Mes: octubre 2014

Ejercicios de simetría – 995

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Hallar el simétrico del cuadrado ABCD respecto del eje e.

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SOLUCIÓN

1 – Por cada punto trazar una perpendicular al eje de simetría.

2 – Medir la distancia que hay entre cada punto y el eje sobre la perpendicular, y llevar esa distancia hacia el lado contrario de donde estaba, A’B’C’D’.
3 – Unir los puntos en el mismo orden.

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Ejercicios de ROMBOIDES resueltos – 999

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Construye un romboide de ABCD dada las 2 diagonales y el ángulo opuesto a la menor AC = 60 mm, BD = 90 mm, ángulo B = 60º.

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SOLUCIÓN

I – Dibuja la diagonal menor AC.
II – Haz el arco capaz del ángulo B respecto de la diagonal AC.
III – Desde el punto medio de la diagonal AC y con radio la mitad de la diagonal mayor BD se hace un arco.
IV – Donde el arco anterior corte al arco capaz es el vértice B.
V – Une el vértice B con A y C.
VI – Hacer paralelas al lado AB por C y otra paralela a BC por A, donde se corten es D.

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Ejercicios de ROMBOIDES resueltos – 998

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Construir un romboide de base 44 mm y diagonales de 60 y 70 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Coloca la base (44 mm).
2 – Con centro en un extremo de la base y radio la mitad de una de las diagonales (60/2 = 30 mm) haces un arco.
3 – Con centro en el otro extremo de la base y radio la mitad de la otra diagonal (70/2 = 35 mm) se hace un segundo arco.
4 – Donde se corten ambos arcos es el punto de corte de ambas diagonales.
5 – Une ese punto con los extremos de la base y lleva la medida de las diagonales sobre dichas uniones. Los extremos son los otros dos vértices.

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Romboide ( o paralelogramo ) conocidas las longitudes de los lados, 40 y 50 mm, y el ángulo entre las diagonales, 60º

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SOLUCIÓN

Para resolverlo te hace falta conocer dos propiedades de los romboides :
1 – La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos es paralela a los lados que no une.

2 – La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos tiene su punto medio en el punto de corte de las dos diagonales.
Y estos son los pasos :

a – Se dibuja uno de los lados, el de 40 mm por ejemplo.

b – Se realiza el arco capaz de 60º respecto de ese lado.

c – Con centro en el punto medio de ese lado y radio la mitad del otro, es decir con 50/2, se hace un arco que corte al arco capaz.

d – Donde lo corta es el punto de corte de ambas diagonales, pero más importante es el hecho de que al unir el punto medio del lado con ese punto de corte se obtiene la dirección del otro lado.

e – Basta con hacer una paralela a esa dirección por el extremo del primer lado, llevando su longitud se consigue el tercer vértice.

f – El cuarto vértice se consigue por paralelismo.

Podrían existir dos soluciones, dependiendo de que el ángulo de las diagonales dado se considere abierto hacia uno o el otro lado dado, pero, si se intenta con el otro lado se comprobará que el arco no corta al arco capaz.

 

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Ejercicios de ROMBOIDES resueltos – 996

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Romboide conocido un lado, AB, y las diagonales, AC y BD

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado dado, AB.

2 – Con centro en A y radio AC/2 trazar un arco.
3 – Con centro en B y radio BD/2 trazar otro arco.
4 – Donde se corten ambos arcos, O, es el punto de corte de las dos diagonales.
5 – Unir A y B con O. Prolongarlas y llevar la otra mitad de las diagonales obteniendo los vértices C y D.

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Ejercicios de ROMBOIDES resueltos – 995

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Romboide, ABCD, del que se conoce el perímetro, 170 mm, una diangonal, AC = 60 mm, y la altura, h = 30 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el semiperímetro, AX = 170/2.

2 – Dibujar una paralela al semiperímetro separado una distancia igual a la altura, h.
3 – Con centro en el vértice A y radio la diagonal, AC, trazar un arco que corte a la paralela. El punto de corte es el vértice C.
4 – Unir el vértice C con el extremo de semiperímetro, X.
5 – Hallar la mediatriz de CX. Donde corte al semiperímetro es el vértice B.
6 – Unir B con C y trazar una paralela por A. Donde corte a la paralela a AX es el vértice D.

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Ejercicios de ROMBOIDES resueltos – 994

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Paralelogramo, ABCD, del que se conoce el perímetro, 288 mm, una diangonal, AC = 126 mm, y la mínima distancia entre lado AB y CD, h = 45 mm. Selectividad Valencia 2010.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el semiperímetro, AX = 288/2.

2 – Dibujar una paralela al semiperímetro separado una distancia igual a la altura, h.
3 – Con centro en el vértice A y radio la diagonal, AC, trazar un arco que corte a la paralela. El punto de corte es el vértice C.
4 – Unir el vértice C con el extremo de semiperímetro, X.
5 – Hallar la mediatriz de CX. Donde corte al semiperímetro es el vértice B.
6 – Unir B con C y trazar una paralela por A. Donde corte a la paralela a AX es el vértice D.

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Ejercicios de ROMBOIDES resueltos – 993

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Construir un paralelogramo en el que dos de sus lados, AB y AD, formen un ángulo de 60º y sumen AB + AD = 75 mm, siendo la diagonal menor BD = 40 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar la suma de los lados XB = AB + AD = 75 mm.

2 – Desde su extremo X dibujar una recta que forme un ángulo igual a la mitad del dado, A/2 = 60/2 = 30º.
3 – Desde el otro extremo, B, trazar un arco de radio la diagonal, BD = 40 mm.
4 – Donde corte al ángulo anterior es el vértice D. En realidad corta en dos puntos, D y D’, luego hay dos posibles soluciones; aquí solo he dibujado una de ellas.
5 – Trazar la mediatriz del segmento XA.
6 – El punto de corte con la suma de los lados, XB, es el vértice A.
7 – Unir D con A y A con B. Por D dibujar una paralela a AB y por B una paralela a AD. El punto de corte de ambas es el último vértice C.

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Ejercicios de ROMBOIDES resueltos – 992

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Construir un romboide del que se conoce el lado mayor, AB = 80 mm, el ángulo de las diagonales, 105º, y la altura h = 50 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar el lado AB.

2 – A partir de su extremo A levantar un ángulo, A-O1, igual al complementario del que forman las diagonales, 105º – 90º = 15º.
3 – Dibujar la mediatriz del lado AB, que cortará al ángulo anterior en O1.
4 – Prolongar el ángulo una longitud igual al doble de la obtenida, A-O2 = 2·(A-O1).
5 – Con centro en O2 y radio el extremo A se traza un arco.
6 – Dibujar una paralela del lado AB a una distancia igual a la altura dada, h.
7 – Donde la paralela corta al arco es el tercer vértice C.
8 – Unir B con C.
9 – Por A trazar una paralela a BC y donde corte a la paralela de AB es el cuarto vértice D.

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Romboide sabiendo que uno de sus lados mide 40 mm, la diferencia entre las diagonales 30 mm, y el ángulo que forman las diagonales es de 60º.

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SOLUCIÓN

a – Levantas un ángulo de 60º.

b – Sobre uno de sus lados llevas la mitad de la diferencia entre las diagonales, 30/2 = 15 mm, XA.

c – Con centro en A y radio el lado conocido, 40 mm, trazas un arco que corte al otro lado del ángulo de (180 – 60)/2 = 60º, vértice D.

d – Hallas la mediatriz de XD y donde corte a la prolongación de XA es O, punto de corte de las dos diagonales.

e – Llevas la misma distancia que hay entre AO hacia el otro lado, C, y lo mismo con DO, dando B.

Aclaración: El razonamiento parte de que, si la semidiagonal OD se gira , alrededor del centro O, hasta situarla sobre la otra diagonal, las semidiagonales OA original y girada forman un triángulo isósceles del que se conoce un ángulo, 60º, y los otros dos ángulos son iguales. De ahí, que el ángulo DXO sea (180 – 60)/2.

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