º) = 30º.
5 – Donde se corten las dos últimas es el vértice C.
6 – Respecto de C hacer un ángulo de 105º respecto de B-C (o de 15º respecto de C-A).
7 – Donde corte al ángulo de 75º que partía de A es el vértice D.

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