Mes: octubre 2014

Triángulos – 982

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Triángulo isósceles conocida la altura, hb, y la mediana, mb, respecto de un mismo vértice B.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar una recta (horizontal en mi dibujo) y sobre ella en cualquier punto una perpendicular con la medida de la altura, XB = hb. El extremo B es uno de los vértices del triángulo.

2 – Con centro en el extremo de la altura, B, y radio la mediana, mb, se traza un arco que corte a la recta inicial. Este punto, M, es el punto medio del lado b.
3 – Unir B con M y dividirlo en tres partes iguales.
4 – Tomar centro en la segunda división, W, a partir de B (baricentro) y con radio 2·mb/3 se dibuja un arco que corte a la línea inicial. El punto de corte, A, es el segundo vértice del triángulo.
5 – Sobre la recta inicial llevar la medida A-M hacia el otro lado y se consigue el tercer vértice C.
Nota : Con las medidas del problema el triángulo isósceles sale casi rectángulo, de ahí el que los puntos X y C o los segmentos XB y CB estén casi coincidentes.

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Triángulos – 981

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Hallar un triángulo, ABC, conocido el lado AB = 80 mm, el ángulo opuesto, C = 60º, y que la altura respecto de ese vértice es la media proporcional entre el lado AB y el radio de la circunferencia circunscrita.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado AB, y construir respecto de él el arco capaz del ángulo C.

2 – Hallar la altura, h, del vértice C trazando la media proporcional del lado AB y el radio del arco capaz (radio de la circunferencia circunscrita).
3 – Trazar una paralela al lado AB separada una distancia la altura, h, hallada.
4 – Donde la paralela corte al arco capaz es el vértice C (solo he dibujado una de las dos soluciones).

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Construir un triángulo conociendo el lado a = 45 mm, la suma de los otros dos lados b + c = 92 mm y la altura ha = 38 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el perímetro, p, sumando a + (b + c) = p.
Cuidado con la nomenclatura, es habitual denominar al semiperímetro como p, en ese caso el perímetro es 2p, pero yo llamaré al perímetro p y al semiperímetro p/2.

2 – Plantear la igualdad de áreas, a·h / 2 = p·r / 2, en la que «a» es el lado «a» o base del triángulo, h su altura, p el perímetro y r el radio de la circunferencia inscrita. Hallar r mediante una cuarta proporcional, a / p = r / h.

3 – Hallamos la diferencia, (p/2) – a, entre el semiperímetro, p / 2, y el lado dado, a (en verde en el siguiente dibujo).

4 – Sobre una recta, A-Tc, colocamos el valor de esa diferencia y por uno de sus extremos y en perpendicular a ella el valor del radio, r, de la circunferencia inscrita.

5 – A continuación hay dos posibles opciones :
5.a – Con el radio r y desde el extremo, I, de la perpendicular anterior se dibuja una circunferencia. Desde el otro extremo de la diferencia (p/2) – a se traza la tangente a la circunferencia. El ángulo que se forma entre el segmento A-Tc y la tangente es el ángulo A. (Este procedimiento es el que se ve en la figura anterior)
5.b – Unir el extremo, I, de la perpendicular con el extremo A. El ángulo formado entre esta última y A-Tc es el semiángulo A, A/2. (Este caso no lo he dibujado)
6 – Dibujar el lado a = BC, y respecto de él construir el arco capaz del ángulo A.

7 – Hacer una paralela al lado «a» a una distancia igual a su altura, ha.
8 – Donde se corten la paralela y el arco capaz es el vértice A.
9 – Unir A con B y C.

 

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Triángulos – 980

Triángulos – 979

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Hallar un triángulo conocida la suma de dos lados, a + b, su diferencia, a – b, y el lado c.

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SOLUCIÓN

1 – Colocas un segmento de longitud igual a la suma de los lados, a + b.
2 – Sobre ese segmento (encima, no a continuación) y a partir de un extremo colocas la longitud de la diferencia de los dos lados, b – c.
3 – Hallar el punto medio del segmento que queda de restar (superponer) el segmento suma, a + b, al segmento diferencia, a – b.
4 – Desde ese punto medio hasta los dos extremos (más exteriores) son los valores de los lados buscados a y b.
5 – Conocidos los tres lados a, b y c trazar el triángulo.

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Triángulos – 978

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Triángulo rectángulo conocida la hipotenusa, a = 70 mm, y un ángulo C = 60º.

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SOLUCIÓN

OPCIÓN I

1 – Colocar la hipotenusa, a = 70 mm.
2 – Determinar el punto medio de la hipotenusa (centro del arco capaz) y con centro en él y radio hasta el extremo de la hipotenusa se dibuja una semicircunferencia (arco capaz de 90º).
3 – Desde uno de los extremos de la hipotenusa se levanta un ángulo igual al dado, C = 60º.
4 – Donde este ángulo corte a la semicircunferencia es el tercer vértice del triángulo. Unirlo con los extremos de la hipotenusa.

OPCIÓN II

A – Colocar la hipotenusa, a = 70 mm.
B – Desde uno de los extremos de la hipotenusa se levanta un ángulo igual al dado, C = 60º.
C – Desde el otro extremo de la hipotenusa se levanta un ángulo igual al complementario del dado, 90º – C = 30º.
D – Donde se corten los dos ángulos es el tercer vértice del triángulo.

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Triángulos – 977

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Triángulo del que se conocen el baricentro, G, y el lado c, ambos dibujados en una posición predefinida.

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SOLUCIÓN

1 – Unir los extremos, A y B, del lado c con el baricentro.
2 – Dividir ambos segmentos en dos partes iguales.
3 – Prolongar dichas rectas y llevar a partir del baricentro y por las prolongaciones una de las divisiones obtenida.
4 – Unir los extremos A y B con los extremos de estas últimas divisiones. Donde se corten es el tercer vértice C.

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Triángulos – 976

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Triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa, AB, y la proyección, AP, de la mediana de uno de los catetos sobre la hipotenusa.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la hipotenusa AB y sobre ella la proyección de la mediana de un cateto, AP.

2 – Con centro en el punto medio, M, de la hipotenusa y radio la mitad de la hipotenusa, AB/2, se traza una semicircunferencia.
3 – Con centro en el punto medio, N, del segmento que hay entre el punto medio, M, de la hipotenusa y el extremo, B, que no comparte con la proyección de la mediana, se traza una semicircunferencia.
4 – Desde el extremo, P, de la proyección de la mediana se levanta una perpendicular a la hipotenusa hasta tocar a la segunda semicircunferencia. El punto de corte, W, es el punto medio del cateto BC.
5 – Unir el vértice B con el punto medio W y donde corte a la primera semicircunferencia es el tercer vértice C.

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Triángulos – 975

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Triángulo isósceles cuyo lado menor sea la mitad de la medida de cada uno de los otros lados iguales, inscrito en una circunferencia de 100 mm de diámetro.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar un lado, A’B’, de longitud cualquiera, x.
2 – Con centro en A’ y B’ y radio el doble de la longitud A’B’ = 2x trazar dos arcos que se cortarán en un punto C’. Con esto hemos construido un triángulo, A’B’C’, semejante al buscado.
3 – Determinar el circuncentro del triángulo A’B’C’. Recuerdo que el circuncentro se determina como el punto de encuentro entre las mediatrices de los lados del triángulo.
4 – Con centro en el circuncentro de A’B’C’ se dibuja una circunferencia con el diámetro dado, 50 mm.
5 – Unir el circuncentro con los vértices del triángulo, A’B’C’, y donde corten a la circunferencia son los tres vértices del triángulo buscado, ABC.

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Triángulos – 974

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Construir un triángulo ABC, conociendo los lados BC y AC, y sabiendo que las medianas que parten de A y B, se cortan en un ángulo recto, así como sus longitudes.

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SOLUCIÓN

1 – Situar el lado AC.
2 – determinar el punto medio, M, del lado AC.
3 – Con centro en la mitad del segmento AM dibujar una semicircunferencia.
4 – Con centro en M y radio un tercio de la mediana que parte de B se traza un arco.
5 – Donde el arco corte a la semicircunferencia es el baricentro, G, de triángulo.
6 – Unir A con G y a partir de A medir la mediana que parte de A. Su extremo será N, punto medio de BC.
7 – Unir C con N y medir desde C el lado BC obteniendo el último vértice B.

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Construir un triángulo ABC, conociendo los lados BC y AC, y sabiendo que las medianas que parten de A y B, se cortan en un ángulo recto

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SOLUCIÓN

a – Colocar el lado BC.
b – A partir del vértice B y sobre la prolongación de BC llevar un cuarto de la longitud de BC. A este nuevo extremo lo llamaré X.
c – Con centro en el punto X y radio hasta el punto medio del lado BC (o con 3/4 de BC) trazar un arco.
d – Con centro en el vértice C y radio AC dibujar otro arco.
e – Donde se corten ambos arcos es el vértice A.

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