Autor: Administrador

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Determinación de los puntos de corte de una recta en una parábola

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SOLUCIÓN

1 – Halla el simétrico del foco de la parábola respecto de la recta dada, F’.

2 – Prolonga la recta F-F’ hasta cortar a la recta directriz, X.

3 – Hallar el punto medio de X-F’ y con centro en ese punto y radio hasta F’ se traza una circunferencia.

4 – Por el foco se hace una paralela a la recta dada.

5 – Esta última corta a la circunferencia anterior en los puntos Y y Z.

6 – Con centro en X y radio hasta Y o Z se hace un arco hasta cortar a la recta directriz, W1 y W2.

7 – Por esos puntos, W1 y W2, se levantan perpendiculares a la recta directriz hasta que toque a la recta dada, R. Los puntos donde le tocan, P1 y P2, son los puntos de corte de la recta con la parábola.

 

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parábolas – 969

Ejercicios de parábolas – 968

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Determinación de la recta directriz de una parábola sección de un cono recto.

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SOLUCIÓN

Para determinar la recta directriz (usando el teorema de Dandelin) una vez determinada la esfera tangente al plano y al cono, se traza un plano que contenga a la curva de contacto entre el cono y la esfera, o dicho de una manera más simple, se traza una línea que una los puntos de contacto (tangencia) del triángulo (proyección del cono) y la circunferencia (la proyección de la esfera), donde corte a la traza del plano es la recta directriz, que en nuestro caso se ve como un punto, d’, en proyección vertical (recta de punta).

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Ejercicios de parábolas – 967

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¿ Cómo es el plano que secciona a un cono para que dé una parábola ?

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SOLUCIÓN

Las distintas curvas cónicas dependen de como se tome el plano que secciona al cono, así :
a) Cuando el plano seccionante y el plano base del cono son paralelos, o dicho de otra forma, cuando el plano seccionante y el eje del cono son perpendiculares, se obtiene una circunferencia.

b) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es menor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante es mayor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una elipse
c) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es igual que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es igual al ángulo de cualquier generatriz con el eje, se obtiene una parábola
d) Cuando el ángulo del plano seccionante con la base de cono es mayor que el ángulo de las generatrices con la base, o de otra forma, cuando el ángulo entre el plano seccionante y el eje es menor que el ángulo entre cualquier generatriz y el eje, se obtiene una hipérbola.

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Ejercicios de parábolas – 966

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Conocido un plano que secciona a un cono recto o de revolución, determinar el tipo de curva cónica que genera.

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SOLUCIÓN

Según sea el ángulo que forma el plano con el eje del cono (ángulo beta) y el semiángulo del cono (ángulo alfa), el que forma el eje con las generatrices, se sabe que tipo de curva es :
a) Si el ángulo del plano (beta) es mayor que el del cono (alfa), la curva es una elipse

b) Si el ángulo del plano (beta) es menor que el del cono (alfa), la curva es una hipérbola

c) Si el ángulo del plano (beta) es igual que el del cono (alfa), la curva es una parábola

d) Si el ángulo del plano (beta) es recto respecto del eje del cono, la curva es una circunferencia

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Óvalo conocidos los dos ejes (mayor y menor). Método del óvalo óptimo

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SOLUCIÓN

1 – Traza los dos ejes perpendiculares uno al otro (AB y CD).

2 – Unes A con D.

3 – A partir del centro O, llevas la medida AO, sobre DO, lo que te da el punto X.

4 – Con centro en D y radio hasta X, trazas un arco hasta cortar a AD, punto Y.

5 – Hallas la mediatriz de AY.

6 – Donde corte a AO es uno de los centros (punto 1).

7 – Donde corte a OC es el segundo centro, (punto 2).

8 – Por simetría respecto de O haces los otros dos centros (no marcados).

9 – Con centro en 1 y radio hasta A trazas un arco hasta la mediatriz de AY.

10 – Con centro en 2 y radio hasta D trazas un arco también hasta la mediatriz.

11 – Repite con los otros dos centros simétricos.

 

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Ejercicios de óvalos – 998

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óvalo con tres circunferencias concentricas.

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SOLUCIÓN

Dados los ejes AB y CD :
1 – Se dibujan tres circunferencias con centro en O y radios igual al semieje menor, al semieje mayor y a la suma de ambos.

2 – Se traza una serie de radios que cortan a las tres circunferencias, por ejemplo, en los puntos E, F y G.
3 – Por el punto E de intersección con la circunferencia menor se traza una paralela al eje mayor y, al revés, por el punto F de intersección con la circunferencia mayor se traza una paralela al eje menor. Ambas paralelas se cortan en el punto H.
4 – El punto G de intersección de la circunferencia exterior con el radio correspondiente se une con el punto H hasta cortar al eje CD en el punto 03.
5 – Donde la recta IJ se corta con la recta GH se obtiene el punto 02.
6 – Donde IJ corte al eje mayor será el tercer centro, O1.
7 – Esta operación se repite con todos los puntos hallados, obteniendo así los centros de los arcos que forman el óvalo.

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Ejercicios de óvalos – 997

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óvalo conocido sus ejes, AB y CD, y el radio, R, de los arcos que pasan por los extremos del eje mayor.

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SOLUCIÓN

1 – A partir de los extremos de los ejes, A y C, llevar una distancia igual a la del radio dado, R. El punto que está sobre el eje mayor, O1, es uno de los centros.

2 – Unir los dos puntos, X y O1. Dibujar su mediatriz. Donde la mediatriz corte al eje menor, O2, es otro de los centros.
3 – Por simetría (o repitiendo el procedimiento) se obtienen los otros dos centros, O3 y O4.
4 – Unir los centros entre sí para determinar los puntos de tangencia.
5 – Con centro en O1 y O3 y radio R trazar los arcos que hay entre O2-O3 y O3-O4 y entre O4-O1 y O1-O2.
6 – Con centro en O2 y O4 y radio hasta los extremos del eje menor, A y B, dibujar los otros dos arcos.

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Ejercicios de óvalos – 996

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Óvalo conocido los dos ejes (Óvalo óptimo).

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SOLUCIÓN

1 – Unir los extremos de los semiejes, A y C.

2 – Por esos mismo extremos dibujar unas paralelas a los ejes.
3 – Estas dos últimas más la primera forma un triángulo rectángulo. Determinar el incentro, I, de este triángulo.
4 – Por el incentro, I, trazar una perpendicular a la unión de los extremos de los ejes, AC.
5 – Donde esta última corte a los ejes son dos de los centros, O1 y O2.
6 – Determinar los otros dos centros por simetría, O3 y O4.

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Reproducir la figura indicando claramente los centros y puntos de tangencia de los diferentes arcos de enlaces. ( Prueba de acceso al grado superior 2008 )

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una horizontal de 25 mm de longitud (extremos A y B).

2 – Con centro en A y B trazar dos semicircunferencias verticales de diámetro 5 mm.
3 – Unir los extremos de las dos semicircunferencias mediante dos horizontales.
4 – Desde el punto medio de AB bajar una vertical de longitud (5/2) + 31, punto C. A partir de ahí medir 20 mm, punto D y bajar 10 mm más, punto E.
5 – Con centro en C diámetro 28 mm se traza una circunferencia. Con centro en D y radio 5 mm se dibuja otra. Con centro en C y radio 32 – (28/2) se dibuja un arco. Con centro en D y radio 32 – 5 se dibuja otro arco. Donde se corten los dos arcos es el centro F.
6 – Con centro en C radio 22 mm dibujar una circunferencia.
7 – Con centro en B y radio (5/2) +10 se dibuja un arco. Con centro en C y radio 22 +10 se dibuja otro arco. Donde se corten los dos es el centro G de la circunferencia de radio 10 mm.
8 – Con centro en E y radio 12 mm dibujar una circunferencia.
9 – Con centro en E y radio 60 -12 trazar un arco. Con centro en C y radio 60 – 22 dibujar otro arco. Donde se corten ambos es el centro H de los arcos de radio 60 mm

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Ejercicios de óvalos – 994

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Cómo realizar circunferencias (elipses) en perspectiva caballera, mediante el compás.

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SOLUCIÓN

Circunferencias en perspectiva caballera. Elipses sustituidas por un óvalo.

1 – Este procedimiento solo es aplicable cuando no se emplee el coeficiente de reducción. Cuando se utilice el coeficiente de reducción la proyección caballera de una circunferencia (en los planos XY o YZ) es una elipse que no se puede sustituir por este óvalo.
2 – Por el centro O trazar dos paralelas a los ejes deseados ( XY o YZ ), AB y CD. Ambos con la medida del diámetro en verdadera magnitud.

3 – Por sus extremos, A-B-C-D, se dibujan paralelas a los ejes, formando la "caja" o romboide que lo envuelve. En realidad esto no hace falta para nada, pero en todos lados se cuenta así y yo no voy a ser menos.
4 – Por los extremos, A-B-C-D, se trazan perpendiculares a los ejes. Es decir, por A y B una perpendicular a CD y por C y D una perpendicular a AB.
5 – Donde se corten, O1-O2-O3-O4, son los cuatro centros del óvalo que sustituirá a la elipse.
6 – Con centro en O1 y O2 y radio hasta los extremos de los ejes más próximos se trazan dos de los cuartos del óvalo (en color magenta).
7 – Con centro en O3 y O4 y radio hasta los extremos de los ejes más alejados se trazan los otros dos cuartos del óvalo (en color verde).

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