Mes: octubre 2014

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Triángulo conocido un lado y las relaciones entre dos lados b/c, b² – c².

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SOLUCIÓN

Al término b² – c², le llamaré x², con lo que x² = b² – c². Esto no es exactamente el teorema de Pitágoras ya que debería estar sumando (yo le suelo llamar el primo de Pitágoras, por que se parece pero no lo es). Ahora bien si pasas c² al otro lado queda x² + c² = b², que sí que es Pitágoras donde x y c son los dos catetos y b la hipotenusa.
El otro dato es la razón b/c a la que llamaré «y».
Como ves las cantidades b y c están relacionadas con un triángulo rectángulo; que no significa que el triángulo buscado sea de ese tipo. Pero nos ayudará para buscarlas, construyendo primero un triángulo rectángulo semejante que después se ampliará (homotecia) al tamaño dado.

La solución es :

1 – Dibuja dos líneas perpendiculares. Cada una será un cateto, llevando longitudes cualesquiera que cumpla la razón y = b/c. Si «y» te lo dan como una fracción, por ejemplo 3/2, pones 3 unidades en la hipotenusa y 2 en el cateto. Si «y» te lo dan como un entero, por ejemplo 3, colocas 3 unidades en la hipotenusa y 1 en el cateto.
2 – Hallas cuanto es la raíz cuadrada de x (media proporcional entre x² y la unidad).
3 – Colocas el valor obtenido sobre el cateto del triángulo anterior en el cateto sobre el que no se llevo las medidas de la razón «y».
4 – Haces un triángulo semejante al primero con esa medida, y la hipotenusa es el valor de b y el otro cateto el de c.
5 – Ya tienes a, b y c, hacer un triángulo con los tres lados.

 

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Trazar dos circunferencias tangentes a los lados de un triángulo – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 892

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Hallar dos circunferencias iguales tangentes entre sí, además de ser tangente cada una a un lado distinto de un triángulo conocido y tangentes ambas al tercer lado.

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SOLUCIÓN

1 – Se traza una circunferencia de radio cualquiera tangente a dos lados (la de centro x’), y otra de igual radio tangente a ella y al mismo lado.

2 – Trazar una tangente al lado BC por la segunda circunferencia (lado B’C’).
3 – Unir el vértice A con el centro X’, y este a su vez con B’.
4 – Por el vértice B se hace una paralela a B’X’.
5 – Donde esta última corte a AX’ es el centro de la circunferencia buscada, X.
6 – Por X se hace una perpendicular a AB y ese es el radio de la circunferencia buscada.
7 – Trazar la otra.

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Tres circunferencias tangentes interiormente a un triángulo isosceles – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 891

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Dibujar tres circunferencias tangentes interiormente a un triángulo isósceles, ABC, cada una a dos lados del triángulo y tangentes entre sí exteriormente.

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SOLUCIÓN

1 – Hallar la bisectriz de uno de los ángulos, A por ejemplo, y hacer una circunferencia, centro 1′, de radio cualquiera tangente a dos lados.

2 – Trazar otra igual tangente a ella y a un mismo lado, la de centro 2′.
3 – Hallar una tercera circunferencia, 3′, tangente a las dos anteriores, 1′ y 2′, y a uno de los lados, AC.
4 – Hacer una recta, B’C’, paralela al lado BC y tangente a las circunferencias 2′ y 3′.
5 – Unir 1′ con B’ y después una paralela a ella por B. Donde corte a la bisectriz de A es el centro de la circunferencia buscada, 1, su radio mediante una perpendicular a AB por 1.
6 – Hacer otra igual, centro 2, tangente a la primera.
7 – Unir el centro 1′ con 3′ y trazar una paralela por 1 hasta cortar a la bisectriz de C. Este será el centro 3 de la tercera circunferencia, de radio hasta donde la unión de 1 con 3 corta a la circunferencia de 1.

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Cuadrado inscrito en un triángulo – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 890

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Construcción de un cuadrado inscrito en un triángulo ABC, con un lado apoyado sobre AB y los otros dos vértices sobre los otros dos lados del triángulo.

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SOLUCIÓN

1 – Desde un punto cualquiera, 1′, levanta una perpendicular al lado AB, hasta tocar al lado contiguo (punto 2′).

2 – Dibuja un cuadrado con lado 1′-2′.
3 – Une el vértice A con 3′ hasta cortar al otro lado del triángulo (punto 3).
4 – Desde el punto 3 se baja una perpendicular a AB, y este, 3-4, es el lado del cuadrado buscado.

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Triángulo isosceles con dos vértices apoyados en dos rectas – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 889

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Conocidas dos rectas concurrentes y un punto P exterior a ambas, construir un triángulo isósceles con dos de sus vértices en cada una de las rectas y el tercer vértice en el punto P y tal que el ángulo en el vértice P sea de 120º.

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SOLUCIÓN

1 – Girar las dos rectas dadas, R y S, alrededor del punto dado, P, un ángulo igual a 120º.

2 – Donde R’ (recta girada) corte a S (recta original) es uno de los vértices del triángulo, punto 1.
3 – Unir con el punto P y hacer una recta que mida 120º respecto de 1-P, donde corte a la otra recta, R, es el punto 2 (tercer vértice del triángulo).

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triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y las medianas perpendiculares – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 888

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Dibujar un triángulo ABC rectángulo en A, conociendo la hipotenusa y sabiendo que las medianas de A y B son perpendiculares.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar la hipotenusa a = BC.

2 – Con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio la mitad de esta se traza una semicircunferencia (arco capaz de 90º), en azul. En este arco estará el vértice A.
3 – Con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio la tercera parte de la mitad de la hipotenusa, (BC / 2) / 3 = BC / 6, se hace un arco (en magenta). La mediana va desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vértice A y como este está en el arco capaz de 90º su longitud es BC / 2. El baricentro está a un tercio de la mediana respecto del lado, luego la distancia desde el punto medio del lado hasta el baricentro es (BC / 2) / 3 = BC / 6.
4 – La mediana que parte de B y la de A son perpendiculares, así que trazaremos el arco capaz de 90º entre los puntos de los que parten (vértice B y punto medio de BC), arco negro.
5 – El baricentro, G, está donde se corten los dos últimos arcos.
6 – Uniendo el baricentro, G, con el punto medio del lado BC y prolongándolo hasta cortar al primer arco capaz se obtiene el vértice A.

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triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y las medianas perpendiculares – Ejercicios de TRIÁNGULOS – 887

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Dibujar un triángulo conocidas las tres bisectrices y un punto por el que pasa un lado.

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SOLUCIÓN

1 – Desde el punto P dado se traza el simétrico, P’, respecto de la bisectriz 3. Ese nuevo punto estará sobre otro de los lados.

2 – Volvemos a trazar el simétrico de P respecto de la bisectriz 1, P". También este punto estará en uno de los lados.
3 – Un nuevo simétrico, P’", del último punto P" respecto de la bisectriz 2, nos da un punto que está en el mismo lado que P’.
4 – Uniendo P’ con P’" tenemos uno de los lados, BC, hasta donde corta a las bisectrices 2 y 3.
5 – Hallar el simétrico de BC respecto de las bisectrices 2 y 3 y tenemos los otros dos lados, AB y AC.

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Dibujar un triángulo conociendo su perímetro p = a + b + c y los ángulos B y C.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el perímetro (recta XY).

2 – Desde los extremos levanta ángulos iguales a la mitad de los dados.
3 – Donde se corten es el vértice C del triángulo buscado.
4 – Desde ese vértice levanta ángulos de valor igual a los dados, respecto de la recta que contiene al perímetro.
5 – Donde la corten son los otros dos vértices.

 

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Ejercicios de traslación – 999

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Dibujar las circunferencias de 30 mm, de radio que determinen al cortarse con el eje de las X, cuerdas de 40 mm y que se vean desde V(0, 35) bajo un ángulo de 60º (la circunferencia).

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SOLUCIÓN

Vamos a localizar el centro de la circunferencia con una traslación y un giro :

Dibujar los ejes X e Y, y sitúa el punto V.
Hacer un ángulo de 60º con vértice en V y cualquier orientación. Por ejemplo se puede hacer una paralela al eje X por V y después levantar ángulos de 30º hacia cada lado.
Hacer paralelas a las líneas del ángulo separadas una distancia igual al radio de la buscada, 30 mm. Donde se corten es el centro de una circunferencia tangente (que se ve) al ángulo de 60º. No es necesario llegar a dibujar la circunferencia.
Con centro en V y radio hasta el centro localizado se hace un arco. En ese arco estará el centro buscado.
En cualquier lugar del eje X se dibuja un segmento de 40 mm.
Con centro en los extremos y radio 30 mm se hacen sendos arcos que se cortarán en un punto.
Hacer una paralela al eje X por ese último punto.
Donde esa última paralela al eje X corte al arco que se hizo con centro en V (dos soluciones) son los centros de las circunferencias buscadas.

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circunferencia que pasa por un punto Ejercicios de traslación – 998

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Dibujar una circunferencia de radio 5 cm, que pase por el punto P y corte a la recta R según una cuerda de 4 cm.

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SOLUCIÓN

1 – En cualquier lugar de la recta se traza un segmento de 4 cm, A-B.

2 – Con centro en A y B se hacen sendos arcos de radio 5 cm.
3 – Donde se corten, C’, se traza una circunferencia de radio 5 cm.
4 – Ahora aplicaremos una traslación. Por el punto P se hace una paralela a la recta R hasta cortar a la circunferencia (punto X).
5 – Por el centro C.

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