Mes: octubre 2014

Ejercicios resueltos de ELIPSES – 940

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Elipse conocida la tangente t, el foco F1, el radio de la circunferencia focal y la recta sobre la que está el eje mayor.

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar el simétrico, s, del foco respecto de la tangente.
2 – Con centro en el simétrico, s, y radio el de la circunferencia focal se traza un arco.
3 – Donde el arco corte a la recta que contiene al eje mayor es el segundo foco, F2.
4 – Se determina el punto medio entre los dos focos, O, que es el centro de la elipse.
5 – A partir del centro de la elipse, O, se lleva hacia cada lado la mitad del radio de la circunferencia focal. Estos extremos son los vértices de la elipse.
6 – Por el centro de la elipse se levanta una perpendicular al eje mayor.
7 – Con centro en el foco y radio la mitad del radio de la circunferencia focal se corta a la perpendicular anterior. Estos puntos nos dan el eje menor.
8 – Dibujar la elipse por puntos.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 939

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Construir una elipse dado un foco, F1, un punto de la curva, P, y uno de los extremos del eje menor, C.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el extremo de eje menor, C, con el foco, F1.

2 – Con centro en el punto medio de C-F1 y radio hasta F1 hacer una circunferencia (radio R1).
3 – Unir el punto dado P con el foco F1.
4 – Con centro en el punto medio de P-F1 y radio hasta F1 hacer una circunferencia (radio R2).
5 – Con centro en el punto medio de P-F1 y radio (2·R1) – R2 hacer un arco.
6 – Donde el arco corte a la circunferencia que pasa por F1 y C es el centro, O, de la elipse. Hay dos posibles puntos de corte y por tanto dos posibles soluciones, solo he dibujado una de ellas.
7 – Unir F1 con el centro O. Esta es la medida de la semidistancia focal, F1-O = c.
8 – Unir C con el centro O. Esta es la medida del semieje menor, C-O = b.
9 – Unir F1 con el centro C. Esta es la medida del semieje mayor, F1-C = a.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 938

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Cómo relacionar una elipse y una circunferencia mediante afinidad, respecto de sus ejes principales.

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SOLUCIÓN

Una elipse se puede transformar en una circunferencia mediante una afinidad. Realizar las operaciones que sean necesarias en la circunferencia, que suele ser más fácil, y después llevar lo averiguado a la elipse mediante la afinidad.
Esto tiene "millones" de aplicaciones : intersección de una recta con una elipse, tangente a una elipse desde un punto exterior, etc.
Para definir la afinidad son necesarios determinar varios elementos : el eje de afinidad, la dirección de afinidad, un par de puntos afines y la circunferencia afín a la elipse.
Circunferencia afín : Tendrá de centro el mismo de la elipse y de radio el semieje mayor o el semieje menor. Se puede utilizar indistintamente una o la otra (a veces incluso las dos) pero casi siempre se utiliza el mayor por dar más claridad.

Eje de afinidad : Es el eje mayor si se ha utilizado este como diámetro de la circunferencia o el eje menor cuando se utiliza él como diámetro de la circunferencia.

Dirección de afinidad : Es ortogonal (perpendicular al eje de afinidad).

Par de puntos afines : Desde el centro de la elipse se levanta una perpendicular al eje de afinidad y donde corte a la elipse y a la circunferencia son dos puntos afines. El punto de corte con la elipse es siempre uno de los extremos del eje mayor o menor. En realidad la recta corta en cuatro puntos (dos de la elipse y otros dos de la circunferencia), se pueden tomar los dos que quedan al mismo lado del eje (afinidad de razón positiva) o uno a cada lado (afinidad negativa), es indiferente y a veces conviene uno más que el otro para que no dé puntos de corte con el eje muy alejados.
Si se tiene un punto cualquiera de la elipse se traza una perpendicular al eje y donde corte a la circunferencia es su afín.

Conocidos todos estos elementos se puede plantear una afinidad, en la que también se transformarán los demás elementos (puntos, rectas, etc.) con las mismas relaciones de afinidad.

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Ejercicios resueltos de ELIPSES – 937

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Se da una superficie cónica de revolución de semiángulo cónico 20º.
Dicha superficie se secciona por un plano P de forma que la sección producida sea una elipse de ejes 3 y 5 cm.
Se pide determinar el ángulo que forma el plano P con el eje de la superficie, así como la distancia del plano P al vértice de la misma.

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SOLUCIÓN

1 – Conocidos los ejes de la elipse se determina la distancia focal. Para ello :
1a – Colocar dos rectas que sean perpendiculares.

1b – Sobre una de ellas llevar la medida del semieje menor, b.
1c – Hacer un arco con centro en el extremo del semieje menor, b, y radio el semieje mayor, a.
1d – Donde el arco corte a la otra recta nos da la medida de la semidistancia focal, c.
2 – Dibujar el complementario del semiángulo, 90º-A.

3 – Con centro en el vértice O y radio la distancia focal, 2c, se traza un arco que cortará al lado del ángulo en X.
4 – Con centro en X y radio el eje mayor, 2a, se dibuja otro arco que cortará al otro lado del ángulo en Y.
5 – Uniendo X e Y se obtiene el plano buscado.
6 – Por el punto medio de OY levantar una perpendicular. Esta es el eje del cono mientras OY es la directriz (base) del cono.
7 – Prolongar el lado del cono OX hasta cortar el eje. El punto de corte, V, es el vértice del cono.
8 – Unir Y con V para dibujar la otra generatriz del contorno del cono.
9 – Obtenido el cono, VOY, y el plano, XY, tomar las medidas que se piden en el enunciado.

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Elipse conocido un foco, F1, el simétrico, S2,del otro foco respecto de una tangente (punto de la circunferencia focal) y el pie, M, de la perpendicular a la tangente desde el segundo foco (punto de la circunferencia principal.

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SOLUCIÓN

1 – Unir el simétrico S2 con el pie de la perpendicular M.
2 – La perpendicular a S2-M es la recta tangente a la elipse.
3 – Llevar la distancia S2-M hacia el otro lado de la tangente y ese es el segundo foco, F2.
4 – Unir el simétrico del foco, S2, con el primer foco F1 y esta es la longitud del eje mayor, 2a.
5 – Unir ambos focos y hallar su punto medio, O, este es el centro de la elipse.
6 – A partir del centro y hacia ambos lados llevar la mitad de la longitud del eje mayor y se obtienen los vértices de la elipse.
7 – Por el centro de la elipse trazar una perpendicular.
8 – Con centro en uno de los focos y radio la mitad del eje mayor se traza un arco que cortará en dos puntos a la perpendicular anterior. Estos dos puntos dan el eje menor de la elipse.

 

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ELIPSES – 935

Rectas dadas la distancia que las separa 970

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Dadas las proyecciones, verticales y horizontales, de dos puntos A y B, y de dos planos P y Q en el sistema diédrico, se pide:

a) Hallar una recta R que pasa por A y otra recta S que pase por B sabiendo que:
– El segmento AB dado es la mínima distancia (es decir, perpendicular común) entre las rectas R y S que se piden.
– La recta R es paralela al plano P y la recta S es paralela al plano Q.

b) Obtener la verdadera magnitud entre el segmento AB (indicarlo de forma gráfica y numéricamente).

c) Hallar el ángulo que forma el plano Q con el plano horizontal de proyección (indicarlo gráfica y numéricamente).

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SOLUCIÓN

1 – Dibujar un plano, M, perpendicular al segmento AB, pasando por A.

2 – Hallar la intersección entre M y P, a la que llamaré Int.MP.
3 – Trazar una paralela a Int. MP por el punto A y esta es una de las dos rectas pedidas, R.
4 – Realizaremos el mismo procedimiento con B. Dibujar un plano, N, perpendicular a AB por B.
5 – Dibujar la intersección entre N y Q (Int. NQ).
6 – Paralela a Int. NQ por B nos da la segunda recta buscada, S.

También se puede hacer de otra forma (que en esencia es lo mismo) y que puede que no necesite tanto espacio en el papel.

a – Dibujar un plano, M, perpendicular al segmento AB, pasando por A.
b – Dibujar otro plano, K, paralelo a P que pase por A.
c – Hallar la intersección entre K y M, y esta es ya una de las rectas buscadas, R.
d – Realizaremos el mismo procedimiento con B. Dibujar un plano, N, perpendicular a AB por B.
e – Dibujar otro plano, L, paralelo a Q que pase por B.
f – Hallar la intersección entre L y N, y esta es ya la segunda recta buscada, S.

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Diagonal del cuadrado paralela primer bisector – 971

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A(-50, 60, 30) y C(20, 80, 45) son los puntos que definen la diagonal de un cuadrado.
Dibujar sus proyecciones sabiendo que la otra diagonal es paralela al primer bisector.

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SOLUCIÓN

1 – Trazar un plano, P, perpendicular a la diagonal AC pasando por su punto medio M.

2 – Llevar el punto medio M al perfil, m». Allí dibujar un plano paralelo al primer bisector pasando por él, q».
3 – Determinar las trazas horizontal y vertical de ese plano, q y q’.
4 – Hallar la intersección, XY = I, entre el plano perpendicular a la recta, P, y el plano paralelo al primer bisector, Q.
5 – La recta intersección de los dos planos, I, contiene a la segunda diagonal del cuadrado, BD. Para determinar los extremos B y D se pueden utilizar varios procedimientos :

a – Por abatimiento de las dos diagonales, crear un plano con AC e I, abatirlo y en el abatimiento dibujar el cuadrado, para después desabatirlo.
b – Por abatimiento del plano perpendicular a la diagonal AC, determinar la verdadera magnitud de la diagonal AC, abatir el punto medio M y la intersección I. En el abatimiento llevar la verdadera magnitud de la diagonal sobre I abatida y desabatir.
c – Por distancias, se determina la verdadera magnitud de la diagonal AC y con el procedimiento inverso se determina la proyección de BD sobre I conocida su verdadera magnitud.
d – Por abatimiento del plano paralelo al primer bisector, determinar la verdadera magnitud de la diagonal AC, se abate el punto medio M y la recta intersección I. En el abatimiento llevar la verdadera magnitud de la diagonal sobre I abatida y desabatir.

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Determinación de la verdadera magnitud de un segmento.

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SOLUCIÓN

1 – Se traza una paralela a la línea de tierra por uno de los extremos del segmento, a’.

2 – Se mide la diferencia de cota que hay entre esa paralela y el otro extremo, X.

3 – En la otra proyección se hace una perpendicular al segmento y sobre ella se lleva la diferencia de cota medida, X.

4 – Unir con el otro extremo, a, y esa es la verdadera magnitud del segmento (azul).

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Selectividad País Vasco 2007.
En la figura se dan las vistas diédricas de una torreta.
Se pide determinar gráficamente la longitud de las barras AD y AC y el valor del ángulo formado por las barras AC y BD.

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SOLUCIÓN

Verdadera magnitud de A-D.

1 – Por d trazas una perpendicular a a-d.

2 – Sobre ella llevas la medida de la diferencia de cota entre a’ y d’, z.

3 – Uniéndola con a da la verdadera magnitud de A-D
Ángulo entre A-C y B-D.

4 – Se abatirá el plano formado por ABCD alrededor de la traza A-B.

5 – Para abatir D, por la proyección horizontal de d se hace una perpendicular y una paralela a a-b.

6 – Sobre esa paralela se lleva la medida de la diferencia de cota, z.

7 – Con centro donde la perpendicular corta a a-b y radio hasta esa diferencia de cota se hace un arco, donde corte a la perpendicular es el punto (D) abatido.

8 – Se puede aplicar lo mismo para C, pero es más fácil hacer una paralela a (A)-(B), y una perpendicular a (A)-(B) da (C).

9 – Se unen (A) con (C) y (B) con (D). En el abatimiento se puede medir el ángulo que forman ambas rectas (marcado como V.M).

 

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distancias – 998

Ejercicio de distancias en diédrico – 997

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Hallar la distancia que hay entre A y B.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer una paralela a la línea de tierra por a’

2 – Medir la distancia hasta la otra proyección vertical, z
3 – Llevar esa distancia, z, en perpendicular a la proyección horizontal
4 – Uniéndolo con la otra proyección horizontal da la verdadera magnitud de la longitud entre A y B, V.M

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