Mes: octubre 2014

Ejercicios de afinidad – 981

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Definida una afinidad ortogonal por el eje, e, y el par de puntos afines P-P’, representar los ejes de la cónica homóloga a la circunferencia dada, que es tangente al eje.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el punto P de la circunferencia con su centro O hasta cortar al eje, e, de la afinidad.

2 – El punto de corte con el eje se une con P’ homólogo de P.
3 – Por el centro de la circunferencia, O, se levanta una perpendicular al eje, e, y donde corte a la recta anterior es el centro O’ de la elipse.
4 – El punto de tangencia de la circunferencia con el eje es un punto doble, A = A’, y extremo de uno de los ejes de la elipse.
5 – Por el centro de la circunferencia, O, dibujar una paralela al eje de afinidad, e, y sus puntos de corte con la circunferencia, B y D.
6 – Su afín es un paralela al eje por el centro de la elipse, O’, y mediante unas perpendiculares al eje, e, por B y D se obtienen sus afines, B’ y D’, eje de la elipse.

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Ejercicios de afinidad – 980

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Afinidad de un rectángulo, ABCD, conocido el afín de uno de ellos, A’, y que la dirección de afinidad es paralela al eje de afinidad.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el vértice A con B.

2 – Unir el punto de corte con el eje, X, con el afín A’.
3 – Por B trazar una paralela a la dirección de afinidad (que es paralela al eje).
4 – Donde corte a la anterior es el afín B’.
5 – Repetir el proceso con los demás puntos, A con C y B con D, para obtener sus afines, A’B’C’D’.

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Ejercicios de afinidad – 978

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Determinación de los puntos de la elipse, proyección de la sección de un plano a una esfera, en diédrico, mediante afinidad.

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SOLUCIÓN

7 – Puntos por afinidad doble. Conocidos ya los ejes de la elipse se trazan dos circunferencias de centro el mismo de la elipse y diámetros los de los ejes de la elipse. Se dibuja un diámetro cualquiera que cortará a las circunferencias en 1, 2, 3 y 4. Por estos puntos se trazan paralelas a los ejes de la elipse. Donde se corten ambas paralelas son puntos de la elipse, n y u. Repetir con otros diámetros para hallar más puntos.

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Triángulos – 999

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Construir el triángulo ABC, si se sabe que BC pasa por P, y los segmentos determinados por P, son tales que su multiplicación es igual al área del cuadrado PQRS.

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SOLUCIÓN

1 – Unir B con P
2 – Por P trazar una perpendicular a BP, y sobre ella llevar el lado del cuadrado. A su extremo lo llamaré X
3 – Unir X con B
4 – Determinar la mediatriz de XB
5 – Donde corte a BP se toa como centro de una circunferencia de radio hasta B o X
6 – Prolongar BP hasta cortar a la circunferencia. El punto de corte con la circunferencia es el vértice C buscado

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Triángulos – 998

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Dibujar la circunferencia inscrita en un triángulo ABC y explicar el trazado de las tres circunferencias que son tangentes a la circunferencia anterior y a dos lados del triángulo.

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SOLUCIÓN

Una vez localizada la circunferencia inscrita (de centro O) hacer lo siguiente :
1 – Hallas la bisectriz del ángulo formado por los lados del triángulo ( en mi imagen la del ángulo A)

2 – En la bisectriz estará el centro de la buscada, pero también está el centro de la inscrita (por su propia construcción), y donde corte a la inscrita es el punto de tangencia, T1, de la buscada. Recuerda que los puntos de tangencia están en la unión de los centros.
3 – Cualquiera de los lados a los que es tangente la circunferencia (AB por ejemplo) es un eje radical entre la buscada y cualquier otra circunferencia tangente a ese lado
4 – Si por el punto de tangencia, T1, haces una perpendicular a la bisectriz del ángulo, obtienes un segundo eje radical
5 – Donde ambos se corten es el centro radical, M.
6 – Con centro en M y radio hasta el punto de tangencia, T1 haces un arco.
7 – Donde este corte al lado AB es otro punto de tangencia, T2.
8 – Por T2 levanta una perpendicular a AB y donde corte a la bisectriz es el centro, X, de la circunferencia buscada.
9 – Repetir lo mismo con los otros ángulos.

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Triángulos – 997

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Dibujar un triángulo rectángulo que tenga su hipotenusa contenida en la recta R, un cateto debe pasar por el punto X y el otro por Y, siendo la altura correspondiente a la hipotenusa de valor h

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una recta paralela a R a una distancia la de la altura, h

2 – Unir X con Y y hallar su punto medio
3 – Con centro en el punto medio y radio hasta X o Y trazar una semicircunferencia
4 – Donde la semicircunferencia corte a la paralela son las dos posibles soluciones, A y A’, de uno de los vértices del triángulo
5 – Unir los puntos A y A’ con X e Y (solo he dibujado una de las soluciones) hasta cortar a R. Los puntos de corte son los otros vértices del triángulo

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Dadas tres circunferencias concéntricas, hallar un triángulo equilátero con un vértice en cada una de las circunferencias

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SOLUCIÓN

Sean las circunferencias de radios R1, R2 y R3.

Con centro en un punto arbitrario A de la circunferencia mayor y radio R3 trazar un arco, determinando sobre la misma el punto O1, centro que se toma para trazar una circunferencia de radio R1. Esta circunferencia corta a la intermedia en dos puntos B y B’ que nos definen los segmentos B A y B’ A, lados respectivos de dos triángulos equiláteros, soluciones ambos del ejercicio.
Si al trazar la circunferencia de centro O1, resulta tangente a la intermedia el ejercicio presenta una solución, no existiendo ninguna en el caso de que no se corten.

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Triángulos – 996

Triángulos – 995

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Dadas tres rectas a, b, c que se cortan formando un triángulo trazar una circunferencia que las corte según cuerdas de magnitud igual al radio

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SOLUCIÓN

No hay más que trazar triángulos equiláteros con vértices en el incentro y con bases en cada uno de los lados. Esto es posible porque la distancia del incentro a los tres lados es la misma, el radio de la circunferencia inscrita.

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Triángulos – 994

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Dibujar un triángulo rectángulo conocidas la hipotenusa, a = 68 mm, y la diferencia de los ángulos agudos, B – C = 28º

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado a = 68 mm = BC

2 – Con centro en su punto medio se traza una semicircunferencia (radio a / 2)
3 – Desde el punto medio de la hipotenusa se levanta un ángulo igual al complementario del ángulo diferencia, 90º – ( B – C )
4 – Donde corte esta a la semicircunferencia es el tercer vértice A

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Triángulo conocidos el valor de dos de sus ángulos A = 60º y B = 45º y el valor del radio de la circunferencia circunscrita R = 30 mm

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un segmento de longitud cualquiera, A-B’

2 – Por sus extremos, A y B’, levantar ángulos de 60 y 45º, respectivamente. Ambas se cortarán en el punto C’
3 – Hallar la circunferencia circunscrita del triángulo A-B’-C’, siendo su centro O’
4 – Unir A con el centro O’ y el centro, O’, con el vértice B’
5 – Sobre A-O’ medir el radio de la circunferencia inscrita dado, a partir de A, obteniéndose el centro de la circunferencia buscada, O
6 – Unir O’ con B’ y hacer una paralela a O’-B’ por O. Donde esta corte a A-B’ es el vértice B
7 – Prolongar esta última hasta cortar a la otra línea, consiguiendo el tercer vértice, C

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Triángulos – 993