Mes: octubre 2014

Triángulo dada la base, relacion b/c y mediana – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 903

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Triángulo de base a = 40 mm, relación b/c = 5/3 y mediana de b, mb=50 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar el lado a = BC = 40 mm.

2 – En la misma recta BC y hacia el exterior llevar la medida del lado a (punto X)
3 – Con centro en X y radio el doble de la mediana, 2mb, hacer un arco
4 – Con centro en B y C y radios dos cantidades proporcionales a la relación dada, b/c = 5/3, por ejemplo 50 y 30 mm, se trazan sendos arcos. Se une su punto de corte Y, con B y C, trazando las bisectrices exterior e interior del ángulo BYC
5 – Las bisectrices cortan a la prolongación de BC en M y N. Trazar una semicircunferencia de diámetro MN
6 – Donde esta última corte al arco de centro X es el tercer vértice, A, del triángulo buscado.

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Construir un triángulo escaleno del que se conoce su perímetro (80 mm), sabiendo que sus lados son proporcionales a 24, 18 y 12 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Se construye un triángulo, A’B’C’, con lados proporcionales a las tres cantidades dadas. Yo he construido uno cuyos lados miden 24, 18 y 12 mm, directamente, pero si fuesen cantidades muy grandes o pequeñas se puede utilizar cualquier otra proporcional (dividir o multiplicar por una cantidad todas las medidas).

2 – A partir de un vértice, A’, se coloca un segmento de longitud igual a la del perímetro del triángulo que acabamos de construir, p’ (punto X’).
3 – Desde el mismo vértice, A’, se coloca otro segmento de longitud la del perímetro del triángulo buscado, 80 (punto X).
4 – Unir un vértice del triángulo, C’, con su perímetro, p’ (punto X’) y hacer una paralela por el extremo del perímetro del triángulo buscado, X.
5 – Donde corte a la prolongación del lado A’C’ es el vértice C del triángulo buscado.
6 – Una paralela al lado B’C’ por C y se obtiene B en la prolongación de A’B’.
7 – El vértice A es coincidente con el vértice A’.

 

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TRIÁNGULOS – 902

Triángulo conocido un lado, la suma de los otros dos y un ángulo – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 901

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Construir un triángulo conocido un lado a, la suma b + c de los otros dos y el ángulo A, opuesto al lado dado.

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SOLUCIÓN

Constrúyase sobre el lado a = B C el arco capaz para los ángulos A y A/2.

Con centro en uno de los extremos C del lado a y radio b + c, se traza un arco hasta cortar en D al arco capaz de A/2.
El segmento D C determina sobre el arco capaz del ángulo A el tercer vértice A del triángulo.
Siendo el ángulo BDA = BAC/2, el triángulo D A B resulta isósceles, puesto que B D A + ABD = BAC, luego D A = A B, con lo que queda justificado que DC = DA + AC = BA + A C = c + b.

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Triángulo dada la suma de dos lados – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 900

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Construir un triángulo dada la suma de dos lados, a y b, y el valor de los ángulos opuestos a esos lados, A y B.

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SOLUCIÓN

Se coloca sobre una recta la medida de la suma de los dos lados, a+b.

Por uno de sus extremos, C, se construye el ángulo B.
Por el otro extremo el ángulo (180º – A-B) / 2.
Donde se corten ambos ángulos es el segundo vértice del triángulo, A.
Se dibuja la mediatriz del segmento formado por este último ángulo.
Donde la mediatriz a la suma de los lados el el último vértice del triángulo, B.

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Determinación del baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 899

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Determinación del baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro.

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SOLUCIÓN

La forma de obtener los puntos notables de un triángulo es la siguiente :
BARICENTRO de un triángulo
Es el centro de gravedad de un triángulo. Se obtiene como intersección de las medianas (líneas que unen los vértices con los puntos medios de los lados opuestos).

CIRCUNCENTRO de un triángulo
Es el centro de la circunferencia circunscrita. Se obtiene como intersección de las mediatrices (perpendiculares a los lados por los puntos medios).

INCENTRO de un triángulo
Es el centro de la circunferencia inscrita. Se obtiene como intersección de las bisectrices (líneas que dividen los ángulos en dos partes iguales).

ORTOCENTRO de un triángulo
Se obtiene como intersección de las alturas (rectas perpendiculares a los lados y que pasan por los vértices opuestos).

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Segmento de Euler de un triángulo – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 898

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Determinación del segmento de Euler de un triángulo.

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SOLUCIÓN

5 – Halla el ortocentro ( punto de encuentro de las alturas, lo puedes ver pulsando aquí).

6 – Halla el circuncentro ( punto de encuentro de las mediatrices, lo puedes ver pulsando aquí )
7 – Une el ortocentro, OR, con el circuncentro, CI. Este es el segmento de Euler.
Una propiedad importante del segmento de Euler, es que si lo divides en tres partes iguales, el baricentro, BA, está a dos tercios del ortocentro, OR, o a un tercio del circuncentro, CI.

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Figuras compuestas por varios triángulos – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 897

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El polígono 1 es un triángulo donde (d = 4/3 de c) y (c = 2/3 del lado del triángulo isósceles nº 2).
El polígono 2 es un triángulo isósceles donde (h = 8 cm) y (A = 30º).
El polígono 3 es un triángulo rectángulo donde (B = 15º).
El polígono 4 es un triángulo equilátero.
Los polígonos 5 y 6 son dos triángulos rectángulos.
El polígono 7 es un triángulo isósceles donde la altura (a = 3 cm).
Dibujar a escala 1/1 la composición y unir sus baricentros con una línea poligonal de forma ordenada desde el triángulo 1 al 7 y estos incluidos.

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SOLUCIÓN

Para el triángulo nº 2 :

Colocar la altura h dada.
Por su extremo inferior hacer una perpendicular.
Por el extremo superior hacer dos líneas a 30/2 = 15º hacia cada lado.
Prolongarlas y ya se tiene el triángulo nº 2.

Para el triángulo nº 1 :

Divide el lado izquierdo del triángulo nº 1 en tres partes.
Dos de las divisiones forman uno de los lados de triángulo nº 1.
Por el extremo levantar una perpendicular al lado del triángulo nº 1, y sobre él llevar 4 veces una de las divisiones en las que se dividió el lado del isósceles.
Con los dos catetos ya trazados hacer la hipotenusa.

Para el triángulo nº 3 :

Levanta por el extremo inferior del lado derecho del isósceles una línea perpendicular.
Por el otro extremo levanta una que forme 15º.
Prolongarlas ambas.

Para el triángulo nº 4 :

Con centro en los extremos del cateto inferior del triángulo nº 3 y radio ese mismo cateto, hacer dos arcos.
Donde se corten se une con su base y ya se tiene el nº 4.

Para los triángulo nº 5 y 6 :

Construye un cuadrado de lado igual al lado inferior del triángulo nº 2.
Divide el cuadrado en dos partes por la diagonal y ya tienes los dos triángulos.

Para el triángulo nº 7 :

Divide en dos partes iguales la parte del lado izquierdo del triángulo isósceles nº 2.
Por ese punto medio se levanta una perpendicular y sobre ella mide 3 cm.
Une esa altura con la base.

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Figuras compuestas por varios triángulos – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 896

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En el triángulo isósceles a altura (a = 8 cm).
En el triángulo rectángulo el lado (d = 5 cm).
En el cuadrado el lado (b = 5 cm).
En el triángulo el lado (c = 8 cm).
Dibujar a escala 1/1 la composición y calcular la superficie de la misma.

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SOLUCIÓN

Para el cuadrado :

Construye un cuadrado de lado b = 5 cm.

Para el triángulo rectángulo :

Por el vértice superior izquierdo levanta el ángulo de 30º.
Por el vértice superior derecho levanta 90º.
Prolongando las dos se tiene el triángulo rectángulo.

Para el rectángulo :

A partir del cateto vertical del triángulo rectángulo levanta líneas perpendiculares y mide sobre ellas la medida d = 5 cm.
Uniendo los extremos se tiene el rectángulo.

Para el triángulo isósceles :

Hallar el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo.
Por ese punto medio levantar una perpendicular y medir a = 8 cm.
Unir con los extremos de la hipotenusa.

Para el triángulo que envuelve a la circunferencia :

Unir los extremos del cuadrado con el del rectángulo.

Para la circunferencia :

Halla dos bisectrices del triángulo anterior.
Donde se corten es el centro de la circunferencia (incentro).
Desde el incentro trazar una perpendicular a cualquiera de los tres lados del triángulo y ese es el radio.

Para el triángulo inferior :

A partir del extremo inferior de la hipotenusa del triángulo que envuelve a la circunferencia, levantar una línea que forme 120º.
Con centro en el vértice izquierdo inferior se hace un arco de radio c = 8 cm.
Donde corte a la línea de 120º es el tercer vértice de este triángulo.

Para el trapecio :

A partir del extremo superior de la hipotenusa del triángulo que envuelve a la circunferencia, levantar una línea que forme 120º.
Por el extremo inferior del triángulo más bajo trazar una paralela a la hipotenusa del triángulo que envuelve a la circunferencia.

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Definicion de triángulo autopolar – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 895

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¿ Qué es un triángulo autopolar ?.

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SOLUCIÓN

Doy el significado de varios términos, pues unos hablan de los otros.
Un triángulo es autopolar, respecto de una curva cónica, si la polar de cada vértice, respecto de la cónica es la recta que contiene a los otros dos vértices.
Un triángulo autopolar es idéntico con su triángulo polar.

El triángulo polar de uno original respecto de una curva cónica es el triángulo determinado por las rectas polares de los vértices del triángulo inicial respecto de la cónica.

Recta polar, de una circunferencia, de polo un punto exterior a la misma, es aquella que contiene a los puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde el polo a dicha circunferencia.

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Construcción del triángulo autopolar.

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SOLUCIÓN

Una primera aclaración, el polo es un punto y la polar una recta. De hecho se debería decir «recta polar» pero como en muchas otras cuestiones se simplifica y se suele quitar el término «recta» denominándola solo «polar».

En general (después hablaré del caso particular que expones), para determinar el triángulo autopolar se siguen los siguientes pasos :

a) Se parte de una circunferencia (el círculo director), una recta (una polar y a la vez la recta sobre la que se apoyara uno de los lados del triángulo autopolar) y un punto sobre la recta (uno de los vértices del triángulo autopolar).
b) Se determina la recta polar del punto dado.
c) Donde corte la recta polar del punto dado a la recta del enunciado será el segundo vértice del triángulo autopolar.
d) Se dibuja la recta polar del ese nuevo punto.
e) Donde se corten las dos rectas polares (la del punto dado y la del segundo conseguido) es el tercer vértice del triángulo autopolar.
f) Ya se tienen tres vértices del triángulo autopolar, ahora viene lo difícil, dibujar un triángulo con esos tres vértices.

 

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