Mes: octubre 2014

Ejercicios de RECTANGULOS resueltos – 998

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Construir un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 182 mm y la diagonal 65 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Sobre una recta lleva el valor del semiperímetro, EA.

2 – Por uno de sus extremos, E, levantas otra recta que forme 45º con la primera.
3 – Con centro en el otro extremo de la primera recta, A, y radio el de la diagonal dada, d, traza un arco.
4 – Donde el arco corte a la recta que formaba 45º es uno de los vértices, C.
5 – Haz una perpendicular a la primera recta, AE, desde el punto anterior, C, y tendrás uno de los lados del rectángulo, BC.
6 – Desde donde esa perpendicular toca a la primera recta, B, hasta el extremo desde el que se hizo el arco con la medida de la diagonal, es el segundo lado del rectángulo, AB.

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Ejercicios de RECTANGULOS resueltos – 997

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Construir un rectángulo dados el lado mayor y la suma de la diagonal y el lado menor

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SOLUCIÓN

1 – Se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos sean iguales al lado conocido AB y a la suma de la diagonal más el otro lado.

2 – Haciendo la mediatriz a la hipotenusa de este triángulo se determina sobre el cateto de la diagonal más el lado el vértice D del rectángulo ABCD

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Rectángulo conocida la diferencia entre los lados, b – h = 30 mm, y el ángulo entre las diagonales 120º

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SOLUCIÓN

1 – Colocar la diferencia entre los lados, XA = b – h = 30 mm

2 – Desde un extremo, X, levantar una línea que forme 45º y desde el otro, A, otra que forme (180º – 120º)/2 = 30º. Donde se corten ambas es el vértice C
3 – Por C bajar una perpendicular a AX y donde lo corte es el vértice B
4 – Por C y A trazar paralelas a AB y BC respectivamente, con lo que se consigue el cuarto vértice D

 

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Ejercicios de RECTANGULOS resueltos – 995

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Rectángulo del que se conoce su diagonal, 54 mm, y la diferencia de sus lados, 32 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar la diferencia de los lados, AX = 32 mm.
2 – Por el extremo X levantar una línea que forme 45º respecto de AX, pero hacia la zona exterior de AX no hacia el extremo A.
3 – Con centro en A y radio la diagonal, 32 mm, se traza un arco.
4 – Donde el arco corte a la línea de los 45º es el vértice C del rectángulo.
5 – Por C bajar una perpendicular a la prolongación de AX. Donde corte a esta es el vértice B.
6 – Conocidos A, B y C se tienen los dos lados del rectángulo dibujar el cuarto, D, por paralelas a los otros dos.

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Ejercicios de RECTANGULOS resueltos – 994

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Rectángulo del que se conoce su diagonal, 54 mm, y la diferencia de sus lados, 32 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocar la diferencia de los lados, AX = 32 mm.
2 – Por el extremo X levantar una línea que forme 45º respecto de AX, pero hacia la zona exterior de AX no hacia el extremo A.
3 – Con centro en A y radio la diagonal, 32 mm, se traza un arco.
4 – Donde el arco corte a la línea de los 45º es el vértice C del rectángulo.
5 – Por C bajar una perpendicular a la prolongación de AX. Donde corte a esta es el vértice B.
6 – Conocidos A, B y C se tienen los dos lados del rectángulo dibujar el cuarto, D, por paralelas a los otros dos.

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Ejercicios de RECTANGULOS resueltos – 993

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Dibujar un rectángulo dadas la suma de sus dos lados, 140 mm y la diferencia, 50 mm.

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SOLUCIÓN

1 – Colocas un segmento de 140 y desde uno de sus extremos y encima otro de 50

2 – A lo que sobra, z, se le halla el punto medio
3 – Desde ese punto medio hasta los dos extremos son los valores de la base, b, y la altura h.

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Ejercicios de RECTANGULOS resueltos – 991

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Inscribir un rectángulo de área máxima en la elipse de ejes AB y CD, siendo un lado el doble del otro.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un rectángulo centrado en la elipse, con lados paralelos a los ejes de la elipse y que tenga un lado doble que el otro (en rojo)

2 – Dibujar una circunferencia con centro en el de la elipse, O, y radio el semieje mayor, AO
3 – Prolongar el eje menor de la elipse hasta cortar a la circunferencia, punto C’
4 – Unir el extremo del eje menor, C, con uno de los vértices del rectángulo, punto 1, hasta cortar al eje mayor, punto x
5 – Unir x con C’ y por el punto 1 levantar una perpendicular al eje mayor que cortará a la anterior en el punto 1′
6 – Unir el centro de la elipse, O, con 1 y 1′
7 – Por donde O-1′ corte a la circunferencia, punto m’, se baja una perpendicular al eje mayor hasta cortar a O-1 (punto m)
8 – El punto m es uno de los vértices del rectángulo buscado
9 – Repetir el mismo proceso con los otros tres vértices del rectángulo, o mejor aún, determinarlos por simetría de m respecto de los ejes de la elipse

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Proporcionalidad en dibujo técnico – 999

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¿ Qué es una cuarta proporcional y una tercera proporcional ?

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SOLUCIÓN

CUARTA PROPORCIONAL

Es la igualdad de dos razones (fracciones), en la que son conocidos tres de sus elementos y desconocido el cuarto. La forma típica de una cuarta proporcional es a/b = c/x, donde a, b y c, son los tres segmentos conocidos, y x la incógnita.
En matemáticas a una cuarta proporcional se le llama regla de tres.
Una cuarta proporcional se resuelve mediante el teorema de Thales.
Para ello se dibujan dos rectas que se corten y con cualquier abertura entre ellas.
Se colocan (esta es una de las formas, pues hay muchas) en una de las rectas un segmento igual al valor de "a" y en la contraria el valor de "c". Después se unen ambos extremos.
En la misma recta que se coloco "a" se dibuja a continuación "b". Por último por el extremo de "b" se hace una paralela a la unión de "a" con "c". El segmento que define esta última paralela sobre la segunda recta es el segmento buscado "x".

TERCERA PROPORCIONAL

No es más que un caso particular de la cuarta proporcional, ya que su única diferencia es que uno de los segmentos conocidos se repite, por ejemplo, a/b = b/x.
La forma de resolverla es igual que en la cuarta

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Dados dos segmentos a = 38 mm y b = 25 mm encontrar la tercera proporcional y comprobarlo.

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SOLUCIÓN

La comprobación se puede hacer de dos formas, numéricamente (algebraicamente) o gráficamente (dibujando).

En una tercera proporcional uno de los dos segmentos se repite, y no es lo mismo que lo haga el segmento "a" que el "b". como no indicas cual es el que se repite yo tomaré el "b".
En el primer caso (gráficamente), una tercera proporcional es a/b = b/x, donde "a" y "b" son los segmentos datos y "x" el valor de la tercera proporcional. Si la despejas x = (b²)/a, donde el (b²) es el cuadrado de "b". Haz esa operación matemática y si el resultado numérico es el mismo que el que te sale es correcto.
De forma gráfica (que será como te lo pedirán) se trata de plantear la misma ecuación, a/b = b/x, pero considerando que "b" es ahora la incógnita y "x" es dato (el que obtuviste al determinar la tercera proporcional). En ese caso se trata de que plantees una media proporcional conocidos "a" y "x" y que despejes "b". Si al hacerlo te sale el mismo valor que te daban es que esta correcto.
También se podría plantear una tercera proporcional en el que "b" y "x" son datos y "a" la incógnita.

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