Mes: octubre 2014

Ejercicio de distancias en diédrico – 996

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Segmento paralelo al segundo bisector, de longitud L, del que se conoce un vértice, A, que está en el plano horizontal de proyección y que el otro, B, está en el plano vertical de proyección.

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección vertical, trazar una paralela a la línea de tierra a una distancia igual al alejamiento que hay hasta la traza horizontal de la recta (la proyección horizontal de A).

2 – Con centro en la proyección vertical, a’, y radio la longitud, L, del segmento se traza un arco.
3 – este arco cortará a la paralela a la línea de tierra en un punto b1′. Desde él bajar una perpendicular a la línea de tierra hasta que corte a una paralela a la línea de tierra que salga de la proyección horizontal de punto A. El punto de corte de ambos es b1.
4 – Con centro en la proyección horizontal de A y radio hasta b1 hacer un arco que corte a la línea de tierra. Esta es la proyección horizontal del otro extremo, b.
5 – Levantar una perpendicular a la línea de tierra desde b hasta la paralela a la línea de tierra que se hizo al principio, siendo esta la proyección vertical, b’

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Ejercicio de distancias en diédrico – 995

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Sobre un plano "alfa"(-30, 30, 30) se apoya una pirámide recta de 60 mm de altura; se sabe que los vértices de la base son los puntos A(0, 20, Z) B(40, 0, Z) C(20, 35, Z). Hallar:
a) Las proyecciones diédricas de la pirámide.
b) La longitud real de las aristas AB y CV, siendo V el vértice opuesto de la base.

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SOLUCIÓN

1 – Sitúa el plano.
2 – Sitúa los puntos A, B y C. Para el punto B, la proyección vertical del punto la tienes sobre la traza vertical del plano por tener alejamiento cero. Para los puntos A y C utiliza una recta horizontal o frontal para localizar su otra proyección.
3 – Localiza el baricentro del triángulo ABC en ambas proyecciones.

4 – Por los baricentros levanta rectas perpendiculares a las trazas del plano.
En el siguiente dibujo te lo aclaro.

5 – Sobre esa perpendicular y a partir del baricentro tienes que hallar la proyección de la altura de la pirámide, 60 mm. Este es el vértice V.
Estos son los pasos

…5.a – Primer dibujo – Conocemos las proyecciones de una recta, un punto del que parte, A, y la verdadera magnitud, VM AB, del segmento del que queremos hallar su proyección.

…5.b – Segundo dibujo – Elegimos un punto cualquiera, X, en la recta dada.
…5.c – Tercer dibujo – En la proyección vertical trazar una paralela a la línea de tierra por el extremo A.
…5.d – Cuarto dibujo – En la proyección horizontal dibujar una perpendicular a la recta pasando por el punto elegido X.
…5.e – Quinto dibujo – En la proyección vertical medir la diferencia de cotas entre el punto A y X, y llevarlo a la perpendicular que se hizo en la proyección horizontal, X1′.
…5.f – Sexto dibujo – En la proyección horizontal unir el extremo del segmento A con la medida llevada sobre la perpendicular, X1′.
…5.g – Séptimo dibujo – Sobre esta última recta, A-X1′, llevar la medida de la verdadera magnitud que nos dan, B1′.
…5.h – Octavo dibujo – Por es punto B1′, hacer una perpendicular a la proyección horizontal de la recta dada, obteniendo el extremo B del segmento buscado. Subirlo a la proyección vertical.

6 – Une el vértice V con ABC. Ya tienes la pirámide.
7 – Determinas las distancias que hay entre AB y CV.

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Conocida una verdadera magnitud hallar su proyección sobre una recta.

 

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SOLUCIÓN

Primer dibujo – Conocemos las proyecciones de una recta, un punto del que parte, A, y la verdadera magnitud, VM AB, del segmento del que queremos hallar su proyección.

Segundo dibujo – Elegimos un punto cualquiera, X, en la recta dada.

Tercer dibujo – En la proyección vertical trazar una paralela a la línea de tierra por el extremo A.

Cuarto dibujo – En la proyección horizontal dibujar una perpendicular a la recta pasando por el punto elegido X.

Quinto dibujo – En la proyección vertical medir la diferencia de cotas entre el punto A y X, y llevarlo a la perpendicular que se hizo en la proyección horizontal, X1′.

Sexto dibujo – En la proyección horizontal unir el extremo del segmento A con la medida llevada sobre la perpendicular, X1′.

Séptimo dibujo – Sobre esta última recta, A-X1′, llevar la medida de la verdadera magnitud que nos dan, B1′.

Octavo dibujo – Por es punto B1′, hacer una perpendicular a la proyección horizontal de la recta dada, obteniendo el extremo B del segmento buscado. Subirlo a la proyección vertical.

 

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La recta r [M (87, 0, z) y N (144, 64, 0)] tiene una longitud entre trazas de 159 mm. Dibujarla

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SOLUCIÓN

1 – Se debe hallar la verdadera magnitud de MN, para lo que se puede recurrir a un cambio de plano con la segunda línea de tierra paralela a la proyección horizontal de la recta. Esta línea de tierra se puede hacer separada de la proyección horizontal de la recta o directamente encima (como yo haré).

2 – Por m se dibuja una perpendicular a la proyección horizontal de MN.

3 – Con centro en la proyección horizontal de N se hace un arco de radio la verdadera magnitud, 159 mm.

4 – Donde corte a la perpendicular es la proyección de M cambiada de plano, m’1.

5 – Se mide la cota en el cambio de plano y se lleva a la proyección vertical de M. En mi caso he tomado centro en m y con radio hasta m’1 se hace un arco hasta cortar a la perpendicular a línea de tierra por m. Esto nos da la proyección vertical de M.

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Segmento paralelo al segundo bisector, de longitud L, del que se conoce un vértice, A, que está en el plano horizontal de proyección y que el otro, B, está en el plano vertical de proyección.

 

 

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SOLUCIÓN

1 – En la proyección vertical, trazar una paralela a la línea de tierra a una distancia igual al alejamiento que hay hasta la traza horizontal de la recta (la proyección horizontal de A).

2 – Con centro en la proyección vertical, a’, y radio la longitud, L, del segmento se traza un arco.

3 – Este arco cortará a la paralela a la línea de tierra en un punto b1′. Desde él bajar una perpendicular a la línea de tierra hasta que corte a una paralela a la línea de tierra que salga de loa proyección horizontal de punto A. El punto de corte de ambos es b1.

4 – Con centro en la proyección horizontal de A y radio hasta b1 hacer un arco que corte a la línea de tierra. Esta es la proyección horizontal del otro extremo, b.

5 – Levantar una perpendicular a la línea de tierra desde b hasta la paralela a la línea de tierra que se hizo al principio, siendo esta la proyección vertical, b’.

 

 

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Distancia entre el punto A y la recta R.

 

 

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SOLUCIÓN

Existen cuatro formas :

1ª OPCIÓN

A – Hacer un plano con la recta y el punto dado.

B – Abatir la recta y el punto.

C – En el abatimiento se traza una perpendicular a la recta que pase por el punto. Esa es la verdadera magnitud entre la recta y el punto.

2ª OPCIÓN

D – Hacer un plano perpendicular a la recta y que pase por el punto dado.

E – Hallar la intersección de la recta dada con el plano anterior.

F – Unir el punto intersección anterior con el punto dado, y esas son las proyecciones de la mínima distancia pedida (no están en verdadera magnitud).

G – Aplicando lo que se expuso en el ejercicio 1 se determina su verdadera magnitud.

3ª OPCIÓN

H – Haces dos cambios de plano hasta convertir la recta en perpendicular a un plano de proyección (segunda línea de tierra paralela a una de las proyecciones y la tercera perpendicular).

I – Hacer el cambio de plano del punto dado con las mismas líneas de tierra.

J – En el último cambio de plano la recta se ve como un punto, allí se puede medir la verdadera magnitud de la distancia entre la recta y el punto.

4ª OPCIÓN

K – Haces dos giros para convertir la recta en perpendicular a un plano de proyección (primer giro con el eje vertical, segundo giro con el eje de punta).

L – Giras el punto dado con los mismos ejes y ángulos.

M – En el último giro la recta se ve como un punto, allí se puede medir la verdadera magnitud de la distancia entre la recta y el punto.

 

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Recta perpendicular a otras dos que se cruzan, siendo una de ellas frontal.

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SOLUCIÓN

1 – Hacer un cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la proyección vertical de la recta frontal.

2 – Cambiar de plano ambas rectas. En el cambio de plano la recta frontal se habrá transformado en vertical.

3 – En el cambio de plano, hacer una recta perpendicular a la recta genérica y que pase por la recta frontal (que se ve como un punto).

4 – Hacer una perpendicular a la segunda línea de tierra por el punto de corte de la anterior con la recta genérica hasta cortar a su proyección vertical y ese es uno de los extremos de la recta buscada.

5 – Trazar por ese punto una recta paralela a la segunda línea de tierra hasta cortar a la proyección vertical de la recta frontal y este es el segundo extremo de la recta buscada.

6 – Llevar, mediante perpendiculares a la primera línea de tierra, los extremos de la recta hallada hasta tocar a sus correspondientes proyecciones horizontales.

7 – Unir esos puntos para determinar la proyección horizontal.

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Ejercicio de distancias en diédrico – 989

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Recta perpendicular a otras dos, R y S, que se cruzan (o mínima distancia entre dos rectas que se cruzan). Mediante cambios de plano

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SOLUCIÓN

1 – Si las dos rectas son oblicuas hacer un primer cambio de plano con la línea de tierra segunda paralela a una cualquiera de las dos rectas, por ejemplo a r. Cambiar de plano las dos rectas con la misma línea de tierra, las nuevas proyecciones obtenidas son r1′ y s1′
2 – Se hace un segundo cambio de plano con la tercera línea de tierra perpendicular a la recta a la que se hizo la segunda línea de tierra paralela, es decir a r1′, y se cambia de plano las dos rectas. Las nuevas proyecciones son r1 y s1
3 – En el último cambio de plano una se verá como un punto, en nuestro ejemplo r1, y la otra oblicua, s1
4 – En el último cambio de plano se traza una perpendicular a s1 pasando por r1 (que es un punto), y esa es la mínima distancia (o perpendicular a las dos rectas) en verdadera magnitud.
5 – El punto donde esa perpendicular toque a s1 (punto x1) se lleva a s1′ mediante una perpendicular a la tercera línea de tierra. Con esto conseguimos x1′
6 – En el primer cambio de plano por x1′ se traza una perpendicular a r1′ y donde toque a r1′ es el otro extremo de la recta, al que llamaré y1′
7 – Hacer perpendiculares a la segunda línea de tierra por x1′ e y1′ hasta las proyecciones horizontales de las rectas, r y s. Esto da los puntos x e y que unidos forman la proyección horizontal de la recta buscada, pero en proyección, no es su verdadera magnitud
8 – Subir los puntos x e y mediante perpendiculares a la primera línea tierra hasta las proyecciones verticales de las rectas, r’ y s’, dando x’ e y’ extremos de la proyección vertical de la recta buscada
9 – Si una de las rectas iniciales fuese horizontal o frontal, solo es necesario un cambio de plano con la línea de tierra segunda perpendicular a la proyección de la recta horizontal o frontal que no es paralela a la línea de tierra. A partir de ahí lo mismo que en los apartados 4, 5 y 6

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Recta perpendicular a otras dos, R y S, que se cruzan (o mínima distancia entre dos rectas que se cruzan)

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SOLUCIÓN

1 – Si las dos rectas son oblicuas hacer un primer cambio de plano con la línea de tierra segunda paralela a una cualquiera de las dos rectas, por ejemplo a r. Cambiar de plano las dos rectas con la misma línea de tierra, las nuevas proyecciones obtenidas son r1′ y s1′.

2 – Se hace un segundo cambio de plano con la tercera línea de tierra perpendicular a la recta a la que se hizo la segunda línea de tierra paralela, es decir a r1′, y se cambia de plano las dos rectas. Las nuevas proyecciones son r1 y s1.

3 – En el último cambio de plano una se verá como un punto, en nuestro ejemplo r1, y la otra oblicua, s1.

4 – En el último cambio de plano se traza una perpendicular a s1 pasando por r1 (que es un punto), y esa es la mínima distancia (o perpendicular a las dos rectas) en verdadera magnitud.

5 – El punto donde esa perpendicular toque a s1 (punto x1) se lleva a s1′ mediante una perpendicular a la tercera línea de tierra. Con esto conseguimos x1′.

6 – En el primer cambio de plano por x1′ se traza una perpendicular a r1′ y donde toque a r1′ es el otro extremo de la recta, al que llamaré y1′.

7 – Hacer perpendiculares a la segunda línea de tierra por x1′ e y1′ hasta las proyecciones horizontales de las rectas, r y s. Esto da los puntos x e y que unidos forman la proyección horizontal de la recta buscada, pero en proyección, no es su verdadera magnitud.

8 – Subir los puntos x e y mediante perpendiculares a la primera línea tierra hasta las proyecciones verticales de las rectas, r’ y s’, dando x’ e y’ extremos de la proyección vertical de la recta buscada.

9 – Si una de las rectas iniciales fuese horizontal o frontal, solo es necesario un cambio de plano con la línea de tierra segunda perpendicular a la proyección de la recta horizontal o frontal que no es paralela a la línea de tierra. A partir de ahí lo mismo que en los apartados 4, 5 y 6.

 

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distancias – 988

Ejercicio de distancias en diédrico – 987

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Hallar la mínima distancia entre dos rectas, que se cruzan, con una pendiente del 20% respecto del plano horizontal.

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SOLUCIÓN

I – Por un punto cualquiera de una de las dos rectas (en mi dibujo por T) se hace una paralela a la otra recta.

II – Se halla una horizontal del plano formado por T y la paralela a M (relleno en amarillo) o las trazas del plano formado por esas dos rectas.
III – Dibujar un primer cambio de plano con la segunda línea de tierra perpendicular a la horizontal (o a la traza del plano), cambiando las dos rectas M y T, debiendo quedar sus proyecciones paralelas.
IV – En el cambio de plano se dibuja el triángulo de pendiente 20%.
V – Trazar un nuevo cambio de plano con la tercera línea de tierra perpendicular a la pendiente dada (a la hipotenusa del triángulo).
VI – En el último cambio de plano la recta buscada se ve como un punto que coincide con el supuesto punto de corte de las dos rectas.
VII – Esos puntos, x1y1, se llevan al primer cambio de plano, dando x’1y’1 en verdadera magnitud.
VIII – Llevarlos a la proyección horizontal y vertical.

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