Mes: octubre 2014

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Construir un triángulo conocido el lado a = 70 mm, el ángulo opuesto  = 60° y el punto P, perteneciente a la bisectriz del ángulo Â, que dista 36 mm del vértice B y 54 mm del vértice C.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado a = BC = 70 mm.

2 – Trazar el arco capaz del ángulo A = 60º.

3 – Dibujar la mediatriz del lado a = BC hasta que corte a la prolongación del arco capaz, X.

4 – Con centro en B y radio PB = 36 mm trazar un arco. Con centro en C y radio PC = 54 mm trazar otro arco. El punto de corte es P.

5 – Unir el punto X con P y donde corte al arco capaz es el tercer vértice A.

Nota : Existe una segunda solución ya que los arcos, PB y PC, que definen al punto P se cortan en dos lugares. Si se une el segundo punto de corte con X se obtiene la segunda solución para A sobre el arco capaz, aunque en este caso en concreto el triángulo resultante es muy pequeño.

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Triángulos – 972

Triángulos – 971

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Triángulo isósceles conocido el ángulo desigual A = 30º y el lado desigual BC = 42 mm.

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SOLUCIÓN

Método 1

1 – Colocar el lado BC = 42 mm.

2 – Por sus extremos levantar ángulos de (180º – A) / 2 = (180º – 30º) / 2 = 75º.
3 – Donde se cortan ambos lados es el vértice A.
4 – La operación (180º – A) / 2 = (180º – 30º) / 2 = 75º se puede realizar de forma gráfica
4a – Trazar una línea.

4b – Colocar sobre la recta el ángulo conocido, Â.
4c – El ángulo que queda al otro lado es el suplementario (el que queda al restar 180º).
4d – Hallar la bisectriz del suplementario.
4e – Los dos ángulos en los que queda dividido el suplementario con la bisectriz son los ángulos iguales del triángulo isósceles.

Método 2

1 – Colocar el lado BC = 42 mm.
2 – Trazar el arco capaz del ángulo A = 30º respecto del lado BC.
3 – Por el punto medio del lado BC se levanta una perpendicular (mediatriz de BC).
4 – Donde la perpendicular corte al arco capaz es el vértice A.

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Hallar un triángulo, ABC, del que se conoce el lado b = AC = 40 mm, la mediana de A, ma = 60 mm y el radio de la circunferencia circunscrita, R = 40 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado b = AC = 40 mm.

2 – Con centro en A y C y radio el de la circunferencia circunscrita, R = 40 mm, se trazan dos arcos, siendo el punto de corte de ambos el centro de dicha circunferencia, O. Dibujar la circunferencia circunscrita.

3 – Unir el centro de la circunscrita, O, con el vértice C y determinar su punto medio, O’.

4 – Con centro en O’ y radio hasta el vértice C trazar un arco.

5 – Con centro en A y radio la mediana de A, ma = 60 mm, se traza un nuevo arco.

6 – Donde este corte al anterior es el punto medio del lado BC. En este caso da dos puntos de corte y por tanto dos posibles soluciones, M y M’, solo dibujaré una, M.

7 – Unir C con M y donde corte a la circunferencia circunscrita es el vértice B.

 

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Triángulos – 969

Triángulos – 968

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Triángulo conociendo las rectas de sus tres bisectrices, R, S, T, y un punto, P, sobre el perímetro del triángulo.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar el simétrico, 1, del punto dado P respecto de la bisectriz R.

2 – Hallar el simétrico, 2, del punto dado P respecto de la bisectriz T.
3 – Hallar el simétrico, 3, del punto 1 respecto de la bisectriz S.
4 – Los simétricos obtenidos son puntos de los lados del triángulo. Unir 2 con 3. Donde corte a las bisectrices T y S unirlos con los puntos P y 1 respectivamente. Estos son los tres lados del triángulo.

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Triángulos – 967

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Triángulo conocido el lado a = 40 mm, la mediana de B mb = 60 mm y la mediana de C mc = 50 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado a = BC = 40 mm.

2 – Con centro en el vértice B y radio dos tercios de su mediana se traza un arco.
3 – Con centro en el vértice C y radio dos tercios de su mediana se traza otro arco. Donde ambos arcos se corten es el baricentro, G.
4 – Unir el baricentro, G, con los dos vértices B y C.
5 – Sobre BG y a partir de G llevar un tercio de su mediana. El extremo X es el punto medio del lado AC.
5 – Sobre CG y a partir de G llevar un tercio de su mediana. El extremo Y es el punto medio del lado AB.
6 – Unir B con Y y C con X. El punto de corte es el tercer vértice A.

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Triángulos – 966

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Triángulo conocidas las alturas ha = 31 mm, hb = 33 mm y la mediana ma = 36 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar dos líneas perpendiculares y sobre una de ellas situar la altura ha = 31 mm.

2 – Con centro en su extremo, A, y radio el de la mediana, ma = 36 mm, se traza un arco que corte a la perpendicular, punto M. Este es el punto medio del lado BC.
3 – Con centro en M y radio la mitad de la altura de B, hb/2, se dibuja una circunferencia.
4 – Desde el vértice A se dibuja la tangente a esta última circunferencia. Donde la tangente corte a la prolongación de la perpendicular a la altura de A es el vértice C.
5 – Medir la distancia MC y llevarla hacia el otro lado de esa misma recta y se obtiene el tercer vértice B.

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Triángulos – 965

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Triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide 40 mm y la mediana de los lados iguales 40 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar un segmento de longitud el lado desigual dado, AB = c = 40 mm.

2 – Con centro en los extremos del segmento y radio 2/3 de las medianas ( 2·40/3 ) de los lados iguales se hacen sendos arcos.
3 – Unir los extremos del segmento AB con el punto de corte de los dos arcos.
4 – A partir del punto de corte de los dos arcos y sobre las uniones anteriores llevar 1/3 de las medianas ( 40/3 ) de los lados iguales. Estos puntos son los puntos medios de los lados iguales.
5 – Unir los extremos A y B con los extremos anteriores hasta que se corten. El triángulo está formado.

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Triángulos – 964

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Construir un triángulo ABC conociendo la altura ha = 64 mm, la bisectriz wa = 79 mm y el lado b = 70 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar una línea y a partir de un punto cualquiera, X, levantar una perpendicular que mida la altura ha dada. Su extremo es el vértice A.

2 – Con centro en el vértice A y radio la bisectriz dada, wa, se traza un arco que corta a la primera línea en el punto W, pie de la bisectriz. Unir el vértice A con el pie de la bisectriz W, esta es la bisectriz del triángulo AW. En realidad hay dos posibles soluciones W y W’.
3 – Con centro en el vértice A y radio el lado dado, b, se traza un arco que corta a la primera línea en el punto C, segundo vértice del triángulo. También aquí hay dos posibles soluciones C y C’.
4 – Dibujar el simétrico del lado b = AC respecto de la bisectriz AW. Esta recta simétrica es el lado C que corta a la primera línea en el vértice B.

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Triángulos – 963

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Construir un triángulo ABC conociendo los lados a y b y la altura del otro hc.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar dos rectas perpendiculares entre sí (punto de corte X).

2 – Medir sobre una de ellas la altura dada, hc. Su extremo es el vértice C.
3 – Con centro en el extremo de la altura, C, y radio los lados dados, a y b, trazar dos arcos que cortan a la primera línea.
4 – Los puntos de corte son los otros dos vértices, A y B.

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