Mes: octubre 2014

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Trapezoide biisósceles, ABCD, conocido el lado AB, el ángulo opuesto y desigual D y la diagonal que lo atraviesa BD.

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SOLUCIÓN

A – Colocar la diagonal BD.

B – Por su extremo D levantar el semiángulo D.

C – Con centro en B y radio AB trazar un arco que corte al semiángulo D. El punto de corte es el vértice A.

D – El vértice C es el simétrico del vértice A respecto de la diagonal BD.

 

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Trapezoide biisósceles, ABCD, conocido el lado AB, el ángulo opuesto y desigual D y la diagonal que no lo atraviesa AC.

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SOLUCIÓN

I – Colocar la diagonal AC.

II – Con centro en A y C y radio el lado AB trazar sendos arcos. El punto de corte es el vértice B.

III – Dibujar el arco capaz del ángulo D respecto de la diagonal AC.

IV – Por el vértice B dibujar una perpendicular a la diagonal AC. Donde corte al arco capaz es el vértice D.

 

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 989

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Trapezoide en el que dos de sus lados formen un anulo de 60º y sumen 75º, siendo la diagonal menor de 40 mm. (Selectividad Madrid 2008)

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SOLUCIÓN

1 – Colocar la suma de los lados, A’-B, 75 mm.

2 – Desde su extremo A’ levantar un ángulo de 30º.
3 – Desde el otro extremo, B, trazar un arco de radio la diagonal dada, 40 mm.
4 – Donde se corte el ángulo y el arco es el vértice D.
5 – Unir D con A’ y trazar su mediatriz.
6 -Donde la mediatriz corte a la suma de los lados, A’B, es el vértice A.
7 – Trazar por D una paralela a AB y por B una paralela a AD. Donde ambas se corten es el vértice C.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 988

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Cuadrilátero conocidas las longitudes de las dos diagonales, el ángulo entre las dos diagonalesy los ángulos de dos vértices adyacentes.

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SOLUCIÓN

1 – Situar el lado AB = 50 mm.

2 – A partir del vértice A dibujar el ángulo DAB = 60º.
3 – Sobre esa nueva recta medir el lado AD = 30 mm.
4 – Con centro en el vértice B y radio el lado BC = 15 mm dibujar un arco.
5 – Trazar otro arco con centro en el vértice D y radio el lado CD = 35 mm.
6 – Donde se corten los dos arcos es el vértice C.
7 – Unir los cuatro vértices, A-B-C-D.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 987

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Dibujar un cuadrilátero inscriptible, ABCD, conocido el lado AB = 54 mm, el ángulo A = 90º y las diagonales BD = 68 mm y AC = 66 mm.

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SOLUCIÓN

OPCIÓN I

1 – Trazar el lado AB.

2 – Desde el vértice A dibujar el ángulo A = 90º.
3 – Con centro en B y radio la diagonal BD = 68 mm se dibuja un arco. El arco cortará al ángulo A en el vértice D.
4 – Hallar las mediatrices de AB y AD. Con centro en el punto de corte de ambas mediatrices y radio hasta los vértices A, B o D se dibuja una circunferencia.
5 – Con centro en A y radio AC = 66 mm se dibuja un nuevo arco. Donde corte a la circunferencia anterior, C1 y C2, son las dos posibles soluciones para el vértice C.

OPCIÓN II

6 – Dibujar la diagonal BD = 68 mm.

7 – Trazar el arco capaz del ángulo A = 90º respecto de la diagonal BD, es decir, se halla el punto medio de BD y este es el centro de arco capaz su radio es hasta B o D.
8 – Con centro en B y radio AB = 54 mm se traza un arco. Donde este arco corte al arco capaz es el vértice A.
9 – Se halla la circunferencia que pasa por A, B y D, para ello hallar las mediatrices de AD y AB y donde se corten es su centro, O. En este caso coincide con el arco capaz.
10 – Con centro en A y radio la diagonal AC = 66 mm se traza un arco que corta a la circunferencia anterior en dos puntos, C1 y C2, que son las dos posibles soluciones para el vértice C.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 986

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Dibujar un cuadrilátero inscriptible, ABCD, conocida la diagonal AC = 52 mm, el ángulo entre la diagonal y el lado CAD = 30º, y que AD = CD y AB = BC.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar la diagonal AC = 52 m.
2 – Desde ambos extremos se dibujan ángulos de CAD = 30º. Donde ambos se corten es el vértice D.
3 – Hallar la circunferencia que pasa por A, D y C, para ello dibujar las mediatrices de AD y AC y donde se corten es el centro.
4 – Trazar la mediatriz de la diagonal AC y donde corte a la circunferencia anterior es el vértice B.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 985

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Cuadrilátero inscriptible ABCD con los datos propuestos :
d = 60 mm, diámetro de la circunferencia inscrita.
AC = 52 mm.
CAD = 30º
AD = CD
AB = BC.

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SOLUCIÓN

En realidad hay datos de más, se podría quitar alguno de ellos, en mi opinión sobraría el ángulo CAD = 30º, o bien, la condición AD = CD.
Si se consideran los dos como correctos el problema no es correcto, aunque a nivel humano sí, ya que la diferencia con la solución correcta es de 0’02 mm (cuando se utiliza CAD = 30º y ACD = 30º), inapreciable para nuestro ojo, pero no hay necesidad de cometer ese pequeño error cuando basta con suprimir uno de los dos datos que comento.
Voy a dar dos posibles formas de operar :

PRIMERA FORMA :

Hacer un cuadrilátero inscriptible ABCD con d = 60 mm, AC = 52 mm, AD = CD y AB = BC (d es el diámetro de la circunferencia inscrita).

1 – Dibujas la circunferencia con el diámetro dado.
2 – A partir de un punto cualquiera de la circunferencia (el que será vértice A) haces un arco de radio AC que corte a dicha circunferencia. El punto de corte es el vértice C.
3 – Desde el punto medio de la diagonal AC levantas una perpendicular que corte a la circunferencia.

4 – Donde la perpendicular corte a la circunferencia son los vértices B y D.

SEGUNDA FORMA :

Hacer un cuadrilátero inscriptible ABCD con d = 60 mm, AC = 52 mm, CAD = 30º y AB = BC (d es el diámetro de la circunferencia inscrita).

I – Dibujas la circunferencia con el diámetro dado.
II – A partir de un punto cualquiera de la circunferencia (el que será vértice A) haces un arco de radio AC que corte a dicha circunferencia. El punto de corte es el vértice C.
III – Desde el extremo A levantas una línea que forme 30º con respecto a AC.
IV – Donde esa línea corte a la circunferencia es el vértice D.
V – Desde el punto medio de la diagonal AC levantas una perpendicular que corte a la circunferencia, en el lado contrario al del vértice D.
VI – Donde la perpendicular corte a la circunferencia es el vértice B.

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Propiedades de un cuadrilátero o trapezoide biisósceles.

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SOLUCIÓN

Una aclaración, que no mucha gente conoce, los trapezoides tienen todos sus lados de distinto tamaño.
Pero, esa no es la propiedad principal de los trapezoides. Sino que lo que lo diferencia de los demás es el que no tenga ningún lado paralelo, indiferentemente de si son iguales o no.
De hecho, existe un tipo de trapezoide que se denomina «trapezoide biisósceles» ( o trapezoide isósceles o trapezoide simétrico o trapezoide bisósceles, según como cada uno lo llame).
Este trapezoide es muy conocido, es la forma de las cometas (al menos las antiguas).

Sus propiedades principales son :
– Lados contiguos iguales dos a dos.
– Diagonales perpendiculares entre sí.
– La diagonal menor es cortada por la mayor en su punto medio.
– Dos de sus ángulos (los que atraviesa la diagonal menor) son iguales.

 

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 983

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Contruir un trapezoide ABCD conociendo una diagonal tres ángulos y un lado: diagonal BD (no especificas cuanto mide), ángulo A = 60º, ángulo C = 75º, ángulo D = 90º, lado AB = 55 mm.

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SOLUCIÓN

I – Dibuja el lado AB (55 mm).
II – A partir del extremo A se levanta el ángulo A (60º).
III – Con centro en B y radio BD se traza un arco.
IV – Donde este arco corte al ángulo A será el vértice D.
V – Desde el vértice D levanta dicho ángulo (90º).
VI – Desde el vértice B levantas el ángulo B de valor 360º – A – C – D = 360º – 60º – 75º – 90º = 135º.
VII – Donde el ángulo B corte al ángulo D es el vértice C.

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Ejercicios resueltos de TRAPEZOIDES o cuadriláteros – 982

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Hallar un cuadrilátero inscriptible si AC = 52 mm, CAD = 30º, AD = CD, AB = BC.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar el lado AB.

2 – Por su extremo B trazar otro lado formando 60º y llevar la misma medida de AB, con lo que se consigue el vértice C.
3 – Por los vértices A y C, trazar dos rectas que formen 30º con respecto a AC.
4 – Donde se corten es el vértice D.

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