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Ejercicios de perspectiva EGIPCIA o de HEJDUK – 999

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¿ Qué es la perspectiva de Hejduk ?

SOLUCIÓN

La perspectiva de Hejduk es una axonometría oblicua en la que los ejes XZ y XY son perpendiculares en proyección, siendo los coeficientes de reducción iguales a la unidad.
Esta perspectiva se ha utilizado sobre todo en la representación de edificios y más en concreto para realizar planos de ciudades.
En la América colonial española se utilizo para el levantamiento de ciudades dado su fácilidad de construcción al estar dispuestos los edificios en calles formando ángulo recto entre sí.
De una manera menos ortodoxa, la perspectiva de Hejduk es casi como si se pegasen las vistas del alzado y de la planta (en el sistema americano).
Un ejemplo, lo tienes en este edificio, que primero ves en una perspectiva caballera normal :

Y así sería como quedaría en la perspectiva de Hejduk :

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Determinación de las proyecciones DE LA ALTURA DE UN CUERPO (en este caso un cono) conocida su verdadera magnitud, H, su directriz o base (en este ejemplo una circunferencia) y el plano que la contiene, P. MEDIANTE GIRO

SOLUCIÓN

25 – Por el punto desde el que parte la altura, en este caso el centro de la elipse C, levantar perpendiculares a las trazas del plano.

26 – Sobre la perpendicular elegir un punto cualquiera, 8.
27 – En la proyección horizontal trazar una paralela a la línea de tierra por el punto del que parte la altura, C.
28 – Con centro en el punto del que parte la altura, C, y radio hasta el punto elegido, 8, trazar un arco hasta tocar a la paralela a la línea de tierra, 9.
29 – En la proyección vertical dibujar una paralela a la línea de tierra desde el punto 8′ y subir desde la proyección horizontal de 9 hasta cortar a esa paralela, 9′.
30 – Unir este punto, 9′, con el punto del que parte la altura, C’, y sobre ella llevar la verdadera magnitud de la altura, H.
31 – Por su extremo trazar una paralela a la línea de tierra hasta cortar a la perpendicular inicial, C’-8′. La distancia entre este punto V’ y el punto del que parte la altura, C’, es la proyección vertical de la altura del cuerpo.
32 – Llevar ese punto a la proyección horizontal de la altura, C-8, y tenemos la proyección horizontal de la altura, C-V.

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diédrico – 974

Ejercicios de perspectiva dimétrica y trimétrica – 999

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Trazado de una circunferencia en perspectiva dimétrica

SOLUCIÓN

1 – Dibujar un romboide (en magenta en mi dibujo) de lados paralelos a los de los ejes de la perspectiva y de longitud la del diámetro de la circunferencia, aplicando el correspondiente coeficiente de reducción.

2 – Unir los puntos medios de dicho romboide. Estos dos segmentos son dos diámetros conjugados de la elipse buscada.
3 – Trazar la elipse a partir de esos diámetros conjugados.

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Ejercicios de DESARROLLOS Y geodésicas en diédrico – 995

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Desarrolla la superficie de este prisma, que está apoyado en el suelo.

SOLUCIÓN

Determinar el desarrollo de un prisma oblicuo.
1 – Se divide una cara, por ejemplo A-B-1-2, en dos triángulos mediante una diagonal.

2 – Se hallan las tres verdaderas magnitudes de los tres lados de uno de los triángulos formados, AB1 por ejemplo.
3 – Se puede utilizar cualquier procedimiento para hallar la verdadera magnitud de los segmentos, mediante un giro, mediante un cambio de plano o mediante un cambio de plano desplazado que es lo que yo he utilizado.
Para ello, se toman las medidas de la proyección horizontal ( X e Y) y se llevan sobre la línea que pasa por la base en proyección horizontal uniéndola con la diferencia de cota de los segmentos, obteniendo sus verdaderas magnitudes (VM A1 y VM B1)
4 – El segmento AB ya está en verdadera magnitud por pertenecer al plano horizontal.
5 – Conseguidas las tres verdaderas magnitudes se dibuja aparte el triángulo que forman esas tres magnitudes.

6 – Se repite con los demás. Aunque se puede simplificar recordando que los lados que son paralelos siguen siéndolo en el desarrollo.

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Ejercicios de CURVAS PLANAS – 998

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Normal a una curva desde un punto exterior, P, mediante curvas de error. (Segundo procedimiento)

SOLUCIÓN

La curva inicial es la de color azul.
1 – Con centro en el punto dado, P, y radio cualquiera se traza un arco, AB, que corte a la curva dada.

2 – Por los extremos de los puntos de corte, A y A’, se trazan normales, en direcciones opuestas de longitud igual a la de su cuerda.
3 – Se repite el proceso con varios arcos más, y se unen los extremos de las normales. Esta es la curva de error.
4 – Donde la curva de error corte a la curva dada, T, se une con el punto dado, P, y esta es la normal.

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 999

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El plano definido por tres puntos A(15, 20, 10), B(-15, 80, 10) Y C(-60, 40, 40) tiene un hueco triangular siendo sus vértices ABC. Por el plano desliza una esfera de radio 25 mm, la cual se atasca en dicho hueco. Determinar sus proyecciones.

SOLUCIÓN

1 – Abatir el plano formado por ABC y dichos puntos
2 – En el abatimiento, hallar el incentro (punto de corte de las bisectrices de los tres ángulos), al que llamaré X
3 – Hacer perpendiculares a los lados del triángulo desde X y donde toquen a los lados son los puntos de tangencia, T1-T2-T3, de la circunferencia inscrita y su radio X-T1 o X-T2 o X-T3
4 – Desabatir el centro X. Si se desea también se pueden desabatir los puntos T1-T2-T3, que son los puntos de tangencia de la esfera en el agujero triangular
5 – Aparte dibujar una circunferencia de radio igual al de la esfera que se busca. Trazar un diámetro cualquiera. Sobre lel diámetro y a partir del centro llevar el radio de la circunferencia inscrita al triángulo. Por ahí dibujar una perpendicular al diámetro hasta tocar a la circunferencia. A esta medida (la medida sobre la perpendicular entre el diámetro y la circunferencia) la llamaremos Z
6 – Volviendo a las proyecciones, desde el punto X trazar una perpendicular al plano definido por el triángulo
7 – Determinar la proyección de la medida Z sobre la perpendicular anterior desde X. El extremo es el centro de la circunferencia buscada, C
8 – Con centro en C y radio igual a la verdadera magnitud del radio de la esfera trazar circunferencias que son las proyecciones de la esfera buscada

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 998

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Dada la esfera de centro C(0, 50, 50) y radio 40 mm, hallar un plano P que forme 45º con el plano horizontal de proyección, pase por el punto A(-50, 50, 50) y corte a la esfera según una circunferencia de radio 30 mm.
Dibujar las proyecciones de la circunferencia intersección, sus correspondientes ejes y puntos de tangencia si procede.

SOLUCIÓN

1 – Por la proyección vertical del centro, c’, se traza una línea que forme 45º respecto de la línea de tierra (en rojo)

2 – Desde la proyección vertical del centro, c’, se mide el radio, 30 mm, de la sección buscada. Por ese punto se levanta una perpendicular a la recta que formaba 45º hasta que corte al contorno de la esfera (punto en magenta)
3 – Por ese punto se dibuja una línea a 45º respecto de la línea de tierra y esta es la traza, p1′, del plano buscado, pero girado. Desde donde corte a la línea de tierra se baja una perpendicular, p1, que será la traza horizontal del plano buscado pero girado
4 – Por la proyección vertical del punto, a’, por el que debe pasar el plano se traza una paralela a la línea de tierra hasta la traza vertical del plano girado, p1′. Con esto obtenemos la proyección vertical, a1′, del punto girado
5 – Desde la proyección horizontal del centro de la esfera, c, y con radio hasta la proyección horizontal del punto, a, se traza un arco. Desde la proyección vertical a1′ se baja una perpendicular a la línea de tierra hasta cortar al arco. Donde se encuentren, a1, es la proyección horizontal del punto girado
6 – La traza horizontal del plano girado, a1, se debe girar un ángulo (sector circular verde) igual al que forman las proyecciones horizontales del punto A (a y a1) alrededor de la proyección horizontal de la esfera, c. Con esto obtenemos la traza horizontal del plano buscado, p
7 – Mediante una recta horizontal se calcula la traza vertical del plano, p’
8 – En realidad, para dibujar la sección no es necesario determinar las trazas del plano original, p-p’; sino que una vez determinado el plano girado, p1-p1′, y las proyecciones del punto A girado (a1-a1′) se trata de hallar la sección que produce el plano proyectante p1-p1′ y girar esa sección un ángulo igual al que se ha girado el punto A (a-a1) alrededor de la proyección horizontal del centro de la esfera, c

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 997

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Dada la esfera de centro O y un plano oblicuo alfa que la corta hallar un punto de cota H que pertenezca a la sección producida por el plano, sin dibujar la sección.

SOLUCIÓN

1 – Dibujar una recta horizontal de cota H que pertenezca al plano alfa
2 – Trazar un plano horizontal de cota H (su traza vertical coincide con la proyección vertical de la recta)
3 – Seccionar la esfera por el plano horizontal. El resultado es una circunferencia en la proyección horizontal
4 – Los puntos de corte de la proyección horizontal de la recta horizontal con la circunferencia sección son los puntos buscados

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Ejercicios resueltos de esferas en diédrico – 996

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Dada la superficie esférica de centro O y una recta vertical r hallar el punto de mayor cota de esta superficie que diste una longitud d de r.
Datos: O (0,50,50) y radio 4 cm.
Recta vertical r separada de O hacia la derecha 65 mm y alejamiento 35 mm.
Longitud d: Algo mayor de O a r en verdadera magnitud.

SOLUCIÓN

1 – En la proyección horizontal, con centro en la recta R y radio d, dibujar una circunferencia
2 – Unir la proyección horizontal del centro de la esfera con la proyección horizontal de la recta
3 – Donde corte a la circunferencia es el punto buscado

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