Autor: Administrador

Ejercicios resueltos de inversión – 995

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Selectividad Junio 2008

Determinar la figura A’B’C’D’, inversa de la ABCD dada, en una inversión de centro O que convierte el punto A en el A’.

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SOLUCIÓN

1 – Se determina la circunferencia de autoinversión (la que pasa por X) a partir del par de puntos inversos A-A’

2 – Prolongando el segmento A-D-C hasta la circunferencia de autoinversión se obtienen un par de puntos dobles, Y y Z. La inversa del segmento ADC es una circunferencia que pasa por Y-Z-O-A’. Aunque solo el arco A’-D’-C’ es la solución.
3 – La inversa de la circunferencia que pasa por A-B-C es una circunferencia concéntrica que pasará por el inverso de A, A’. Solo el arco A’-B’-C’ es la inversa del arco dado.

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Ejercicios resueltos de inversión – 994

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Inverso de un punto, B y C, conocido el centro de inversión, O, y un punto doble, A-A’

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SOLUCIÓN

Caso I, punto B (El punto es exterior a la circunferencia de autoinversión)

1 – Hacer una circunferencia de centro el centro de inversión, O, y radio hasta el punto doble, A-A’. Esta es la circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles.

2 – Unir el punto dado, B, con el centro de inversión, O.
3 – Con centro en el punto medio de B-O y radio hasta B trazar un arco.
4 – Por el punto, T, de corte del arco con la circunferencia, hacer una perpendicular a B-O y donde la corte es el inverso, B’, del punto B.

Caso II (El punto es interior a la circunferencia de autoinversión)

a – Hacer una circunferencia de centro el centro de inversión, O, y radio hasta el punto doble, A-A’. Esta es la circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles.

b – Unir el punto dado, C, con el centro de inversión, O.
c – Trazar una perpendicular a C-O por C.
d – Donde corte a la circunferencia, T, se une con O.
e – Trazar una perpendicular a T-O por T y donde corte a C-O es el inverso, C’, del punto dado, C

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Hallar la figura inversa de una circunferencia C, que no pasa por el centro de inversión, conociendo el centro de la inversion O y la pareja de puntos inversos A, A´

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SOLUCIÓN

1 – Con el centro de inversión y la pareja de puntos inversos se determina la circunferencia de puntos dobles o de autoinversión. Puedes ver como se hace en este enlace inversion_996.htm
2 – Hallas el inverso de dos puntos cualquiera de la circunferencia. Puedes recordar como se hace esto en este enlace inversion_994.htm
3 – Hallar la mediatriz de los dos puntos inversos
4 – Donde la mediatriz anterior corte a la recta que une el centro de inversión con el centro de la circunferencia es el centro de la circunferencia inversa. Su radio es hasta uno de los puntos inversos hallados.

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Ejercicios resueltos de inversión – 992

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Figura inversa de un cuadrado ABCD de 40 mm de lado, centro de inversión en A y potencia de inversión K = 36 cm².

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SOLUCIÓN

1 – Se determina el valor del radio de la circunferencia de autoinversión (o de puntos dobles) mediante la raíz cuadrada de 36. Obtenida esta se dibuja dicha circunferencia.

2 – Prolongar el lado DC hasta cortar a la circunferencia de autoinversión, puntos 1 y 2. La inversa de dicha recta es la circunferencia que pasa por el centro de inversión, O = A, y los puntos dobles 1 y 2. Al unir los vértices D y C con el centro de inversión, O, se obtienen sus inversos, D’ y C’, siendo el inverso del segmento CD el arco C’D’.
3 – Se opera de igual modo para determinar el inverso de BC.
4 – El inverso del punto A está en el infinito (es impropio). La recta que pasa por AD es doble por lo que su inverso es ella misma. Pero el inverso del segmento AD es el rayo que parte de D’ y sigue hacia el infinito (no el que hay entre D’ y A).
5 – El inverso de AB se obtiene igual.

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Hallar el centro de inversión que transforma tres puntos dados no alineados en los vértices de un triángulo equilátero

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SOLUCIÓN

Pueden ver dos soluciones distintas en el foro, pulsar aquí.

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INVERSIÓN – 991

Ejercicios resueltos de inversión – 990

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¿ Qué son rectas antiparalelas ?

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SOLUCIÓN

Para comprender el concepto de rectas antiparalelas es preciso primero entender que son rectas paralelas.
Para definir dos rectas paralelas se pueden utilizar dos conceptos :
Utilizando distancias : dos rectas son paralelas cuando la distancia entre ambas se mantiene igual.
Utilizando ángulos : dos rectas son paralelas cuando forman el mismo ángulo y en el mismo sentido con una tercera tomada como referencia.

Aunque la última forma no es la definición más habitual es la que nos interesa.
Dos rectas son antiparalelas cuando los ángulos que forman respecto de dos rectas convergentes son iguales, pero medidos en rectas contrarias.

Los ángulos son iguales de cualquier forma que se midan :

Los ángulos iguales guardan la orientación respecto de las dos rectas de referencia y de su punto de corte; así, si uno de los dos ángulos está abierto hacia el punto de corte de las dos rectas el otro también lo estará, o si uno de los ángulos es exterior al ángulo que forman las dos rectas de referencia también lo será el otro.

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Ejercicios resueltos de inversión – 988

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Dada una circunferencia de centro C, el centro de inversión O (situado sobre la circunferencia), el punto A (a la derecha de O) y su inverso A’ (a la izquierda de O y también sobre la circunferencia), averiguar la figura inversa de la circunferencia.

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SOLUCIÓN

La solución es tan simple como unir el centro de la circunferencia con el centro de la inversión y por el punto A hacer una perpendicular a esa unión.

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Ejercicios resueltos de inversión – 987

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Hallar las circunferencias tangentes a la recta R y que pasen por el punto P, con sus centros en la recta T.

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SOLUCIÓN

Si se hace el simétrico de P respecto de T, se obtiene un segundo punto perteneciente a la circunferencia buscada.
El problema queda transformado en buscar las circunferencias que sean tangentes a la recta R y pase por dos puntos (el P dado y su simétrico).

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Hallar las circunferencias tangentes a la circunferencia A, que pasen por el punto P y tengan su centro en la recta R.

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SOLUCIÓN

1 – Supón el ejercicio resuelto (las soluciones están en línea blanca gruesa). El punto P dado es de la circunferencia buscada y el centro debe estar sobre la recta R, si quisiéramos trazar una recta tangente se haría una perpendicular al radio que une el punto de tangencia deseado, P, con el centro, y esa es la recta R dada, luego al hacerle una perpendicular a R por el punto P se ha dibujado una recta tangente a la circunferencia buscada (en amarillo).

2 – Ahora recordemos una propiedad (esta es solo una hay otras) fundamental del centro radical de dos circunferencias : «el centro radical es el punto por el que pasan las tangentes a tres circunferencias que miden lo mismo». Se puede expresar de otras formas pero así está más claro lo que quiero hacer, y es buscar el centro radical, por que ya que tengo una tangente, si localizo otra que mide lo mismo respecto de la circunferencia dada A, tendré los puntos de tangencia de la solución con la dada.

3 – Para determinar el centro radical se dibujan dos ejes radicales y donde estos se corten es el centro radical. Como la circunferencia dada debe tener su centro sobre la recta R, buscaré una cualquiera con su centro en dicha recta R, que pase por P y que corte a la dada A (la que está en magenta). Así la recta que se hizo perpendicular a R por P ya es un eje radical entre la circunferencia buscada y la elegida al azar (por ser las dos tangentes en P).

4 – Se determina el otro eje radical (entre la elegida al azar y la dada A), simplemente uniendo los puntos de corte de ambas (en azul). Donde se corte con la anterior es el centro radical (marcado en rojo con C.R.).

5 – Si con centro en el centro radical (C.R.) y radio hasta el punto P hago un arco (línea fina roja) corta a la circunferencia dada en T1 y T2. Lo que he hecho ha sido localizar los puntos de tangencia de la circunferencia dada A que miden lo mismo que la tangente desde la circunferencia buscada.
También se podría hacer las tangentes (línea blanca fina discontinua) a la circunferencia dada A desde el centro radical (C.R), y se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 (cada uno es para una solución distinta).

6 – Los puntos obtenidos son los puntos de tangencia con la circunferencia dada, para hallar los centros de la solución basta con unirlos con el centro de la circunferencia dada.

 

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